【1.原题目“如何证明紧集与列紧集是有界闭集用极限点？”意思过于粗疏故修改成现在这个标题“如何利用极限点证明实直线上的列紧集与列紧集等价于有界闭集?”，既具有确定的意义又接近于题主特别提到“用极限点”所想表达的含义（个人理解，可能有偏差不准确可再改）。
2.“复变函数”的標签是什么鬼……】

其实这就是实分析和拓扑学中具有基础性意义的海涅-博雷尔(Heine-Borel)定理，此处仅是它在的欧式度量下取自然诱导拓扑（开集是开区间）时的一个基本特例

此处采取陶哲轩《实分析》一书中的陈述：

定理（海涅-博雷尔）：设是的子集，则以下两条件等价——
(b) Φ任意的实数序列都包含一个极限在之内的收敛子列,即（拓扑学上这条件叫做序列紧致简称列紧）。

以下给出一个比较“脏”的证明嘫而是构造性的：

　　由于是有界的，故其中任意的实数序列都是有界序列根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯(Bolzano-Weierstra?)定理——实数的有界序列必有收敛子列。又由于是闭集该子列的极限必在中。

　　条件(b)意味着对于中任意的收敛序列其极限皆在之内，这意味着是闭集

　　而对於 的有界性，证其逆否假设 是闭集但无界。则归纳地定义如下序列：

1. 由于 无界故 使得 ，将此
2. 现归纳地假定 已经定义好定义 满足条件 （ ）。由于 无界总能在 中找到合乎此要求的元素（实数）。

　　这样我们就定义好了一个序列 现在证明此序列的任何子列都不会收敛。为此证明以下命题：

证明：对 进行强归纳。当 时 有 ，命题成立现归纳地假设命题直到某一 皆成立，考虑 的情形依强归纳假设， 故归纳假设成立，命题得证

　　考虑三角不等式的变形 ，结合以上命题得到： 且 。故序列 的任意子列均非柯西（Cauchy）序列从而不收斂。

　　以上实际是证明了命题 (a) (b)这与它的逆否命题(b) (a)等价，即所欲证