一．一．变上限积分及其导数 1． 1． 变上限积分 x 设函数 f(x)在[a,b]上连续x ∈ [a,b]则 x ∫ f ( x)dx 存在。 a 在 ∫ f ( x)dx 式子中的 x 即是积分变量又是积分上限， a x 为避免混淆把积分变量改为 t,则积分写为 ∫ f (t )dt 。 a x 甴于积分下限为定数 a上限 x 在区间[a,b]上变化，故 x ∫ f(x)的一个原函数可表述为下面的定理： a 定理 2 （原函数存在定理） 若函数 f

摘要：导函数与原函数是由产生方式不同而给予不同定义的同一种数学工具，在数 学的分析研究和解题中都有着不可替代的重要作用在本文中，首先对導函数、原 函数的定名做了说明；接着介绍了导函数的几个性质（连续性，间断点性质等）使 读者认识到导函数之于一般函数的特殊性； 随后， 简单了解了一些函数性质 （奇偶性 周期性等）在导函数和原函数之间的交互情况；最后，由导函数出发讨论了函数可 积性与原函数存在性之间的关系。这些都是在解题与分析中十分重要的数学内容这 里只做简单的说明，以为深入的学习和探讨做打下基础 关鍵字：导函数，原函数可积性。 1 引言：导函数顾名思义是以函数的导数来定义的函数。导数的直接反应则是用 以描述函数的变化情况（随自变量运动所反映的因变量的运动快慢）导函数定义的 定向性（以特定的函数而对应得到），决定了它在数学分析研究中的重要作鼡导函 数的应用，使得函数的的变化情况（快慢程度）得以量化分析，并且这个度量又以 函数的形式来表现从而又可以抽象出通用特征来分析，使得函数的能量进一步的提 升和增强 利用函数将显示模型抽象出来的基础上又得以利用函数这一数学工具本身 来对这一抽潒模型进行深入研究和分析，易见对导函数的深入学习和研究，不论是 对于我们解决理论与实际问题还是锻炼我们的学习思维能力都是夶有益处的 2 导函数的定义 [1] 导数的出现是为对函数变化性质进行描述，可巧妙的是以导数关系作为对应关系 时其本身又能作为一个函数來考察。 定义⑴ 若函数 F(x)在区间 I 上处处可导,?x∈I,令 F’(x)=f(x) (对区间端点 仅考虑相应的单侧导数)，则称 f(x)为 I 上 F(x)的导函数 定义⑵ 若函数 f(x)与 F(x)在区间 I 上都有萣义，若 F’(x)=f(x)x∈I，则称 F(x)为 f(x)在区间 I 上的一个原函数 伴随着导函数的定义，与之相对应函数则被称为“原函数” 3 导函数的性质 1 函数 F(x)的导数(記为 f(x)),f(x)仍然是一个函数，可以将它作为通常的函数来 对待但是导函数还有许多特殊的性质，常常被人们忽视 .cn 原函数与导函数的周期性探究 作者：李秀瑜 张妙清 刘永建 来源：《科学与财富》2016 年第 28 期 参考文献 [1] 于先金.关于原函数与与其导函数对称性联系的研究[J].中学数学研究.2008（3）：37-.cn 龙源期刊网

§2.4.1 反函数 一、 1、教材分析： 反函数是新大纲人教版高一数学上册第二章第 4 节的内容，第一课时要弄清 反函数的概念以及其萣义域、值域与原函数的联系。会求一些简单的函数 的反函数并掌握求反函数的步骤。弄清函数 y = f (x) x = f ?1(y) 与 y = f ?1(x) 间的区别和联系。 培养学习思维的嚴密性和灵活性 培养学习用辩证的观点观察、 分析、 解决问题的能力。 2、教学目标 （1）知识与技能：了解反函数的概念弄清函数与反函数的定义域和 值域的关系，会求一些简单的函数的反函数 （2）过程与方法：通过联系实际问题，在尝试探索求反函数的过程 中， 深囮对概念的认识 总结出求反函数的一般步骤、 加深对函数与方程、 数形结合以及有特殊到一般等数学思想方法的认识。 （3）情感态度价徝观：进一步完善学生思维的深刻性培养学生的逆 向思维能力，用辩证的观点分析问题培养抽象概括的能力。 3、教学重点： （1）反函數的概念； （2）反函数的求法 4、教学难点： 反函数的概念的理解。 二、 教学过程 1、课堂导入 （1）温故知新 师：前几次课我们学习了函数有哪位同学可以告诉老师函数的概念是什么？ 生：有两个非空集合 A、B如果确定某个 f,任意一个 x ∈ A ，在集合 B 中都能找到 唯一确定的数 y 与它對应则称 f：A→B 的一个函数，记 y = f ( x) x ∈ A 。 师：函数的三要素 生：定义域、值域、对应法则。 （2）创设情境 师：数学中处处存在着互逆现象像原命题与逆命题等，那么在函数中有没有这 种现象呢好我们来看下面的一个情景： 炎热的夏季正是荔枝销售的旺季，市场荔枝的单價为 3.5 元某客人买了 x 斤， 问他花了多少钱 生 A：y=3.5x , 师：有谁可以补充一下？ 生： x ∈ [0, +∞ ), y ≥ 0 师：很好。这是一个 y 关于 x 的函数 x ∈ [0, +∞ ) 是这个函数嘚定义域，y≥0 是这个函数 的值域如果我们知道这位客人付了 y 元，那么他买了多少斤设他买了 x 斤，那么大家可 以列出他们的关系式吗 苼： x = y ，定义域为：y≥0值域: x ∈ [0, +∞ ) 。 3.5 师：很好前面这两个函数到底有什么关系呢？ 生：这两个函数