线线线性性性代代代数数数历历曆年年年考考考研研研真真真题题题 数数数学学学三三三 统计与数理学院 王继强 一一一 填填填空空空题题题 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【数三㈣】设矩阵 且秩 则 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【数三】设三阶矩阵 三维列向量 且与线性相关 ? ? ? ? 则 【数三四】设维向量 · · · 矩阵 ? 其 中 为 的逆矩阵 则 【数三】二次型 ? 的秩为 【数三四】设向量组 线性相关 且 ? 则 ? ? ? ? 【数一二三四】设矩阵 矩阵满足 则| | ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【数一二三四】设矩阵 则 的秩为

A的伴随矩阵若线性方程组

$0$Ax=0的基礎解系中只有两个向量，则${}^{}$

${}^{}\begin{array}{cc}& \\ & \\ 0& \end{array}$

XTAX的规范形为（ ）

XTAX的规范形关键是弄清楚正惯性指数和负惯性指数本题的二次型是抽象的，条件“${}^{}$

$\begin{array}{ccc}& 0& \\ & & \\ 0& & {}^{}\end{array}\begin{array}{c}0\\ \\ \end{array}$

$$Ax=b有无穷多解，则$$

解：由克莱默法则的逆否命题知$$

$\begin{array}{ccc}& 0& \\ & & \\ 0& & {}^{}\end{array}\begin{array}{ccc}& 0& \\ 0& & 0\\ 0& & {}^{}\end{array}{}^{}0$∣A∣=∣∣∣∣∣∣?110?011??1?1a2?1?∣∣∣∣∣∣?=∣∣∣∣∣∣?100?011??10a2?1?∣∣∣∣∣∣?=a2?1=0,

a=?1时，增广矩阵化简为

$\begin{array}{cccc}& 0& & 0\\ & & & \\ 0& & 0& \end{array}\begin{array}{cccc}& 0& & 0\\ 0& & 0& \\ 0& 0& 0& \end{array}$

三、20 已知向量组（I）

${}_{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}{}_{}\begin{array}{c}\\ 0\\ \end{array}{}_{}\begin{array}{c}\\ \\ {}^{}\end{array}$α1?=???114????,α2?=???104????,α3?=???12a2+3????,

0 β1?=???11a+3????,β2?=???021?a????,β3?=???13a2+3????,

若向量组(I)与(II)等价，求$$α1?,α2?,α3?线性表示.

${}_{}{}_{}{}_{}$

$$

$\begin{array}{cccccc}& & & & 0& \\ & 0& & & & \\ & & {}^{}& & & {}^{}\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}& & & & 0& \\ 0& & & 0& & \\ 0& 0& {}^{}& & & {}^{}\end{array}$

$\begin{array}{cccccc}& & & & 0& \\ 0& & & 0& & \\ 0& 0& {}^{}& & & {}^{}\end{array}$

0 a??=±1时将上述矩阵第三行乘以

$\frac{{}^{}}{}$

$\begin{array}{cccccc}& & & & 0& \\ 0& & & 0& & \\ 0& 0& & \frac{}{}& \frac{}{}& \end{array}$

α1?,α2?,α3?线性表示,

${}_{}\begin{array}{cccc}& 0& & \\ 0& & 0& \\ 0& 0& & \end{array}$

$\begin{array}{cccc}& 0& 0& \\ 0& & 0& \\ 0& 0& & \end{array}$

a=1代入上面的公式（1），得

$\begin{array}{cccccc}& & & & 0& \\ 0& & & 0& & \\ 0& 0& 0& 0& 0& 0\end{array}$

α1?,α2?,α3?线性表示, (Aβ3?)，（非齐次线性方程组的解法参阅）

${}_{}\begin{array}{cccc}& & & \\ 0& & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}$

$\begin{array}{cccc}& 0& & \\ 0& & & \\ 0& 0& 0& 0\end{array}$

0

$\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$η=????211????,

Ax=β3?的一个特解为,

$0_{}\begin{array}{c}\\ \\ 0\end{array}$γ0?=???3?20????,

${}_{}\begin{array}{c}\\ \\ 0\end{array}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$β3?=???3?20????+k????211????

${}_{}\begin{array}{c}\\ \\ \end{array}$

a=?1代入上面的公式（1）得，

$\begin{array}{cccccc}& & & & 0& \\ 0& & & 0& & \\ 0& 0& 0& 0& & 0\end{array}$

所以此时向量组(I)与(II)不等价. $$

注：第（3）种情况虽然向量组(I)与(II)不等价，但是 ${}_{}$β3?却能被向量组（I）线性表出且表示法与第（2）题相哃.

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ 0& 0& \end{array}\begin{array}{ccc}& & 0\\ 0& & 0\\ 0& 0& \end{array}$A=????220??2x0?1?2?2????与B=???200?1?10?00y????

∣A∣=∣B∣,所以得方程组，

$\begin{array}{c}\\ \end{array}$

$\begin{array}{c}\\ \end{array}$

$0$

2,?1,?2, 它们有三个不同的特征值从而可以对角化,令

$$

由相姒对角化理论，分别存在可逆矩阵${}_{}{}_{}$

${}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}{}_{}$

${}_{}{}_{}^{}{}_{}{}_{}^{}$

AB特征向量（相应于特征值

$$2,?1,?2）组成的矩阵.

P1?, 要解三个齐次线性方程组${}_{}0$

由于解齐次方程组的方法是一樣的，所以下面我们只解一个作为例子：

$\begin{array}{ccc}& & \\ & & \\ 0& 0& \end{array}\begin{array}{ccc}& \frac{}{}& 0\\ 0& 0& \\ 0& 0& 0\end{array}$???4?20?2?10??124????→???100?21?00?010????,