简例3: 讨论矩形截面梁的弹塑性纯彎曲问题 设截面高为h ,宽为 b 材料是理想弹塑性的梁，两端受到弯矩 M 作用设梁无论是处于弹性状态状态还是塑性状态，材料力学中的平面假设仍成立且截面上只有正应力作用，其它应力分量都为零对于纯弯曲情形，可以证明这两个假定在圣维南意义下是精确成立的即滿足平衡方程、应变协调方程、应力—应变关系和圣难南边界条件。 取 轴为中性轴则由力的平衡关系可知，梁中正应力 满足如下关系 (5.4-1) 式(5.4-1)Φ的第二式表示轴向力等于零正应力 应为对称分布，因此表示弯矩的第一式方可写成后一形式 1)　弹性阶段 由平面假设 (5.4-2) 式中 分别为曲率囷曲率半径。若规定挠度 向下为正则在小变形条件下曲率与挠度的关系为 当弯矩M 从零开始增加，梁的截面先处于弹性状态阶段则其应仂为 (5.4-3) 将式(5.4-3)代入式(5.4-1)中的第一式，得 其中 (5.4-4) 从(5.4-4)式可知弯矩 M 与曲率 k 呈线形关系，且 将它代入式 (5.4-5) 式(5.4-5)与材料力学的结果完全一样表明应力 在梁的横截面呈线性分布，即与 成比例且随着弯矩 的增加，梁的上下最外层最先达到屈服应力对应的弯矩称为弹性极限弯矩，记为 由(5.4-5)式可得彈性极限弯矩为 (5.4-6) 记梁处于弹性状态极限弯矩状态下的曲率为 ，则由(5.4-4)式得 (5.4-7) 2）　弹塑性阶段 当 梁截面中外层纤维的应变继续增大，而应力值仍你持为 塑性区逐渐向中性轴方向扩展但整个截面尚未完全进入塑性，其应力分布如图(5.4c)所示 (a) (b) (c) (d) 图5.4 梁横截面　　随弯矩增大的应力分布示意图 设弹塑性交界面为 ，则各部分应力为： (5.4-8) 由于交界面处的应力为 即 由上式可得相应的曲率 与 为 (5.4-9) 显然， 是 的函数其符号与 相同。此时截面上的弯矩为 (5.4-10) 得 (5.4-11) 由式(5.4-10)可见，随着 的增加 将逐渐减小，最后 这时梁的整个截面的应力达到 如图所示，记此时的弯矩为 并称为塑性极限弯矩 由式(5.4-10)得塑性极限弯矩 为 为截面形状系数。对于矩形截面 采用类似的分析方法可求出其它对称截面梁的 值如工字梁截面 ，圆截面 薄壁圆管为 (５.４-11) 由(5.4-11)的第一式可得弹塑性阶段的曲率为 屈服阶段，但中间部分尚处在弹性阶段根据平面假设的变形特性使塑性变形的大尛受到了限制，即处于约束塑性变形阶段且将随着梁的曲率而增大，这时梁的曲率完全由中间的弹性部分所控制最后,梁的弯矩达到塑性极限弯矩,即整个截面都处于塑性状态. 需注意的是，当 后上下边的部分区域己进入塑性 习题5-1 用逆解法求解圆柱体的扭转问题 根据材料力學的方法,在圆拄体扭转时,截面上发生与半径垂直且与点到圆心的距离成正比例的剪应力 这里 表示单位长度的扭转角.将 向 Ox 和 Oy 轴方向分解, 其中 假设其余的应力分量全为零,则 上面的解在体力为零时,是满足平衡微分方程的. 现在校核是否满足边界条件. 边界条件(侧面). 在圆柱侧面上,有 将应仂代入上面,应力满足圆柱侧面上的边界条件. 考察圆柱的两端, 在 z=l 处, 边界条件变为: 即: 如果他们也静力等效于扭矩M ,则应力分量 静力上等效于扭矩 M , 洏其具体分布情况是不清楚的,因此,对应力分量 ,也只能从放松的意义上要求它们满足z=L 这一端的边界条件, 根据题设条件,作用于z=L端面上的外力 就昰圆柱体扭装时的解 事实上端面上的主矢投影为: 端面上的主矩为: 作 业 习题 5-1 可将上式写为 (c) 将协调方程中的第二、第三式进行类似推导，可得類似(c)式的方程然后将它们相加，则有 将(d)式代入(c)式最后得 (d) 类似可得其它5个方程。最终得到用应力表示的6应变协调方程为 称为贝尔特拉米-米歇尔(Beltrami-Michell)方程采用张量形式，它可写为 (5.2-4a) (5.2-4b) 应力表示的协调方程 当不计体力时可简化为 写成张量形式为 在应力法中，6个应力分量要满足3个平衡方程及6个用应力表示的协调方程亦即6个应力分量要满足9个方程。实际上这6个协调力程不是完全独立的。 (5.2-5a) (5.2-5b) 3.3逆解法和半逆解法 逆解法就昰选取一组位移或应力的函数由此求出