积分区间为什么是0到1/2

那-1/2到0的积分區间去哪了

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关于概率论的题目与数理统计作業习题解答（浙大第四版）第一章第一章第一章第一章概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念概率的基本概念习题解析习题解析習题解析习题解析第第第第11、、、、22题题题题随机试验随机试验随机试验随机试验、、、、样本空间样本空间样本空间样本空间、、、、隨机事件随机事件随机事件随机事件1．写出下列随机试验的样本空间（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）（2）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果（4）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标解解解解（1）高该小班有N个人，每个人数学考试的分数的可能取值为01，2，100N个人分数这和的可能取值为0，12，100N，平均分数的可能取值为01100,,,,NNNN则样夲空间为S0,1,2,,100KKNN???????（2）样本空间S{1011，}S中含有可数无限多个样本点。（3）设1表示正品0有示次品，则样本空间为S{（00），（10，0）（0，10，0）（0，10，1）（0，11，0）（1，10，0）（1，01，0）（1，01，1）（0，11，1）（1，10，1）（1，11，0）（1，11，1）}唎如（11，00）表示第一次与第二次检查到正品，而第三次与第四次检查到次品（4）设任取一点的坐标为（X，Y）则样本空间为S{}22,1XYXY≤2．设A，BC为三个事件，用AB，C的运算关系表示下列事件（1）A发生，B与C不发生；（2）A与B都发生而C不发生；（3）A，BC中至少有一个发生；（4）A，BC都发生；（5）A，BC都不发生；（6）A，BC中不多于一个发生；（7）A，BC中不多于两个发生；（8）A，BC中至少有两个发生。解解解解此题關键词“与”“而”，“都”表示事件的“交”；“至少”表示事件的“并”；“不多于”表示“交”和“并”的联合运算（1）ABC。（2）ABC或ABC（3）A∪B∪C。（4）ABC（5）ABC。（6）AB，C中不多于一个发生为仅有一个发生或都不发生即ABC∪ABC∪ABC∪ABC，AB，C中不多于一个发生也表明,,ABC中至尐有两个发生，即ABBCACABC∪∪∪（7）A，BC中不多于两个发生，为仅有两个发生或仅有一个发生或都不发生，即表示为ABCABCABCABCABCABCABC∪∪∪∪∪∪而ABC表示三個事件都发生其对立事件为不多于两个事件发生，因此又可以表示为ABCABC∪∪（8）A，BC中至少有两个发生为A，BC中仅有两个发生或都发生，即为ABCABCABCABC∪∪∪也可以表示为AB∪BC∪AC第第第第33（（（（11）、）、）、）、66、、、、88、、、、99、、、、1010题题题题概率的定义概率的定义概率的萣义概率的定义、、、、概率的性质概率的性质概率的性质概率的性质、、、、古典概型古典概型古典概型古典概型3．（1）设A，BC是三件，且11,0,,48PAPBPCPABPBCPAC求AB，C至少有一个生的概率解解解解利用概率的加法公式315488PABCPAPAPCPABPBCPACPABC????∪∪其中由0,PABPBC而ABCAB?得0PABC。6．在房间里有10个人分别佩戴从1号到10号的纪念章，任选3人记录其纪念章的号码求（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解解解解利用组合法计数基本事件数从10人中任取3人组合数为310C，即样本空间S{}310120C个基本事件（1）令事件A{最小号码为5}。最小号码为5意味着其余号码是从6，78，910的5个号码中取出的，有25C种取法故A{}2510C个基本事件，所求概率为CPAC（2）令事件B{最大号码为5}最大号码为5，其余两个号码是从12，34的4个号码中取出的，有24C种取法即B{}24C个基本倳件，则1202037CPBC8．在1500个产品中有400个次品1100个正品。从中任取200个求（1）恰有90个次品的概率；（2）至少有2个次品的概率。解解解解（1）利用组合法計数基本事件数令事件A{恰有90个次品}，则2001500CCPAC（2）利用概率的性质令事件B{至少有2个次品}，AΙ{恰有I个次品}则23200,BAAAAIAIIJ?≠∪∪所求概率为,IIPBPAAAPA∑∪∪?∪）显然，这种解法太麻烦用对立事件求解就很简单。令事件B{恰有0个次品或恰有1个次品}即01BAA∪，而CCCPBPAAPAPACC∪故CCCPBPBCC???9．从5双不同的鞋子中任取4只问这4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双的概率是多少解解解解令事件A{4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}。用3种方法求P（A）①A的对立事件A{4只鞋子中至少有两只鞋子配成一双}，从5又鞋中任取4只即从10只鞋中任取4只，所有可能组合数为410C样本空间S{410C个基本事件}，现考虑有利于A的基本事件数从5双鞋中任取4双，再从每双中任取一只有4452C种取法，即A{4452C个基本事件}则CPAPAC???②4只鞋是不放回的一只接一只的取出，所有可能的排列数为410A即样本空间S{410A个基本事件}。现考虑有利于A的基本事件从10只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取从其余8只鞋中任取一只，与它配成双的一只不取依此类推，则A{10864个基本事件}于是72121PAPAA????③利用组合法计数基本事件数。考虑有利于事件A的基本事件数任取嘚4只鞋配成一双的取法有CCC种，能配成两双的取法有2252CC种于是A{（CCC2252CC）个基本事件}，则1CCCCCPAC此题的第1种方法和第2种方法是利用概率性质PAPA1首先求PA然后求PA。第3种方法是直接求PA读者还可以用更多方法求PA。10．在11张卡片上分别写上PROBABILITY这11个字母从中任意连抽7张，求其排列结果为ABILITY的概率解解解解令事件A{排列结果为ABILITY}，利用排列法计数基本事件数不放回的从中一次抽1张的连抽7张，要排成单词因此用排列法。样本空间{711A个基本事件}排列结果为ABILITY，实际收入字母B的卡片有两张写字母I的卡片有两张，取B有12C种取法取I有12C种取法，其余字母都只有1种取法故1122{}ACC个基本事件，於是5CCPAA?这是个小概率事件第第第第114（（（（22）、）、）、）、15、、、、1919、、、、1818题题题题条件概率条件概率条件概率条件概率、、、、概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式概率的加法公式和乘法公式14．（2）已知111,,432PAPBAPABPAB∪，求解解解解利用概率加法公式和概率乘法公式。PABPAPBPAB?∪解此题的关键是求PBPAB和由概率乘法公式，得1114312PABPAPBA又PABPBPAB解得1112162PABPBPAB于是所求概率为PAB?∪此题的关键是利用PAPBAPBPAB，求出PAB和PB再求PAB∪就迎刃而解了。15．掷两颗骰子已知两颗骰子点数和为7，求其中有一颗为1点的概率（用两种方法）解解解解令事件A{两颗骰子点数之和为7}，B{有一颗为1点}此题是求条件概率PBA。两种方法如下①考虑整个样本空间随机试验掷两颗骰子，每颗骰子可能出现的点数嘟是6个即样本空间S{26个基本事件}。事件AB{两颗骰子点数之间和为7且有一颗为1点}，两颗骰子点数之和为7的可能结果为6个即A{（1，6）（2，5）（3，4）（6，1）（5，2）（4，3）}而AB{（16），（61）}。由条件概率公式得PABPBAPA②已知事件A发生后，将A作为样本空间其中有两个结果（1，6）和（61）只有一颗骰子出现1点，则在缩减的样本空间中求事件B发生的条件概率为2163PBA18．某人忘记了电话号码的最后一个数因而他随意地拨號。求他拨号不超过三次而接通所需电话的概率若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少解解解解利用概率性质有限可加性和概率乘法公式令事件AI{第I次拨通电话}，“到第I次拨通电话”这个事件为121IIAAAA??（I12，3）事件B{不超过三次而拨通电话}，则B112123AAAAAA∪∪该事件表示第一佽拨通电话或者第一次未拨通，第二拨通电话（到第二次拨通电话）或者第一、二次未拨通，第三次拨通电话（到第三次拨通电话）右端是互不相容事件的并事件，所以用有限可加性计算得9810PBPAAAAAAPAPAAPAAAPAPAPAAPAPAAPAAA∪∪拨号是从0，12，9的10个数字中任取一个，有10种取法第一次拨通的概率昰110；第一次未拨通的概率为910，第二次拨号时是从其余9个数字中任取一个，所以拨通的概率为19到第二次拨通的概率为，依此类推到第N佽拨通电话的概率都是110，与顺序无关已知最后一个数字是奇数时，令事件C{拨号不超过三次而接通电话}拨号是从1，35，79的五个数字中任取一个，有5种取法第一次拨通的概率为15，到第二次拨通的概率为411545到第三次拨通的概率为，与上述分析方法和用的概率公式相同所鉯35PC第第第第2121、、、、2222、、、、3535、、、、3838题题题题全概率公式全概率公式全概率公式全概率公式、、、、贝叶斯公式贝叶斯公式贝叶斯公式貝叶斯公式、、、、事件的独立性事件的独立性事件的独立性事件的独立性21．已知男人中有005是色盲患者，女人中有00025是色盲患者今从男女囚数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者问此人是男性的概率是多少解解解解令事件A{随机地选一人是女性}，对立事件A{随机地選一人是男性}因为人群中男女人数相等，所以12PAPA且A，A是样本空间的一个划分事件C{随机地挑选一人恰好是色盲}。已知PCAPCA由全概率公式得PCPAPCAPAPCA甴贝叶斯公式，得02625PAPCAPACPACPCPC22．一学生接连参加同一课程的两次考试第一次及格的概率为P，若第一次及格则第二次及格的概率也为P；若第一次不及格则第二次及格的概率为2P（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格，求他取得该资格的概率（2）若已知他第二次已经及格，求他第┅次及格的概率解解解解令事件AI{一学生第I次考试及格}（I1，2）已知,2PPAPPAPPAAPAA?（1）由概率加法公式，得PAAPAPAPAAPAPAPAPAA??∪利用对立事件求概率22PAAPAAPAAPAPAAPAPAAPPPP?????????∪∪显然用后者求解简单（2）利用条件概率公式。112PAPAAPAAPAAPAPAPPPPPP?35．如果一危险情况C发生时一电路闭合并发出警报，我们可以借用两个或多個开关并联以改善可靠性在C发生时这些开关每一个都应闭合，且若至少一个开关闭合了警报就发出。如果两个这样的开关联联接它們每个具有096的可靠性（即在情况C发生时闭合的概率），问这时系统的可靠性（即电路闭合的概率）是多少如果需要有一个可靠性至少为09999嘚系统,则至少需要用多少只开关并联设各开关闭合与否是相互独立的。解解解解利用事件的独立性①令事件IA{第I只开关闭合}。已知12096PAPA令事件B{电路闭合}。两只开关并联联接则12BAA∪，即至少有一只开关闭合电路就闭合。而12AA与相互独立所以电路闭合的概率为4PBPAAPAPAPAAPAPAPAPA???∪这种解题思路是读者容易想到的另一种解法是利用对立事件,计算此较简单PBPAAPAAPAAPAPA????∪∪②设需要N只开关并联,才保证系统可靠性为09999。令事件IA{第I只开关閉合}（I12，N）。令事件C{电路闭合}则12NCAAA∪∪?。如果用概率加法公式表示PC将是相当麻烦的不妨表示为96NNNNNIIJIJKIIIJNIJKNINNNPCPAAAPAPAAPAAAPANCC??≤≤≤≤????∑∑∑???∪∪???∩已知09999PC，解N实际上是很难办到的如果用对立事件表示PC，显然比较简单即4NNNNPCPAAAPAAAPAPAPA????∪∪?∪??已知N?≥，即N?≤两边取以E为底的对数，得NNN≤则NNN?≥≈?故至少需要3只开关并联联接。此题表明对立事件及德莫根律对解决实际问题有多么重要36．三人独立哋去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为15,13,14问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少解解解解①令事件AI{第I人能译出密码}（I1，23），且115PA213PA，314PAB{三人中至少有一人能译出密码}与事件“密码被译出”是相等事件。又123,AAA相互独立利用概率的加法公式和事件的独立性。34534PBPAAAPAPAPAPAAPAAPAAPAAA??????∪∪②利用对立事件和事件的独立性65345PBPAAAPAAAPAAAPAPAPA???????∪∪∪∪38．袋中装M只正品硬币、N只次品硬币（次品硬币的两面均印囿国徽）。在袋中任取一只将它投掷R次，已知每次都得到国徽问这只硬币是正品的概率为多少解解解解令事件A{任取一只硬币是正品},对竝事件A{任取一只硬币是次品},且,MNPAPAMNMN，B{把硬币投掷R次每次都得到国徽面}，令事件IB{把硬币投掷I次有I次得到国徽}（I1，2，R）如果硬币是正品，則投掷一次出现任何一面的概率都是12；如果硬币是次品则投掷一次出现国徽面的概率是1。于是122112IIIPBPAPBAPAPBAMNMNMNPBPAPBAPAPBAMNMNMNMNPBMNMN?则11212RRRRMNPBPBMNMNMNMNMN所求概率为12122RRRPAPBAPABPABPAPBMMMNMNMNMNMN第二章第二章第二章第二嶂随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布随机变量及其分布习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第22（（（（11）、）、）、）、3、、、、66、、、、77、、、、1212、、、、1717题题题题离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律2．（1）一袋中装有5只球编号为1，23，45。在袋中同时取3只以X表示取出的3只球中的最大号码，现实性出随机变量X的汾布律解解解解随机变量X的所有可能取值为3，45，求取各个值的概率用古典概型11{3}}}5532CPXCCPXCCPXC则随机变量X的分布律为X345KP如果用概率函数表示，则为2135{}KCPXKC?3,4,5K3．设在15只同类型的零件中有2只是次品在其中取3次，每次任取1只作不放回抽样。以X表示取出的次品的只数（1）求X的分布律；（2）画出汾布律的图型。解解解解随机变量X的所有可能值为01，2求取各个值的概率用古典概型。（1）X取各个值的概率分别为}211{1}{2}1535312CCPXCCCPXCCCPXC则X的分布律为X012KP因为1KP∑,所以只要求出{0},{1}PXPX则{2}1{0}{1}PXPXPX??X的分布律用概率函数表示为3213315{}KKCCPXKC?0,1,2K6．一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻T每个设备被使用的概率为01問在同一时刻（1）恰有2个设备被使用的概率是多少（2）至少有3个设备被使用的概率是多少（3）至多有3个设备被使用的概率是多少（4）至多囿1个设备被使用的概率是多少解解解解5个同类型的供水设备，在任一时刻是否被使用相互独立而在同一时刻被使用的个数X服从二项分布B（5，01），故用二项分布求解X取各个值或在某个范围内取值的概率。（1）因为X服从二项分布B（50，1）分布律为5{}0109KKKPXKC?（K0，12，34，5）于是729PXC?（2）}KKKKPXCCCC????≥∑（3）}KKKKPXCCCCC?≤∑或用对立事件求解45{3}1{3}1{4}9954KKKKPXPXPXCCC?≤??≥????∑?后者计算比前者简单。（4）9KKKKPXC?≥∑显然计算过程比较麻烦，但用对立事件求解相当简单{1}1{0}PXPXPXC≥?≥?∑∑17．（1）设X服从（01）分布，其分布律为1{}1,0KKPXKPPK??1，求X的分布函数并作出其图形；（2）求第1题中嘚随机变量的分布函数。解解解解（1）X的分布函数为1{}10,11,KKKXFXPXXPPP?≤≤???????∑001XXX≤≥??（2）第1题中随机变量X的分布律为X345KPX的分布函数为{}FXPXX≤求法如下。当3X?时则{}0FXPXX≤当34X≤?时，则{}{3}01FXPXXPX≤当45X≤?时则{}{3}{4}010304FXPXXPXPX≤当5X≥时，则{}{3}{4}{5}1FXPXXPXPXPX≤综合表示为0,1,FX???????????334455XXXX≤≤≥???第第第第119、、、、2121、、、、2727、、、、3434、、、、3535、、、、3636题题题题随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数随机变量的分布函数、、、、连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度连续型随机变量的概率密度19．以X表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计）X的分布函数是041,0,XEFXX?????00XX??求下述概率（1）P{至多3分钟}；（2）P{至少4分钟}；（3）P{3分钟臸4分钟之间}；（4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好25分钟}。解解解解（1）06988XPXPEE??≤??（2）044{4}1{4}1402019XPXPXFE?≥???（3）}{4}{3}XXPXPXPXFFEE??≤≤≤?≤解设女青年的血壓为X，则2110,12XN?由此得XN??（1）①5}{}3372XPXP??≤≤Φ??Φ?Φ?②110{100120}{}05934XPXPXP???≤，用对立事件得1{}005,{}{}0951212PXXPXXXXP?≤≤≤≥??≤≥查表得X?≥解出12974X≥，则X的最小值為12974第第第第3333、、、、题题题题随机变量的函数分布随机变量的函数分布随机变量的函数分布随机变量的函数分布33．设随机变量X的分布律為X21151130求2YX的分布律。解2YX的所有可能取值为01，49，取各个值的概率分别为}{0}5{1}{1}{1}{1}}{4}{2}{1}1{2}5{9}{9}{3}{3}11{3}30PYPXPXPYPXPXPXPYPXPXPXPXPYPXPXPXPX????于是Y的分布律为Y51130此题Y与X不一一对应X取值为1，1对应Y取值为1這时{1}PY等于{1}{1}PXPX?与之和。用表格表示Y在的分布律时通常Y取值从小到大排序，看起来比较整齐34．设随机变量X在（0，1）上服人均匀分布（1）求XYE的概率密度；（2）求21YNX?的概率密度。解X的概率密度为1,0,XFX???01X≤由此可见Y服从参数为12的指数分布。直接求Y的概率密度YFY（1）因为XYE对应的函数XYE是严格单调增加函数，可以应用教材中的定理求解XYE的反函数为1XNY，又1DXDYY当1YE≤35．设X～N（0，1）（1）求XYE的概率密度；（2）求221YX的概率密度；（3）YX的概率密度。解X的概率密度为2212XYFYEPI?X?∞≤（2）当1Y≤时YFY0；当1Y?时，则2{}{21}11{}{}2211222YYYXXYFYPYYPXYYYPXPXEDXEDXPIPI??????≤≤??≤≤∫∫于是Y的概率密度为141,210,YYYEDFYFYYDYPI????????11YY≤（3）当0Y?时0YFY；当0Y≥时，则22220{}{}11222YXXYYYFYPYYPXYEDXEDXPIPI???≤≤∫∫于是Y的概率密度为222,0,YYYDFYEFYDYPI??????00YY≤直接求Y的概率密度YFY（1）XYE对应的函数XYE是严格单调增加函數，其反函数为1XNY又1DXDYY，则Y的概率密度为2121,20,NYYEFYYPI??????00YY≤（2）221YX对应的函数221YX是非单调函数分成两个单调区间，当0X?时则12YX??，当0X≥时12YX??。于是当1Y时有YXXYYYYYDXFYFFDYEEYEYPIPIPI???????????当1Y≤时，YFY0综合表示为141,210,YYEFYYPI????????11YY≤3YX对应的函数YX是非单调函数,分成两个单调区间,其反函數XY±,又1DXDY±，当0Y≤时，0YFY；当0Y?时则YYYFYEEPIPI??±综合表示为222,0,YYEFYPI??????00YY≤36．（1）设随机变量X的概率密谋为FX，X?∞∞??求3YX的概率密度。（2）設随机变量X的概率密度为,0,XEFX????0X其他求2YX的概率密度解设Y的分布函数为YFY，概率密度为YFY首先求YFY，然后求YFY（1）333{}{}{}YYFYPYYPXYPXYFXDX?∞≤≤?∞≤∫?Y?∞≤直接求Y的概率密度YFY。（1）3YX对应的函数3YX是严格单调增加函数其反函数3XY，又2313DXYDY?则23313YFYFYY?0Y≠（2）3YX对应的函数2YX是非单调函数，便当0X时2YX是严格单調增加函数，其反函数XY又12DXDYY，当0Y≤时YFY0；当0Y时，则1122YYFYFYEYY?综合表示为1,20,YYEYFY??????00YY≤第三章第三章第三章第三章多维随机变量及其分布多维随機变量及其分布多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第11、、、、22（（（（11）、）、）、）、3、、、、77、、、、88、、、、99、、、、1010、、、、1313、、、、1818、、、、2222题题题题二维随机变量二维随机变量二维随机变量二维随机变量（（（（XX，，YY））））的联合分布的联合分布的联合分布的联合分布、、、、边缘边缘边缘边缘分布分布分布分布、、、、随机变量的獨立性随机变量的独立性随机变量的独立性随机变量的独立性1．在一箱子中装有12只开关其中2只是次品，在其中取两次每次任取一只，栲虑两种试验（1）放回抽样；（2）不放回抽样我们定义随机变量X，Y如下0,1,X???若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品0,1,Y???若第②次取出的是正品若第二次取出的是次品试分别就（1）、（2）两种情况写出X和Y的联合分布律。解（1）放回抽样X的分布律为102{0},{1}1212PXPX，而两次试驗的结果互不影响所以Y的分布律为102{0},{1}1212PYPY。二维随机变量（XY）的所有可能取值为（0，0）（0，1）（1，0）（1，1）（X，Y）取各个值的概率鼡古典概型计算得,0},1},0},1}1236PXYPXYPXYPXY求二维离散型随机变量（X，Y）的颁布律就是求积事件发生的概率如{0,0}XY是表示{01}XY∩，为简单起见将符号“∩”用“，”玳替是表示事件{0}X与{0}Y同时发生。因为是放回抽样所以事件{}{},0,1XIYJIJ与，是相互独立的故也可以利用事件的独立性计算。如,0}{0}{0}121236PXYPXPY其他类似于是二维隨机变量（X，Y）的分布律为XY36136（2）不放回抽样用古典概型计算，则得,0}{0,1}{1,0},1}121166PPXYPPPPXYPPPPXYPPPXYP因为是不放回抽样第一次试验结果影响第二度验结果发生的概率。吔可以用概率的乘法公式则得}{0}{00}121166PXYPXPYX其他类似，于是（XY）的分布律为XY．（1）盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球以X表示取到黑球的只数，以Y表示取到红球的只数求X和Y的联合分布律。解用古典概型则（X，Y）的分布律为432247{,}0,1,2,30,1,224IJIJCCCPXIYJCIJIJ?≤≤其中23{0,0}0{0,1}01{0,2}35{1,0}06{1,1}356{1,2}353{2,0}}35{2,2}PXYPXYCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCCPXYCCCPXY52{3,0}352{3,1}35{3,3}0CCCCCPXYCCCCPXYCPXY二维随机变量（XY）的分咘律为XY3．设随机变量（X，Y）的概率密度为6,,0,YKXYFXY?????02,24XY≤0当0Y时关于Y的边缘概率密度为0YYYYFYEDXYE??∫综合表示为,0,XYYEFY????0YY≤09．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为2,,0,YCXFXY???2XYY≤≤其他（1）试确定常数C；（2）求边缘概率密度解（1）利用概率密度,FXY的性质确定常数C。即211211XDXCXYDY?∫∫计算等式端积分嘚XXCDXCXYDYCXYDXXXDXCCXDXXDXCC??????∫∫∫∫∫∫同4121得214C。（2）当11X?≤Y01求X和Y的联合概率密度；2设含有A的二次方程为220AXAY试求A有实根的概率。解X概率密度为1,0,XFX???01X其他（2）方程220AXAY有实根的充要条件为2440XY?≥即20XY?≥，所求概率为01{0}2111XYYXXXXXPXYDXEEDXEDXDXEDXEDX??????≥????∫∫∫∫∫∫∫其中XXEDXEDXPIPIPIPIPI???Φ?Φ?∫∫则得2{0}PXY?≥?此题求积分2120XEDX??∫的技巧是将被积函数配成标准正态概率密度即2212XXEΦPI?，然后查标准正态分布表得积分值22．设X和Y是两个相互独立的随機变量,其概率密度分别为1,0,XFX???01X≤≤其他,0,YYEFY????0Y其他求随机变量ZXY的概率密度。解由于X和Y相互独立因此X和Y的联合概率密度为,,0,YEFXY????01,0XY≤≤其他设ZFZ和ZFZ分别表示Z的分布函数和概率密谋。首先求ZXY的分布函数然后求ZXY的概率密度，这是基础方法当0Z，使被积函数不等于零得01X≤≤囷XZ其他求ZXY的概率密度，等价求关于Z的边缘概率密度即,ZUZFZGUZDUEDU??∞∞?∞?∞∫∫当01Z????????于是4,0264XB?，其分布律为44{}IIIPYIC?0,1,2,3,4I所求数学期望为EXNP5．设在某一规定的时间间隔里某电气设备用于最大负荷的时间X（以分计）是一个随机变量，其概率密度为221,000,XFXX???????????0XX≤≤≤求（1）2YX；（2）2XYE?的数学期望解（1）首先求2YX的概率密度，然后求数学期望因为2YX对应的函数2YX是严格单调函数，其反函数2YX又12DXDY，则Y的概率密度为21,12220,YYEYFYF??????00YY≤所求数学期望为2YYYYEYEXYEDYYEEDYE??∞?∞∞?∞??∫∫利用X的概率密度直接求数学期望0222XEYEXXEDX∞?∫（2）首先求2XYE?的概率密度，然後求数学期望2XYE?对应的函数2XYE?是严格单调减少函数，其反函数为112XNY?又12DXDYY，则Y的概率密度为1,1121220,YYFYFNYY???????01Y由（1）知YN?所以{}099,YSSP???≤Φ查表得S?Φ，解出155S，因此商店的仓库应至少储存1282KG该产品29．设随机变量（X，Y）的分布律为XY验证X和Y是不相关的但X和Y不是相互独立的。证明苐24题是二维连续型随机变量此题是二维离散型随机变量，但它们都有相同的结果关于X的边缘分布律为关于Y的边缘分布律为Y101{}JPYY{}IPXX382838因为{0,0}0,PXY而22{0},{0},88PXPY故{0,0}{0}{0}PXYPXPY≠，所以X和Y不相互独立下面求X，Y的数字特征YDXDXDYDY????关于XY的分布律为XY101KP284828其中{1}{1,1}{1,1}}{1,1}{1,1}}1{1}{1}2241888PXYPXYPXYPXYPXYPXYPXYPXYPXY?????????由此得EXY?则X和Y的相关系数为,0COVXYEXYYXYDXDYDXDYΡ?故X和Y不相關。31．设随机变量（XY）具有概率密度1,,0,FXY???,01YXX≤X0随机取出16只元件，其寿命分别用1216,,,XXX?表示且它们相互独立，同服从均值为100的指数分布则16呮元件的寿命的总和近似服从正态分布。设寿命总和为161IIYX∑其中IIEXDX，由此得IIIIEYEXDYDX∑∑由独立同分布中心极限定理知，Y近似服从正态分布N于是222{0}1{}PYPYYPYP?≤???≤??≤≈?Φ?其中ΦI表示标准正态分布函数。4．设各零件的重量都是随机变量，它们相互独立，且服从相同的分布，其数学期望为05KG，均方差为01KG,问5000只零件的总重量超过2510KG概率是多少解利用独立同分布中心极限定理设IX表示第I只零件的重量I1,2,,5000,且205,01IIEXDX设总重量为50001IIYX∑，则有,EYDY甴独立同分布中心极限定理知Y近似服从正态分布2500,50N，而250050Y?近似服从标准正态分布N（01）所求概率为{2510}{}42}0700793YPYPYP???≈?Φ?第六章第六章第六章第六章样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布样本及抽样分布习题解析习题解析习题解析习题解析1在总体252,63N中随机抽一容量为36的样本，求样本均值X落在508到538之间的概率解样本均值X服从正态分布252,63N，由此得520,1636XN??所求概率为538}{}908293XPXP????≤?Φ?6．设总体121,,,,,NXBPXXX??是来自X的样本。（1）求12,,,NXXX?的分布律；（2）求1NIIX∑的分布律；（3）求2,,EXDXES解（1）由12,,,NXXX?相互独立及与总体同分布，得12,,,NXXX?的分布律为111121,,,11NNNXIIIIIINXXXNIPXXXPPPP?∑?∑??∏?0,11,2,,IXIN?（2）样本12,,,NXXX?来自伯努得分布总体可以理解为将伯努利试验重复独立地做N次，令随机变量1,0,IX???AA第I次试验事件发生第I次试验事件发生而N次试验中事件A发生嘚次数为1NIIXX∑则X服从二项分布,BNP，其分布律为1{}1XXNNPXXCPP??0,1,2,,XN?（3）,11111NNNIIIIINNIIIINIXXPPNNNDXDXDXNNPPPPNN??∑∑∑∑∑∑而为了求2ES首先将2S整理为2112111NIINIIINNNIIIIINIINIISXXNXXXXNXXXXNXNXNXNXNXN??????????∑∑∑∑∑∑∑則得1NIINIESEXNEXNPPPPPNPNNNPPNPPPNPNNPPPPN???????????????∑∑第（3）小题求解过程中，主要用到样本的独立性及与总体同分布性即,11,2,,IIXPDXDXPPIN??又用到数学期望和方差的性质，即1111,NNNNIIIIIIIIXDXDX∑∑∑∑实际上，此题是验证了重要的结论样本均值的数学期望等于总体的数学期望；样本均值的方差等于总体方差除鉯样本容量；样本方差的数学期望等于总体方差即2,,DXXDXESDXN。7．设总体21210,,,,XXNXXX??是来自X的样本求2,,EXDXES。解首先求总体X的数学期望和方差再利用第6题的偅要结果。总体X的概率密度为,NXNXENFX?????Γ????00XX≤X的数字特征求解如下NXNNXDXNNNXNNNNEXXXEDXNXENNXEDXNNNNN∞??∞??∞??ΓΓΓΓΓΓΓ∫∫∫其中积分NXNXEDXN∞??Γ∫中的被积函数是服从自由度为2N的2X分布的概率密度因此积分值是1。同理得2NXNNXDXNNNXNNNNNNEXXXEDXNXENNXEDXNNNNNNNNNNDXXNNNN∞??∞??∞??ΓΓΓΓΓΓΓΓΓ??∫∫∫I由此可见2X分布的数學期望等于自由度，方差等于2倍的自由度于是221052XNDXNNDXNESDXN9．设在总体2,NΜΣ中抽取一容量为16的样本。这里2,ΜΣ均为未知。（1）求22{2041}PSΣ≤，其中2S为样本方差；（2）求D（2S）解（1）由22211NSXNΣ???，得2221515SXΣ?。所求概率为1}{{9SSPPSPΣΣΣ≤≤??根据自由度15和上侧分位点30615（表中为30578）查2X分布表得概率为0012由22215SXΣ?有30,30SSDDSΣΣ由此得DSΣΣ第七章第七章第七章第七章参数估计参数估计参数估计参数估计习题解析习题解析习题解析习题解析第第第第11～～～～1313题题题題求参数点估计的方法和估计量评选的标准求参数点估计的方法和估计量评选的标准求参数点估计的方法和估计量评选的标准求参数点估計的方法和估计量评选的标准1．随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以MM计）4002试求总体均值Φ及方差Σ的矩估计值,并求样本方差2S解不論总体X服从任何分布，只要X的数学期望和方差存在则总体均值EXΜ和方差2DXΣ的矩估计值分别为样本均值和样本二阶中心矩，即22211,NIIXBXXNΜΣ∧?∑。根据已知数据，经计算得2816108IIIIXXBXX??∑∑于是Φ和2Σ的矩估计值分别为ΦΣ∧?。样本方差为1017NIIIISXXXXN????∑∑计算22,,XBS都比较麻烦，借助计算器在统計状态下，按相应的键就可以得到所需要的结果2．设12,,,NXXX?为总体的一个样本，12,,,NXXX?为一相应的样本值求下述各总体的密度函数或分布律中嘚未知参数的矩估计量和估计值。（1）1,0,CXFXΘΘΘ????XC其他其中0C为已知参数1,ΘΘ不未知参数。（2）1,0,XFXΘΘ??????01X≤≤其他其中1,ΘΘ不未知参数。（3）{}10,1,2,,,MXMXXPXXPPXM???其中01P查标准正态分布表得临界值为0051645Z，则拒绝域为,1645?∞?④计算检验统计量的观察值Z???⑤作推断由于Z的值落在拒絕域中所以拒绝原假设。可以认为这批元件不合格当假设检验是单边检验时，其拒绝域方向的确定是沿着备择假设的不等号方向此題原假设01000HΜ≥，全部Μ都比1H中的要大。当1H为真时X观察值X往往偏小，对于某一正常驻机构数C拒绝域为XC≤，则{}{}00{}PPXCXCPNNXCPNNΜΜΜΣΣΜΣΣ∈≥≥≤??≤??≤≤000H拒绝HH为真因为1000Μ≥，所以{}{}XCXCNNNNΜΣΣΣΣ????≤?≤故上式不等式成立。要控制{}PA≤00拒绝HH为真只需令{}XCPANNΜΜΣΣ≥??≤由于0,1XNNΜΣ??，临界值10000AACZZNΣ??，解得1000ACZNΣ?，即1000AXZNΣ≤?，拒绝域为1000AXZZNΣ?≤?给定005A则拒绝域为0051000XZZNΣ?≤?。由此得检验假设0HHΜΜ≥与单边假设检验为0010,HHΜΜΜΜ≤类似。拒绝域为0AXZZNΜΣ?≤?4．下面列出的是某工厂随机选取的20只部件的装配时间（MIN）98,104,106,96,97,99,109,111,96,102,103,96,99,112,106,98,105,101,105,97。设装配时间的总体服从正态分布22,,,NΜΣΜΣ均未知。是否可以认为装配时间的均值显著地大于10（取005A）解设装配时间X服从下态分布22,,,NΜΣΜΣ均未知，关于Μ的假设检验用T检验法。检验假设0110,10HHΜΜ≤与第3题分析类似。当原假设为真时，选取检验统计量为101XTTNSN???给定显著性水平005A使005{19}005PTT≥查T分布表得临界值为T，则得拒绝域为17291,∞根据样本观察值经計算得样本均值为102X，样本标准差为05099S则T的观察值为0T?由于T，即T的观察值落在拒绝域中所以拒绝原假设，可以认为装配时间的均值显著地夶于10正态总体方差的假设检验12．某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0005（欧姆）今在生产的一批导线中取样品9跟，测得0007S（欧姆）設总体为正态分布，参数均未知问在水平005A下能否认为这批导线的标准差显著地偏大解关于正态总体方差的假设检验。检验假设5HHΣΣΣΣ≤≤因为样本提供的信息为0007S强有力的支持备择假设，它的对立是原假设用2X检验法。当原假设为真时选取检验统计量服从2X分布，即2222011NSXXNΣ???该统计时是样本的函数，不含任何未知参数。给定显著性水平005A使PXX≥查2X分布表得临界值为X，则拒绝域为15507,∞根据样本标准差0007,9SN得2X的观察徝为0005X由于21568X落在拒绝域中，所以拒绝原假设可以认为这批导线的标准显著偏大。关于总体标准差的假设检验转化为方差的假设检验，得鼡2X分布查表其结论相同。此题原假设00005HΣ≤，说明全部Σ都比1H中的要小当1H为真时2S的观察值2S往往偏大，对于某一常数C拒绝为2SC≥，则{}{}11{}11{}PHHPSCNSNCPNSNCPΣΣΣΣΣΣΣ≤≤≤≥??≥??≤≥拒绝为真为了使00{}PHHA≤拒绝为真只需令{}NSNCPAΣΣΣ≤??≥而221NSΣ?服从2X分布查2X分布表得ANCXN??，解出AXNCN??即AXNSN?≥?。拒绝域为ANSXXN?≥?给定显著性水平005A则拒绝域为NSXN?≥?。由此可见检验假设5HHΣΣ≤与检验假设5HHΣΣ≤类似，有相同的拒绝域。14．测定某种溶液中的水份，它的10个测定值给出0037S设测定值决体为正态分布，2Σ为总体方差，2Σ未知。试在水平005A下检验假设HHΣΣ≥解检验假设HHΣΣ≥是单边假设检验问题并与检验假设HHΣΣ≥类似。用2X检验法。检验假设HHΣΣΣΣ≥≥当原假设为真时，选取检验统计量为2222011NSXXNΣ???给定显著性水平005A使PXX≤查2X分布表得临界值为X，则拒绝域为（03325。根据0037S10N，计算检验统计量2X的观察值为004X由于27701X不落在拒绝域中所以接受原假设，可以认为004Σ≥。