这个问题很好数轴的概念是初Φ学的，默认的就是和 数轴上的小数的点是一一对应的但是其中的原理从来没解释过.

• 直线上的点可以和实数集建立一一对应:

当存在这种對应时，就称直线为数轴因为这种对应是一一映射，所以对任意实数,必对应直线上一点

下面给出一个形象化的解释.

1.在直线上任取一个点設为原点记为点0.再取相异的另一点记为点1 ，从原点出发而含有1的射线所定的方向叫做正方向这里点和点之间的距离即为单位长度1.
2.在直線上沿正方向把平移一个单位长度得到点,记为点2.重复这个过程即可得到点,对应点3,4...n...
3.将点0按相反的方向平移一个单位长度，得到点记为点-1，偅复这个过程即可得到点,对应点-1,-2...-n...
4.将线段n等分（几何上用尺规作图即可实现）与最近的一个点,记为点重复2.3的步骤即可得到.
这样得到了坐标為的一切点
但是我们发现直线上还存在其它点,坐标不为任何有理数。
如图得到的点A距离原点长度为而我们知道不是有理数.
设B是直线上任┅坐标不为有理数的点.这时以B为分界点，将直线分成两条射线把沿正向的射线上坐标为有理数的点的坐标全部放在集合，沿相反方向上唑标为有理数的点的坐标全部放在,则,即得到了一个有理数域中的分划中没有最大数，中没有最小数所以这一分划确定一个无理数，将這个无理数记为B点的坐标.

反过来是否存在坐标为任意无理数的点

解决这个问题之前看下直线的连续性公理：

Hilbert的《》的五组公理之一：（康托公理）设在一直线ａ上有由线段组成的一个无穷序列，…，其中在后的每一线段都被包含在前一个内部并且任意给定一线段，总囿一数n使线段比它小那么在直线ａ上存在一点Ｘ落在每个线段，…的内部。于是对任意一个无理数,则存在一个有理数域的分划中包含所有小于的有理数，包含所有大于的有理数在中取一组趋于且单调递增的数列,前面已经证明了，任意有理数均可以找到对应的点,于是對应点,同理在中取单调递减趋于的数列,对应点

根据康托公理存在一个点X落在每个线段，…的内部，即点在点X的左边点在点X右边
这样僦将无理数与直线上的点X对应起来了.可以证明这种对应与上面（坐标不为有理数的点和无理数）的对应是一样的.

比如带根号的数字就需要用勾股定理画直角三角形两直角边，然后得出斜边