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如图1，矩形ABCD的边AB=4，BC=3，点P和点Q同时从A出发，点P沿折线A→D→C以每秒1个单位的速度向终点C运动，点Q沿折线A→B→C以每秒1个单位的速度向终点C运动，连接PQ，以PQ为直角边向右上方作等腰Rt△PQR，使得∠PQR=90°，QP=QR，设运动时间为t秒.（1）如图2，当t=5时，等腰Rt△PQR和△ABC重叠部分的面积是_______；（2）设等腰Rt△PQR和△ABC重叠部分的面积为S，请求出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围；（3）如图3，当t=4时，点Q与B重合，将△PQR绕点Q旋转一周，旋转过程中，直线PR和直线AC交于点M，直线PQ和直线AC交于点N，是否存在以P、M、N为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请直接写出AM长；若不存在，请说明理由．
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暂无回答记录。已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标；
（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q．当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）将△OAC补成矩形，使上△OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．
（1）利用交点式可以求出二次函数解析式，再利用公式法求出顶点坐标，
（2）运用两点求出直线BM解析式，再表示出四边形面积，
（3）根据使△PAC为直角三角形，三个角依次分析当等于直角时，得出不同结论．
（4）作出矩形，利用勾股定理可以求出．
解：（1）设抛物线的解析式y=a（x+1）（x-2），
∵-2=a×1×（-2），
∴y=x2-x-2，其顶点坐标是（，-）；
（2）设线段BM所在的直线的解析式为：y=kx+b，点N的坐标为N（h，-t），
解它们组成的方程组得：，
所以线段BM所在的直线的解析式为：y=x-3，
N点纵坐标为：-t，
∴-t=h-3，
其中＜h＜2，
∴s=（2+t）（2-t）=-t2+t+3，
∴s与t间的函数解析式为，
s=-t2+t+3，
∵M点坐标是（，-）；
∴QN最大值为：，
∴自变量的取值围是：；
（3）存在符合条件的点P，且坐标是：P1（，），P2（）．
设点P的坐标为P（m，n），则 n=m2-m-2，PA2=（m+1）2+n2
PC2=m2+（n+2）2，AC2=5，
分以下几种情况讨论：
（ⅰ）若∠APC=90°则AC2=PC2+AP2．可得：m2+（n+2）2+（m+1）2+n2=5，
，m2=-1（舍去）．
所以点P（，）
（ⅱ）若∠PAC=90°，则PC2=PA2+AC2
∴n=m2-m-2
（m+1）2+n2=m2+（n+2）2+5
，m4=0（舍去）．所以点P（，-）．
（ⅲ）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，PA＞AC，所以边AC的对角∠APC不可能是直角．
（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图，此时未知顶点坐标是点P（-1，-2），以点A，点C为矩形的两顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图，此时未知顶点坐标是P1（-1，-2），P2（-）或（，-）．如图，四边形ABCO是矩形，点A（3，0），B（3，4），动点M、N分别从点O、B出发，以每秒1个单位的速度运动，其中点M沿OA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N作NP∥OC，交AC于点P，连接MP，已知动点运动了x秒，△MPA的面积为S．
（1）求点P的坐标．（用含x的代数式表示）
（2）写出S关于x的函数关系式，并求出S的最大值．
（3）当△APM与△ACO相似时，求出点P的坐标．
（4）△PMA能否成为等腰三角形？如能，直接写出所有点P的坐标；如不能，说明理由．
（1）先确定直线AB的解析式，以及N点的坐标后可以确定P点的横坐标，再把它代入直线方程解出P点坐标．
（2）由P点的纵坐标可以知道△MPA中边AM上的高，再求出AM的长，即可求得三角形面积．
（3）当△APM与△ACO相似时∠APM=90°，或者，根据这个式子列出等量关系可以求得x的值．进而求得P点坐标．
（4）△PMA能成为等腰三角形时，有两边长相等，此时分三种情况①AM=AP；②AP=PM；③MP=MA；根据勾股定理得出关于x的方程，求出方程的解即可．
解：（1）设直线AC的解析式为：y=kx+b，
过点A（3，0）、C（0，4），解得：
N点坐标为（3-x，4），所以P点横坐标为：3-x，
代入直线解析式得纵坐标为，
所以P点坐标为：（，
（2）AM边上的高为P点纵坐标，
所以有：h=，
M点坐标为（x，0），
所以有：S=AMoh，
解得：S=2+2x=-
解得S的最大值为，
（3）由题目可知AO=3，AC=5，AM=3-x，AP=，
x=，即P点坐标为（，），
同理可得当M
P点坐标为（，2）；
故有P点坐标为：P1（，）、P2（，2）；
（4）△PMA能成为等腰三角形，
有三种情况：①AM=AP时，[3-（3-x）]2+)2=（3-x）2，
解得：x1=，x2=-（舍去），
∴3-x=，x=，
∴P的坐标是（，），
②AP=PM时，[3-（3-x）]2+)2=[（3-x）-x]2+-0)2，
解得：x1=1，x2=3（舍去），
∴3-x=2，x=，
∴P的坐标是（2，），
③MP=MA时，[（3-x）-x]2+-0)2=（3-x）2，
解得：x1=0（舍去），x2=，
∴3-x=，x=，
∴P的坐标是（，），
即P点的坐标分别为
P1（2，）、P2（，）、P3（，）．
答：△PMA能成为等腰三角形，此时P点的坐标分别为
P1（2，）、P2（，）、P3（，）．如图1，矩形OABC的顶点O为原点，点E在AB上，把△CBE沿CE折叠，使点B落在OA边上的点D处，点A、D坐标分别为（10，0）和（6，0），抛物线2+bx+c过点C、B．
（1）求C、B两点的坐标及该抛物线的解析式；
（2）如图2，长、宽一定的矩形PQRS的宽PQ=1，点P沿（1）中的抛物线滑动，在滑动过程中PQ∥x轴，且RS在PQ的下方，当P点横坐标为-1时，点S距离x轴个单位，当矩形PQRS在滑动过程中被x轴分成上下两部分的面积比为2：3时，求点P的坐标；
（3）如图3，动点M、N同时从点O出发，点M以每秒3个单位长度的速度沿折线ODC按O→D→C的路线运动，点N以每秒8个单位长度的速度沿折线OCD按O=>C=>D的路线运动，当M、N两点相遇时，它们都停止运动．设M、N同时从点O出发t秒时，△OMN的面积为S．①求出S与t的函数关系式，并写出t的取值范围：②设S0是①中函数S的最大值，那么S0=12.15．
解：（1）∵A（10，0），D（6，0），
∴OA=10，OD=6，
又∵四边形OCBA为矩形，
∴∠COA=∠BAO=90°OC=ABBC=OA=10．
又∵△CED为△CBE沿CE翻折得到的，
∴CD=CB=10，
∴在Rt△COD中，由勾股定理得：OC=2-OD2
∴C（0，8），B（10，8），
又∵C、B均在y=x2+bx+c上，
∴y=x2-2x+8；
（2）当x=-1时，y=×（-1）2-2×（-1）+8=，
∴此时P（-1，），
又∵S距离x轴上方个单位，
∴PS=-=8，
∴矩形PQRS的长为8，宽为1，
设PQRS在下滑过程中交x轴分别于G、H两点．
则由题意知：矩形PQHG
∴PG=PS=．
故P的纵坐标为，
∴设P（a，），则a2-2a+8=，
∴a1=4，a2=6，（1分）
∴P（4，）或（6，）；
（3）∵点M的速度是每秒3个单位长度，点N的速度是每秒8个单位长度，
∴3t+8t=6+8+10，
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．
∴S△OMN=OMoNH=×3t×8t=12t2，
此时，当t=1时，S大=12，
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．
则DN=18-8t，
过N作NH⊥OD于H，
则=sin∠CDO==，
∴NH=DN=（18-8t）=（9-4t）．
∴S△OMN=OMoON，
=×（9-4t）×3t，
=-（t-）2+，
∴当t=时，S大==12.15．
③当2＜t≤时，此时，N、M均在CD上，
则MN=24-11t，
过O作OH⊥CD于H，
则由等面积得：OH=，
∴S△OMN=OHoMN=××（24-11t）=-t+，
此时当t=2时，S大=．
（1）本题可根据折叠的性质进行求解．根据折叠的性质可知：CD=BC=OA，可在直角三角形OCD中用勾股定理求出OC的长，即可求出C、B的坐标，将这两点坐标代入抛物线中即可求出抛物线的解析式．
（2）先根据x=-1时，P的纵坐标求出PS的长即矩形的长，然后根据矩形被x轴分成上3下2两部分，可求出此时P点的纵坐标，代入抛物线中即可求出P点的坐标．
（3）一：本题要分三种情况进行讨论：
①当0≤t≤1时，此时N在OC上．M在OD上．可用t表示出OM、ON的长，进而可求出S、t的函数关系式．
②当1＜t≤2时，此时N在CD上，M在OD上．过N作x轴的垂线，在构建的直角三角形中，用ND的长求出△OMN的高，而后同①．
③当2＜t≤时，此时，N、M均在CD上．先用t表示出NM的长，然后过O作OH⊥CD于H，在直角三角形OCH（或ODH）中，用OC的长和∠OCD的正弦值求出△OMN中NM边上的高．
二：根据一的函数的性质及自变量的取值范围即可求出S的最大值及对应的t的值．（2013o锦州）如图，抛物线y=﹣18?&& x2+mx+n经过△ABC的三个顶点，点A坐标为（0，3），点B坐标为（2，3），点C在x轴的正半轴上．
（1）求该抛物线的函数关系表达式及点C的坐标；
（2）点E为线段OC上一动点，以OE为边在第一象限内作正方形OEFG，当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，求线段OE的长；
（3）将（2）中的正方形OEFG沿OC向右平移，记平移中的正方形OEFG为正方形DEFG，当点E和点C重合时停止运动．设平移的距离为t，正方形DEFG的边EF与AC交于点M，DG所在的直线与AC交于点N，连接DM，是否存在这样的t，使△DMN是等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（4）在上述平移过程中，当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，请直接写出重叠部分的面积S与平移距离t的函数关系式及自变量t的取值范围；并求出当t为何值时，S有最大值，最大值是多少？
（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，令y=0解方程，求出点C的坐标；
（2）如答图1所示，由△CEF∽△COA，根据比例式列方程求出OE的长度；
（3）如答图2所示，若△DMN是等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论；
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示．利用S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK求出S关于t的表达式，然后由二次函数的性质求出其最值．
解：（1）∵抛物线y=﹣18?&& x2+mx+n经过点A（0，3），B（2，3），
﹣18?&&x 22+2m+n=3&，
解得：m=14?&&
&&&&&&& n=3&，
∴抛物线的解析式为：y=﹣18?&& x2+14?&& x+3．
令y=0，即﹣18?&& x2+14?&& x+3=0，
解得x=6或x=﹣4，
∵点C位于x轴正半轴上，
∴C（6，0）．
（2）当正方形的顶点F恰好落在线段AC上时，如答图1所示：
设OE=x，则EF=x，CE=OC﹣OE=6﹣x．
∵EF∥OA，
∴△CEF∽△COA，
∴ EFOA&=CEOC?&&，即x3&=6-x?6&& ，
（3）存在满足条件的t．理由如下：
如答图2所示，
易证△CEM∽△COA，∴MEOA&=CEOC?&& ，即ME3&=4-t6&& ，得ME=2﹣12?&& t．
过点M作MH⊥DN于点H，则DH=ME=2﹣12?&& t，MH=DE=2．
易证△MNH∽△COA，∴NHOA&=MHOC?&& ，即 NH3&=26?&&，得NH=1．
∴DN=DH+HN=3﹣12?&& t．
在Rt△MNH中，MH=2，NH=1，由勾股定理得：MN=√5?& ．
△DMN是等腰三角形：
①若DN=MN，则3﹣12?&& t=√5?& ，解得t=6﹣2√5?& ；
②若DM=MN，则DM2=MN2，即22+（2﹣12?&& t）2=（ √5?&）2，
解得t=2或t=6（不合题意，舍去）；
③若DM=DN，则DM2=DN2，即22+（2﹣12?&& t）2=（3﹣12?& t）2，解得t=1．
综上所述，当t=1、2或6﹣2√5?& 时，△DMN是等腰三角形．
（4）当正方形DEFG与△ABC的重叠部分为五边形时，如答图3所示：
设EF、DG分别与AC交于点M、N，由（3）可知：ME=2﹣12?& t，DN=3﹣12?& t．
设直线BC的解析式为y=kx+b，将点B（2，3）、C（6，0）代入得：
解得k=-34?&&
&&&&& b=92?&&&，
∴y=-34?&& x+92?&& ．
设直线BC与EF交于点K，
∵xK=t+2，∴yK=-34?&& xK+92?&& =-34?& t+3，
∴FK=yF﹣yK=2﹣（ -34?& t+3）=34?&& t﹣1；
设直线BC与GF交于点J，
∴2= -34?&xJ+92?&& ，得xJ= 103?&&，
∴FJ=xF﹣xJ=t+2﹣103?&& =t﹣43?&& ．
∴S=S正方形DEFG﹣S梯形MEDN﹣S△FJK
=DE2﹣12?&& （ME+DN）oDE﹣ 12?&&FKoFJ
=22﹣12?&& [（2﹣12?&& t）+（3﹣ 12?&&t）]×2﹣ 12?&&（ 34?&t﹣1）（t﹣43?&& ）
=-38&& t2+2t﹣53&& ．
过点G作GH⊥y轴于点H，交AC于点I，则HI=2，HJ=103?& ，
∴t的取值范围是：2＜t＜103?& ．
∴S与t的函数关系式为：S=-38&& t2+2t﹣53&&& （2＜t＜ 103?&）．
S=-38&& t2+2t﹣53&&& = -38&&（t﹣ 83?&&）2+1，
∵ -38&&＜0，且2＜83?&& ＜ 103?&，
∴当t=83?&&& 时，S取得最大值，最大值为1．}