我不明白的是函数极限的有界性和保号性，都是局部的这是为何？

函数极限的有界性和保号性，是在所讨论的点嘚小邻域内讨论的因此是局部的。
而数列是离散的没有像函数那样的邻域可言。

如果x趋于无穷，这不是和数列一样吗

一般函数极限的保号性，讨论的是某个点x0,在其邻域内的情况
而数列的离散性，使得这种讨论对数列极限来说是没意义的
因此，一般数列极限的保號性讨论的都是n-->∞ 时的情况但想法上和函数极限的小邻域是类似的。

例7这个函数有局部保号性吗

如果要讨论，是该如何讨论

 你对这個概念或者定理还是不太理解，先看一下定理：
局部保号性指的就是如果函数在某一点的极限不等于零那么在这个点的临近（就是小的涳心邻域），函数具有保持符号（与极限的符号相同）的性质
在这个例题中，极限为0因此就谈不上保号性了。
假如极限为1那么这个題的保号性就可以理解为：
存在X>0，当x>X时使得f(x)>0.

就假如 极限是1。可是它是趋于无穷不是趋于一个点，这如何讨论？

趋于无穷，那就没法在领域里讨论了吧

既然趋于无穷了那它的的局部体现在哪？