2（1-sinα）（1+cosα）=（1-sinα+cosα）^2我想知道左边的式子怎么变形为右边的式子
由于我的学习,代数看惯了x,y.也就是（x-y）²=x²-2xy+y².所以在我们的潜意识里面就把x,y当成是单一的代数式子.本题需要把x看成1,y看成（sinα-cosα）.最好用圈或者方块代替代数,代表向圈或者方块内填式子.这样就不会限死我们的思维.(○-¤)²=○²-2○¤+¤²
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可以从右边往左边证明，(1-sinα+cosα)^2=1+sin^2α+cos^2α-2sinα+2cosα-2sinαcosα=2(1-sinα+cosα-sinαcosα)=2(1-sinα)(1+cosα)
右边我会证，我只是想知道左边怎么变形
那你就展开左边，把2变成1+(sinα)^2+(cosα)^2
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材料力学第2版课后习题答案第12章变形能法分析报告.pdf39页
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变形能法 P
q l 2 A D l EI A l l l l 11-1 求图示两等直杆的变形能。已知两杆的抗拉刚度EA相同。 解： 2 N dx
（a）dU 2EA P N
2 2 l l P x P l U
dU dx ∫ ∫ 2 0 0 2EAl 6EA b x N
P 1 + l 2 2 ?
x? P 1 + ? ? 2 l
2EA 6EA 11-2 两根圆截面直杆的材料相同，尺寸如图所示，其中一根为等截面杆，另一根为变截
面杆，试比较两根杆的变形能。（各杆自重不计） 解：杆（a） 2 2 P l 2P l U a 2 π
d 4 杆（b） 2
l P × l P × 2 8 4 7P l U + b 2 π 2 π
8πEd 2E×
d 4 4 U 16 故 a U 7 b 11-3 图示桁架各杆材料相同，截面面积相等，试求在P力作用下，桁架的变形能。 解：
各杆的轴力和变形能如表所示
杆号 内力Ni 杆长 各杆的变形能Ui
1 2 2P 2 2l 2P l
4EA 2 2 ? 2P 2 2l 2P l
4EA 3 0 l 0
4 l P 2 2 P l
8EA 5 l P 2 2 P l
8EA 故珩架的变形能为 5 2 2 2
2 +1 P l P l U
∑Ui 0.957 4 EA EA i 1 11-4
试计算图示各杆的变形能。 3 a
轴材料的剪切弹性模量为G，d
d ； 2 1 2 b
梁的抗弯刚度EI，略去剪切变形的影响。 解： （a）M
m n1 n2 2 2 m l m l U U 1 2 4GJ 4GJ P P 1 2 π
4 J d J d d P 1 P 2 1 1
32 32 2 9.6m l U U +U 1 2 4 Gπd 1 b
支反力 M R
R A B l M l M
? x （0 ≤ x ≤
） 1 A 1 1 1 l 3 M 2l M
R x x （0 ≤ x ≤ ） 2 B 2 2 2 l 3 2 2 ?
x ? 1 2 2 U U
? dx + 3 ? l
∫ 2 0 2FJ 0 2EJ 18EJ
试求图示悬臂梁的弹性变形能，梁的抗弯刚度为EI，并求自由端的挠度。 题 11-5
Px+ qx 2 2 ? qx2
? ?Px+ ? dx l
x dx ? ? 1
∫ ∫ ∫ P x +qPx + x dx 0
2EJ 0 2EJ 2EJ 0 ? 4 ? ? ? ?
q l ? ? + + ?
正在加载中，请稍后...三角函数cos 2 cos 2 三角有哪些公式啊,cos 2 α什么意思啊通俗意思是什么
cos 2 α就是角α的2倍的余弦值三角函数公式两角和公式sin(A+B) =sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) =sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) =cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) =cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tan(A-B) =cot(A+B) =cot(A-B) =倍角公式tan2A =Sin2A=2SinA•CosACos2A = Cos2A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A三倍角公式sin3A = 3sinA-4(sinA)3cos3A = 4(cosA)3-3cosAtan3a = tana·tan(+a)·tan(-a)半角公式sin()=cos()=tan()=cot()= tan()==和差化积 sina+sinb=2sincossina-sinb=2cossincosa+cosb = 2coscoscosa-cosb = -2sinsintana+tanb=积化和差 sinasinb = -[cos(a+b)-cos(a-b)]cosacosb = [cos(a+b)+cos(a-b)]sinacosb = [sin(a+b)+sin(a-b)]cosasinb = [sin(a+b)-sin(a-b)]诱导公式 sin(-a) = -sinacos(-a) = cosasin(-a) = cosacos(-a) = sinasin(+a) = cosacos(+a) = -sinasin(π-a) = sinacos(π-a) = -cosasin(π+a) = -sinacos(π+a) = -cosatgA=tanA =万能公式sina=cosa=tana=其它公式a•sina+b•cosa=×sin(a+c) [其中tanc=]a•sin(a)-b•cos(a) = ×cos(a-c) [其中tan(c)=]1+sin(a) =(sin+cos)21-sin(a) = (sin-cos)2其他非重点三角函数csc(a) = sec(a) =双曲函数sinh(a)=cosh(a)=tg h(a)=公式一：设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin（2kπ＋α）= sinα cos（2kπ＋α）= cosα tan（2kπ＋α）= tanα cot（2kπ＋α）= cotα 公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）= -sinα cos（π＋α）= -cosα tan（π＋α）= tanα cot（π＋α）= cotα 公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：sin（-α）= -sinα cos（-α）= cosα tan（-α）= -tanα cot（-α）= -cotα 公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π-α）= sinα cos（π-α）= -cosα tan（π-α）= -tanα cot（π-α）= -cotα 公式五：利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π-α）= -sinα cos（2π-α）= cosα tan（2π-α）= -tanα cot（2π-α）= -cotα 公式六：±α及±α与α的三角函数值之间的关系：sin（+α）= cosα cos（+α）= -sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanα sin（-α）= cosα cos（-α）= sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα sin（+α）= -cosα cos（+α）= sinα tan（+α）= -cotα cot（+α）= -tanα sin（-α）= -cosα cos（-α）= -sinα tan（-α）= cotα cot（-α）= tanα (以上k∈Z)
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正向看，逆向想，巧变形，综合用——公式sin^2α＋cos^2α＝1的应用
优质期刊推荐为什么sin2α =2sinα cosα 类似于这样的公式还有哪些?
同角三角函数的基本关系
tanα ·cotα＝1
sinα ·cscα＝1
cosα ·secα＝1
商的关系：
sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα
cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)平常针对不同条件的常用的两个公式
sin² α+cos² α=1
tan α *cot α=1一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边二倍角公式
sin2A=2sinA·cosA
1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a)
2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin^3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)n倍角公式
sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1）
证明：当sin（na）=0时,sina=sin（π/n）或=sin（2π/n）或=sin（3π/n）或=……或=sin【（n-1）π/n】
这说明sin（na）=0与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina-
sin【（n-1）π/n】=0是同解方程.
所以sin（na）与｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1）π/n】成正比.
而（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）,所以
｛sina-sin（π/n）｝*｛sina-sin（2π/n）｝*｛sina-sin（3π/n）｝*……*｛sina- sin【（n-1π/n】
与sina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）成正比（系数与n有关 ,但与a无关,记为Rn）.
然后考虑sin（2n a）的系数为R2n=R2*(Rn)^2=Rn*(R2)^n.易证R2=2,所以Rn= 2^（n-1）半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)两角和公式
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ积化和差
sinαsinβ = [cos(α-β)-cos(α+β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2双曲函数
sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2
cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2
tanh(a) = sin h(a)/cos h(a)
设α为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）= sinα
cos（2kπ＋α）= cosα
tan（2kπ＋α）= tanα
cot（2kπ＋α）= cotα
设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）= -sinα
cos（π＋α）= -cosα
tan（π＋α）= tanα
cot（π＋α）= cotα
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容诱导公式
sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
tanA= sinA/cosA
tan（π/2＋α）＝－cotα
tan（π/2－α）＝cotα
tan（π－α）＝－tanα
tan（π＋α）＝tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变,符号看象限万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]
cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
(1) (sinα)²+(cosα)²=1
(2)1+(tanα)²=(secα)²
(3)1+(cotα)²=(cscα)²
证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)²,第二个除(cosα)²即可
(4)对于任意非直角三角形,总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA）²+(cosB）²+(cosC）²=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA）²+（sinB）²+（sinC）²=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
编辑本段内容规律
三角函数看似很多,很复杂,但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系.而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在.
1、三角函数本质：
[1] 根据右图,有
sinθ=y/ cosθ=x/r; tanθ=y/x; cotθ=x/y.
深刻理解了这一点,下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来,比如以推导
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例：
首先画单位圆交X轴于C,D,在单位圆上有任意A,B点.角AOD为α,BOD为β,旋转AOB使OB与OD重合,形成新A'OD.
A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β))
OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0)
∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2
和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2）
单位圆定义
六个三角函数也可以依据半径为一中心为原点的单位圆来定义.单位圆定义在实际计算上没有大的价值；实际上对多数角它都依赖于直角三角形.但是单位圆定义的确允许三角函数对所有正数和负数辐角都有定义,而不只是对于在 0 和 π/2 弧度之间的角.它也提供了一个图象,把所有重要的三角函数都包含了.根据勾股定理,单位圆的等式是：
图象中给出了用弧度度量的一些常见的角.逆时针方向的度量是正角,而顺时针的度量是负角.设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ,并与单位圆相交.这个交点的 x 和 y 坐标分别等于 cos θ 和 sin θ.图象中的三角形确保了这个公式；半径等于斜边且长度为1,所以有 sin θ = y/1 和 cos θ = x/1.单位圆可以被视为是通过改变邻边和对边的长度,但保持斜边等于 1的一种查看无限个三角形的方式.
两角和公式
sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB
cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
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其他类似问题
两角和与差的公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb
当a=b时sin2a=2sinacosa同理cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
当a=b时cos2a=cos^2a-sin^2a
=2cos^2a-1=1-2sin^2atan(a+b)=(tana+tanb)/(1-tana*tanb)
当a=b时tan2a=2tana/(1-tan^2a)
这是正弦的二倍角公式。还有余弦二倍角公式，还有两角合差公式，同角三角函数关系式。
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