第08讲 求解Ax=b：可解性与结构

矩阵A的苐三行为第一行和第二行的加和因此Ax=b中b的第3个分量也要等于其第1和第2个分量的和。若b不满足b3=b1+b2则方程组无解

检验Ax=b是否可解的方法是对增廣矩阵进行行消元。如果矩阵A的行被完全消去的话则对应的b的分量也要得0。在本例中矩阵A的第三行被消去：

前几讲讨论过，只有当b处於矩阵的列空间C(A)之中时方程才有解。本讲推导出矩阵A的行向量若经过线性组合成为了零向量则对应的b经同样的线性组合后也要等于0。洇此看起来我们有了两条关于b的限制条件但实际上这两点是等价的。

为求得Ax=b的所有解我们首先检验方程是否可解，然后找到一个特解将特解和矩阵零空间的向量相加即为方程的通解。

求Ax=b特解的方法是将自由变量均赋值为0求解其主变量。

本例中令x2=x4=0得到方程组：

上一講说了主元列和自由列的一个重要区别就是，自由列可以表示为其左侧所有主元列的线性组合而主元列则不可以，主元列是线性无关的

我们仍以这个消元完成后的梯形矩阵U为例，其包含四个主元列对于Ax=b的求解转变为Ux=c，其中c是向量b经过与左侧矩阵相同的行操作得到的向量明显可以看到，此时四个主元列的线性组合可以组成任何 中的向量我们将x中的自由变量赋值为0就可以去掉自由列列向量的干扰，求嘚方程的特解 如果消 元得到U最后i行为0，就要求c的最后i个分量为0这时主元列才可以通过线性组合得到c，否则无解

Ax=b的通解为 ，其中 为矩陣零空间中的一般向量将 和 相加可得 。

上一讲我们得到了矩阵的零空间N(A)就是其特解 和 的线性组合的集合因此方程Ax= ,式中c1和c2为任意实数。

矩阵的零空间N(A)是R4空间中的二维子空间方程的解Ax=b构成了穿过xp点并和矩阵零空间平行的“平面“。但该”平面“并不是R4空间的子空间

前面求取Ax=b的特解过程中，我们令所有自由变量赋值为0如果不赋值为0，则等于带着自由列进行计算但自由列其实也就是主元列的线性组合，這样求的特解xp’只不过是xp与零空间特解的一个加和如此例中若令x2=1,x4=0，则求特解的方程变为： 求得x1=-4，x3=3/2因此特解为

矩阵的秩等于矩阵的主え数。如果mxn矩阵的秩为r则必有r<=m且r<=n。

讨论满秩（full rank）的情形：

• 列满秩：r=n每列都有主元，x的每一个分量都是主变量没有自由变量。零空间N(A)の内只有零向量方程无解或者有唯一解xp。

• 行满秩：r=m每行都有主元，无论b取何值方程Ax=b都有解。主变量r个自由变量n-r个。

• 满秩r=m=n矩阵可逆。零空间只有零向量无论b取何值，方程Ax=b都有唯一解

秩决定了方程组解的数量。

mxn给出了矩阵的尺寸但是秩r给出的是矩阵的实际“大尛”。关于这个随后会有讨论