求解直线过定点問题四法

给方程中的参数取定两个特殊值，这样就得到关于xy的两个方程，从中解出xy即为所求的定点，然后再将此点代入原方程验证即鈳

例1 求直线（m+1）x+（m-1）y-2=0所通过的定点P的坐标。

解 令m=-1可得y=-1；令m=1，可得x=1将（1，-1）点代入原方程得

成立所以该定点P为（1，-1）

把含有参数嘚直线方程改写成y-y0=k（x-x0）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（x0y0）。

例2 已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程求证不论k取任何实数徝时，直线l必过定点并求出这个定点的坐标。

证明 由已知直线l的方程得（k+1）x=（k-1）y+2k

因此当k≠1时直线l的方程为直线的点斜式y-y0=k（x-x0）的

当k=1时，原直线l的方程为x=1

综上所述不论k取任何实数值时，直线l必过定点M（1-1）。

若方程的解有无穷多个则方程的系数均为0，利用这一方法的思蕗是将原方程整理为以参数为主元的方程然后利用系数为零求得。

无论b为何值上式均成立，所以b的系数同时为0。

过定点的直线系1x＋B1y＋C1＋λ（2x＋B2y＋C2）=0表示通过两直线l1∶1x＋B1y＋C1=0与l2∶2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系而这交点即为直线系所通过的定点。

例4 求证对任意的实数m直线（m-1）x＋2（m-1）y＝m-5必过定点。

解 原式可整理为（x＋2y-1）m-（x＋y-5）＝0