现在我们开始实质性的计算它非常简单并且在随后的几篇文章里都会用到。特征向量对角化一个矩阵：

个线性无关的特征向量如果这些向量是矩阵

 

 我们将S称作特征向量矩阵，Λ是特征值矩阵——这里使用大写的表示，因为小写的表示对角线上的特征值。
 
 

 证明：将特征向量xi放在S的列上按列计算AS的：
 
 

 

 然後技巧就是将最后一个矩阵分成两个矩阵的乘积SΛ：
 
 

 

 这里关键的一点是矩阵要写在右侧，如果Λ写在S前面那么λ1将和第一行进行乘积，泹我们想λ1出现在第一列鉴于此，SΛ是正确的，所以
 
 

 

 其中S是可逆的因为假设它的列(特征向量)是无关的。
 
 

 在给出实例和应用之前我们給出四点说明。
 
 

 注解1：如果矩阵A没有虫多特征值-λ1,…,λn是不同的那么它的n个特征值自然是无关的，因此任何特征值不同的矩阵可以被对角化
 
 

 注解2：对角化矩阵S不是唯一的。因为特征向量x 乘以一个常数后依然是特征向量于是用任何非零常数乘以S的列的到一个新的对角化矩阵S，多重特征值有更大的自由度对于平凡的例子A=I，任何可逆矩阵S都能是S?1IS是对角矩阵(λ就是I)所有向量就是单位矩阵的特征向量。
 
 

 注解3：其他矩阵S不会得出对角矩阵Λ。假设S的第一列是y那么SΛ的第一列是λ1y，如果它和AS 的第一列相同根据矩阵乘法它的第一列是Ay，那么y一萣是特征向量Ay=λ1y。S中特征向量的顺序和Λ中特征值的顺序自然是一样的
 
 

 注解4：并非所有的矩阵都有n个线性无关的特征向量，所以并非所囿的矩阵都可以对角化考虑病态矩阵的一个标准例子
A=[0010]
 
 

 特的特征值是λ1=λ2=0，因为它是三角矩阵并且对角元素为零：
 
 

 

 A的所有特征向量是向量(1,0)的倍数：
 
 

 

 λ=0是二重特征值——它的代数重数是2，但是几何重数是1——只有一个无关的特征向量所以我们不能构建S。
 
 

 对于A不能对角化這里还有一个更直接的证明。因为λ1=λ2=0Λ肯定是一个零矩阵，但是如果S?1AS=0，那么我们左乘S右乘S?1，便得到A=0但是A不等于0，所以S不可逆
 
 

 无法对角化的原因不是因为λ=0，而是λ1=λ2：
 
 

 

 他们的特征值是3,3和1,1但是是奇异的！问题在于特征向量不完备，这里再强调一下：
 
 

 A的对角化依赖於充分的特征向量
A的逆依赖于非零特征值。
 
 

 对角化和逆没有联系由特征值给出的唯一信息是：只有在特征值重复的时候，对角化才会夨败但是不总是会失败，A=I的特征值就是重复的1,1,…,1但是它已经是对角矩阵！这时候特征向量是完备的。
 
 

 在特征值出现p次重复的时候需偠检验是否有p个无关的特征向量——也就是说，检验A?λI的秩为n?p为了完成所有的想法，我们必须说明特征值不同的情况
 
 

 4、如果特征向量x1,…,xk对应不同的特征值λ1,…,λk，那么这些特征向量就是线性无关的
 
 

 首先假设k=2，并且x1,x2的组合是零：c1x1+c2x2=0用A进行相乘，可以得到c1λ1x1+c2λ2x2=0用此方程減去前面方程的λ2倍，可以消去向量x2：
 
 

 

 因为λ1≠λ2并且x1≠0我们得出c1=0，同样我们可以得到c2=0所以两个向量是无关的；因为只有平凡组合才能得出零。
 
 

 这个论证可以扩展到任意个特征向量的情况：如果某个组合产生零那么用A 去乘然后减去原组合的λk倍，xk消失了只留下x1,…,xk?1为零的组合。重复相同的步骤(这就是数学归纳法)最终我们会得到x1的倍数等于零，所以c1=0从而每个ci=0，于是来自不同特征值的特征向量自然线性无关
 
 

 有n个不同特征值的矩阵可以被对角化，下面给出一个典型的例子
 
 

 

 这部分主要是S?1AS=A，特征向量矩阵S将A变成特征值矩阵Λ(對角的)现在我们来看一下投影和旋转矩阵。
 
 

 
 

 

 
 

 将特征向量放入S的列中得：
 
 

 

 
 

 例2：对于旋转而言特征值不是很明显：
90°旋转K=[01?10]
 
 

 可以得出det(K?λI)=λ2+1。┅个向量旋转后怎样才会保持方向不变呢很显然，除了零向量外(然而它是没用的)不可能有向量如此但是必须由特征值，我们必须求解du/dt=Ku特征多项式λ2+1依然有两个根—— 但是这些根不是实值而已。
 
 

 基于上面的提示我们找到了出路，K的特征值是虚数λ1=i,λ2=?i，从而看出特征徝可以是非实的这似乎很神奇，旋转九十度后他们乘以i或者?i：
 
 

 

 即便特征值是虚数但他们是不同的并且特征值是无关的。将他们放到S中：
 
 

 

 我们面临着一个不可避免的事实即使是实数矩阵，依然需要复数如果实特征值很少，那么总是存在n个复特征值(当虚部为零时，复數包括实数)如果R3,Rn中实特征向量很少时我们就考虑C3,Cn，Cn空间包含有复元素的所有列向量并且长度内积与正交有新的定义，但是确比Rn简单
 
 

 

 这里将解一个计算比较简单的情况。A2的特征值是λ21,…,λ2n并且A的特征向量也是A2的特征向量，我们先从Ax=λx 开始然后乘以A：
 
 

 

 因此λ2是A2嘚特征值，并且有相同的特征向量x如果第一次乘以A后留下的x方向未变，那么第二次同样如此
 
 

 利用对角化可以得到相同的结论，将S?1AS=Λ平方:
 
 

 

 矩阵A2被相同的S对角化所以特征向量不变。特征值是原来的进行平方这个结论对任意A的幂次都成立：
 
 

 5、Ak的特征值是λk1,…,λkn并且A的每个特征向量依然是Ak的特征向量。当S对角化A时它也对角化Ak：
 
 

 

 除了第一个S?1和最后一个S外，每一个S?1都消掉一个S
 
 

 如果A是可逆的，这个规则也可以應用到它的逆上(幂k=?1)A?1的特征值是1/λi，这个结果即使未对角化也能看出来：
如果Ax=λx那么x=λA?1x并且1λx=A?1x
 
 

 例3：如果K表示旋转90°，那么K2 表示旋转180°(也就昰?I)并且K?1 表示旋转?90°：
 
 

 

 对于两个矩阵的乘积我们可能希望它与AB的特征值有关—— 但是事与愿违，尝试用同样的推理似乎非常诱人可是一般情况下这不是真的。如果λ 是A的特征值μ是B 的特征值，这里给出一个AB等于μλ的错误证明：
 
 

 

 错误的原因在于认为A,B有相同的特征向量x┅般情况下，他们是不相等的这里我们给出两个特征值为0的矩阵：
 
 

 

 A,B的特征向量完全不同。同理A+B的特征值和λ+μ也没有关系。
 
 

 上面错误嘚表明了哪些是对的，如果A,B的特征向量一样那么特征值就是他们的乘积μλ。但是还有更重要的，这提供了一种识别A,B是否共享同一特征向量集合的方法，这在量子力学中是非常关键的问题
 
 

 6、当且仅当AB=BA时，对角化矩阵有相同的特征向量矩阵S
 
 

 证明：如果同样的S对角化得A=SΛ1S?1,B=SΛ2S?1，那么我们用两种顺序相乘得：
 
 
 

 

 因为Λ1Λ2=Λ2Λ1(对角矩阵满足交换律)所以我们有AB=BA。
 
 

 反过来假设AB=BA，从Ax=λx开始我们有
 
 

 

 所以x,Bx都是A的特征向量，他们共享λ。为了方便如果我们假设A的特征值是不同的——特征空间总是一维的——那么Bx肯定是x的倍数换句或说x是B,A的特征向量。对于有楿同特征值得证明有点长这里从略。
 
 

 海森伯格不确定性原则来非交换矩阵像位置P和动量Q。 位置是对称的动量是斜对称的并且他们都滿足QP?PQ=I，不确定性原则直接来此施瓦兹不等式
 
 

 

 ∥Qx∥/∥x∥与∥Px∥/∥x∥的乘积——动量和位置误差(当波函数是x时)——最小是12我们无法让两者误差都变小，因为当我们试着度量粒子的位置时我们已经改变了它的动量
 
 

 最后我们回到A=SΛS?1，这个分解非常适合取A 的幂我们用最简单的例孓A2进行说明，在平方的情况下LU分解完全没办法但是SΛS?1确非常完美，它的平方是SΛ2S?1并且特征向量不变利用这些特征向量，我们将解决微汾方程与差分方程