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假设ab与m不互素则:ab与m存在大于1的公因数,设为k则:a或b存在因数k,m存在因数k所以:a或b与m不互素这与条件矛盾所以:ab与m互素回答者：钟云浩-江湖豪侠十一...
假设ab与m不互素则:ab与m存在大于1的公因数,设为k则:a或b存在因数k,m存在因数k所以:a或b与m不互素这与条件矛盾所以:ab与m互素 回答者： 钟云浩 - 江湖豪侠 十一级
2009-7-8 18:21假设不承认算数基本定理，即一个整数可能存在多种质因数分解方式如何得出：a或b存在因数k,m存在因数kab存在因数k，并不能说明a或b存在因数k，也就是说，可能a，b的任意一种分解方式都不含因数k，但a与b相乘后得到的ab或许存在一种分解方式含有因数k。比如说，m=5，a=3，b=7，ab=3*7=21=2*2.1*5=2*2.1*m，（显然2.1不是素数，算数基本定理不允许这样的分解方式存在，所以只能打这样一个荒谬的比方，即将2.1看作素数，算数基本定理尚未证明前，不能否认类似的合理的分解方式的存在。）我想要证明这条性质是因为书上证明算数基本定理时，用到了这个结论，因此，证明它时算数基本定理尚是未知的,不可循环论证。
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如下方法不需要算术基本定理首先一个结论就是,如果a,b互质的充要条件是:必有m,n为整数,使得am+bn=1.这个结论的证明是:必要性:辗转相除法:设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数d的步骤如下：用b除a，得a＝bq1＋r1（0≤r＜b）。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝rq2＋r2（0≤r2＜r1）。若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为d。根据辗转相除可以得到：a=bq1+r1(0<r1<b)b=r1q2+r2(0<r2<r1)r1=r2q3+r3(0<r3<r2)……rk-2=rk-1qk+rk(0<rk<rk-1)……rn-2=rn-1qn+rn(0<rn<rn-1)rn-1=rnqn+1则(a,b)=(a-bq1,b)=(b,r1)=(r1,r2)=……=(rn-1,rn)=rn从最后一个式子逐步回带，就可以求出m和n了 。这样就证明了m和n的存在！令你的d=1,就是a b互素了.充分性:令a b的最大公约数为d,则a=xd,b=yd x y为整数,那么代入到式子里面就有:xdm+ydn=1, 于是d就是1的约数,这样d=1即a,b互质.下面证明原题:a m互质说明存在整数p1,q1使得a*p1+m*q1=1b m互质说明存在整数p2,q2使得b*p2+m*q2=1上述两个式子相乘,得到:a*b*p1*p2+m(a*p1*q2+b*p2*q1+m*q1*q2)=1由于p1 p2 q1 q2 a b m均为整数，所以p1*p2，a*p1*q2+b*p2*q1+m*q1*q2也为整数，于是ab与m互质。
参考资料：
http://zhidao.baidu.com/question/102161255.html
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收起假设ab与m不互素则:ab与m存在大于1的公因数,设为k则:a或b存在因数k,m存在因数k所以:a或b与m不互素这与条件矛盾所以:ab与m互素那就先把算数基本定理当成引理证一下呗……要在考试我就这么干如下方法不需要算术基本定理首先一个结论就是,如果a,b互质的充要条件是:必有m,n为整数,使得am+bn=1.这个结论的证明是:必要性:辗转相除法:设两数为a、b(b＜a)，求它们最大公约数d的步骤如下：用b除a，得a＝bq1＋r1（0≤r＜b）。若r1=0，则(a，b)＝b；若r1≠0，则再用r1除b，得b＝rq2＋r2（0≤r2＜r1）。若r2＝0，则(a，b)＝r1，若r2≠0，则继续用r2除r1，……如此下去，直到能整除为止。其最后一个非零余数即为d。根据辗转相除可以得到：a=bq1+r1(0评论00加载更多}