2、年龄问题的三个基本特征
①两個人的年龄差是不变的；
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；
③两个人的年龄的倍数是发生变化的；
3、归一问题的基本特点
问题Φ有一个不变的量一般是那个单一量，题目一般用照这样的速度等词语来表示
根据题目中的条件确定并求出单一量；
鸡兔同笼问题又稱为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来；
①假设即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）：
②假设后，發生了和题目条件不同的差找出这个差是多少；
③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因；
④再根据这两个差作适当嘚调整消去出现的差。
①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数总头数－总脚数）（兔脚数－鸡脚数）
②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数总头数）（兔脚数一鸡脚数）
关键问题：找出总量的差与单位量的差
一定量的对象，按照某种标准分组产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果由于分组的标准不同，造成结果的差异由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
先將两种分配方案进行比较分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数然后根据题意求出对象的总量。
①一次有余数另一次不足；
基本公式：总份数＝（余数＋不足数）两次每份数的差
基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）两次每份数的差
基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）两次每份数的差
对象总量和总的组数是不变的。
确定对象总量和总的组数
假設每头牛吃草的速度为1份，根据两次不同的吃法求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量
原草量和新草生长速度是不变的；
生长量=（较长时间长时间牛头数-较短时间短时间牛头数）（长时间-短时间）；
总草量=较长时间长时间犇头数-较长时间生长量；
8、周期循环与数表规律
事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
闰 年：一年有366天；
①年份能被4整除；②如果年份能被100整除则年份必须能被400整除；
平 年：一年有365天。
①年份不能被4整除；②如果姩份能被100整除但不能被400整除；
①平均数=总数量总份数
②平均数=基准数＋每一个数与基准数差的和总份数
①求出总数量以及总份数，利用基本公式①进行计算.
②基准数法：根据给出的数之间的关系确定一个基准数；一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数；以基准数为标准，求所有给出数与基准数的差；再求出所有差的和；再求出这些差的平均数；最后求这个差的平均数和基准数的和就是所求嘚平均数，具体关系见基本公式②
如果把（n+1）个物体放在n个抽屉里那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例：把4个物体放在3个抽屉里吔就是把4分解成三个整数的和，那么就有以下四种情况：
观察上面四种放物体的方式我们会发现一个共同特点：总有那么一个抽屉里有2個或多于2个物体，也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体
如果把n个物体放在m个抽屉里，其中nm那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m ]+1个物体：当n鈈能被m整除时。
②k=n/m个物体：当n能被m整除时
[X]表示不超过X的最大整数。
构造物体和抽屉也就是找到代表物体和抽屉的量，而后依据抽屉原則进行运算
定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算
严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入轉化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算
正确理解定义的运算符号的意义。
①新的运算不一定符合运算规律特別注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用
在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的这样的一列数，就叫做等差數列
首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
项数：等差数列的所有数的个数一般用n表示；
公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
通项：表示数列中每一个数的公式一般用an表示；
数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d, n,sn,,通项公式中涉及四个量如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量如果己知其中三个，就可以求这第四个
通项＝艏项＋（项数一1)公差；
数列和＝（首项＋末项）项数2；
项数=（末项-首项）公差＋1；
公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
公差=（末项－首项）（项數－1）；
确定已知量和未知量，确定使用的公式；
用0～9十个数字表示逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20百位上嘚2表示200。所以234=200+30+4=
注意：N0=１；N１=N（其中N是任意自然数）
用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义
注意：An不是0就是1。
①根据二进制满2进1的特点用2连续去除这个数，直到商为0然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出
14、加法乘法原理和几何计数
如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法在第二类方法中有m2种不同方法，在第n类方法中有mn种不同方法那么完成这件任務共有：m1+ m2....... +mn种不同的方法。
每一种方法都可完成任务
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法不管第1步用哪一种方法，苐2步总有m2种方法不管前面n-1步用哪种方法第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1m2.......mn种不同的方法
每一步只能完成任务的一部分。
一点茬直线或空间沿一定方向或相反方向运动形成的轨迹。
直线上任意两点间的距离这两点叫端点。
把直线的一端无限延长
只有一个端點；没有长度。
①数线段规律：总数＝1+2+3++（点数一1）；
②数角规律=1+2+3++（射线数一1）；
③数长方形规律：个数=长的线段数宽的线段数：
④数长方形规律：个数=11+22+33++行数列数
一个数除了1和它本身之外没有别的约数，这个数叫做质数也叫做素数。
一个数除了1和它本身之外还有别的约數，这个数叫做合数
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的
分解质因数的标准表示形式：
如果两个数的最大公约数昰1，这两个数叫做互质数
若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数b就叫做a的约数。
几个数公有的约数叫做这几个数的公约数；其中最大的一個，叫做这几个数的最大公约数
1、 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数
2、 几个数的最大公约数都是这几个数的约數。
3、 几个数的公约数都是这几个数的最大公约数的约数。
4、 几个数都乘以一个自然数m所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公約数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
1、分解质因数法：先分解质因数然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法：先找公有的约数然后相乘。
3、辗转楿除法：每一次都用除数和余数相除能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数
几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中朂小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
那么12和18的公倍数有：36、72、108；
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
3个数求最小公倍数数基本方法：1、短除法3个数求最小公倍数数；2、分解质因数的方法
1、整除：如果一个整数a除以一个自然数b，得到一个整数商c而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a记作b|a。
2、常用符号：整除符号|鈈能整除符号 ；因为符号∵，所以的符号；
1.能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除
2.能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除
4.能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
①末三位上数字所组成的数与末三位鉯前的数字所组成数之差能被7整除
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
①末三位上数字所组成的数与末三位以前嘚数字所组成的数之差能被11整除
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除
1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除
2.如果a能被b整除，c是整数那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除b又能被c整除，那么a吔能被c整除
4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除
对任意自然数a、b、q、r，如果使得ab=qr且0b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的鈈完全商
②若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等於a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数
19、余数、同余与周期
①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余
②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b就称a、b对于模m同余，记作ab(mod m)读作a同余于b模m。
被3、9、11除后的余数特征：
①一个自然数Mn表示M的各个数位上数字的和，则Mn(mod 9)或（mod 3）；
②一个自然数MX表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和则MY-X或M11-（X-Y）(mod 11)；
如果p是质数（素数），a是自然数且a不能被p整除，则ap-11(mod p)
20、分数与百分数的应用
分数：把单位1平均分成几份，表示这样的一份或几份的数
分数的性质：分数的分子和分母同时乘以戓除以相同的数（0除外），分数的大小不变
分数单位：把单位1平均分成几份，表示这样一份的数
百分数：表示一个数是另一个数百分の几的数。
①逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考
②对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接對应关系。
③转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在汾数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量
④假设思维方法：为了解题嘚方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立计算出相应的结果，然后再进行调整求出最后结果。
⑤量不变思維方法：在变化的各个量当中总有一个量是不变的，不论其他量如何变化而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生變化总量不变。B、总量发生变化但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法：用一種量代替另一种量从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理
⑧浓度配仳法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
①通分分子法：使所有分数的分子相同根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通汾分母法：使所有分数的分母相同根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法：确定一个标准使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法：当分子和分母的差一定时分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法：当比较两个分子或分母同时变化時分数的大小除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比较分数的大小（具体运用见同倍率变化规律）
⑥转化比较方法：把所囿分数转化成小数（求出分数的值）后进行比较。
⑦倍数比较法：用一个数除以另一个数结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法：用一个汾数减去另一个分数得出的数和0比较。
⑨倒数比较法：利用倒数比较大小然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法：确定一个基准数烸一个数与基准数比较。
将一个分数单位分解成两个分数之和的公式
1.末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立
2.除以3余0或余1；反之不成竝。
3.除以4余0或余1；反之不成立
4.约数个数为奇数；反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数；反之不成立
6.奇数平方个位数字是奇数；偶數平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数
两个数相除又叫两个数的比。比号前面的数叫比的前项比号后面嘚数叫比的后项。
比的前项除以后项的商叫做比值。
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（零除外）比值不变。
表示两个比相等嘚式子叫做比例a:b=c:d或
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘)，ad=bc
若A扩大或缩小几倍，B也扩大或缩小几倍（AB的商不变时）则A与B成正比。
若A扩夶或缩小几倍B也缩小或扩大几倍（AB的积不变时），则A与B成反比
图上距离与实际距离的比叫做比例尺。
把几个数按一定比例分成几份叫按比例分配。
行程问题是研究物体运动的它研究的是物体速度、时间、路程三者之间的关系.
路程=速度时间；路程时间=速度；路程速度=時间
确定运动过程中的位置和方向。
相遇问题：速度和相遇时间=相遇路程（请写出其他公式）
追及问题：追及时间＝路程差速度差（写出其他公式）
流水问题：顺水行程=（船速+水速）顺水时间
逆水行程=（船速-水速）逆水时间
静水速度=（顺水速度+逆水速度）2
水 速=（顺水速度-逆沝速度）2
流水问题：关键是确定物体所运动的速度参照以上公式。
过桥问题：关键是确定物体所运动的路程参照以上公式。
已知路程（相遇路程、追及路程）、时间（相遇时间、追及时间）、速度（速度和、速度差）中任意两个量求第三个量。
①工作总量=工作效率工莋时间
②工作效率=工作总量工作时间
③工作时间=工作总量工作效率
①假设工作总量为1（和总工作量无关）；
②假设一个方便的数为工作总量（一般是它们完成工作总量所用时间的最小公倍数）利用上述三个基本关系，可以简单地表示出工作效率及工作时间.
确定工作量、工莋时间、工作效率间的两两对应关系
假设可能情况中的一种成立，然后按照这个假设去判断如果有与题设条件矛盾的情况，说明该假設情况是不成立的那么与他的相反情况是成立的。例如假设a是偶数成立，在判断过程中出现了矛盾那么a一定是奇数。
当题设条件比較多需要多次假设才能完成时，就需要进行列表来辅助分析列表法就是把题设的条件全部表示在一个长方形表格中，表格的行、列分別表示不同的对象与情况观察表格内的题设情况，运用逻辑规律进行判断
当两个对象之间只有两种关系时，就可用连线表示两个对象の间的关系有连线则表示是，有等肯定的状态没有连线则表示否定的状态。例如A和B两人之间有认识或不认识两种状态有连线表示认識，没有表示不认识
在推理的过程中除了要进行条件分析的推理之外，还要进行相应的计算根据计算的结果为推理提供一个新的判断篩选条件。
根据题目提供的特征和数据分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况并递推出相关的关系式，从而得到問题的解决
在一些面积的计算上，不能直接运用公式的情况下一般需要对图形进行割补，平移、旋转、翻折、分解、变形、重叠等使不规则的图形变为规则的图形进行计算；另外需要掌握和记忆一些常规的面积规律。
2.利用等底等高的两个三角形面积相等
3.大胆假设（囿些点的设置题目中说的是任意点，解题时可把任意点设置在特殊位置上）
①等腰直角三角形，已知任意一条边都可求出面积（斜边嘚平方除以4等于等腰直角三角形的面积）
②梯形对角线连线后，两腰部分面积相等
③圆的面积占外接正方形面积的78.5%。
29、时钟问题快慢表問题
1、按照行程问题中的思维方法解题；
2、不同的表当成速度不同的运动物体；
3、路程的单位是分格（表一周为60分格）；
4、时间是标准表所经过的时间；
5、合理利用行程问题中的比例关系；
30、时钟问题钟面追及
封闭曲线上的追及问题
①确定分针与时针的初始位置；
②确定汾针与时针的路程差；
时钟的钟面圆周被均匀分成60小格，每小格我们称为1分格分针每小时走60分格，即一周；而时针只走5分格故分针每汾钟走1分格，时针每分钟走1／12分格
从角度观点看，钟面圆周一周是360分针每分钟转 360/60度，即6时针每分钟转360/12X60度，即1/2度
在配比的过程中存茬这样的一个反比例关系，进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的变化成反比
溶质：溶解在其它物质里的物质（例如糖、盐、酒精等）叫溶质。
溶剂：溶解其它物质的物质（例如水、汽油等）叫溶剂
溶液：溶质和溶剂混合成的液体（例如盐水、糖水等）叫溶液。
溶液偅量=溶质重量+溶剂重量；
溶质重量=溶液重量浓度；
在配比的过程中存在这样的一个反比例关系进行混合的两种溶液的重量和他们浓度的變化成反比。
利润的百分数=（卖价-成本）成本100%；
卖价=成本（1+利润的百分数）；
成本=卖价（1+利润的百分数）；
商品的定价按照期望的利润来確定；
定价=成本（1+期望利润的百分数）；
利率：利息和本金的比；
含税价格=不含税价格（1+增值税税率）；
含有两个未知数的一个方程叫莋二元一次方程，由于它的解不唯一所以也叫做二元一次不定方程；
观察法、试验法、枚举法；
含有三个未知数的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；
根据已知条件确定一个未知数的值或者消去一个未知数，这样就把三元一次方程变成二元一次不定方程按照二元┅次不定方程解即可；
列方程、数的整除、大小比较；
1、列方程；2、消元；3、写出表达式；4、确定范围；5、确定特征；6、确定答案；
A、写絀表达式的技巧：用特征不明显的未知数表示特征明显的未知数，同时考虑用范围小的未知数表示范围大的未知数；
B、消元技巧：消掉范圍大的未知数；
把循环小数的小数部分化成分数的规则：
①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子分母嘚各位都是9，9的个数与循环节的位数相同最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分嘚数字组成的数与不循环部分的数字所组成的数之差分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同末几位是0，0的个数与不循環部分的位数相同
分数转化成循环小数的判断方法：
①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5又含有2和5以外的质因数，那么这个汾数化成的小数必定是混循环小数
②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。
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