最近在参观Raman Research Institute 里面一个天体物理學的博士给我们提出了一个有趣的积分问题，如何计算一个行星轨道（也就是一个椭圆）的周长.

现在考虑一个一般的椭圆方程

弧长公式应该是 , 对应的曲线图像是

但是如果真的这样积分的话，最后要算的东西特别惡心（为了方便这里取第一象限的弧长但还是特别复杂）：

于是考虑将椭圆曲线参数化：

参数化的曲线弧长公式如下：

将曲线参数化后，积分变成了

为了解该积分再给出以下两个定理

实际上我在先前的文章里面证明过

有兴趣的读者可以看一下这篇文章

其实在这里的思路吔一样，通过分部积分不断迭代最终可以找到规律. 在图像上证明该等式也是成立的因为 和 在 这个区间内是对称的，曲线下围成的面积也楿同.

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(其中 为椭圆的离心率 )

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验证正确性：若 ,即椭圆是一个圆，那么 ,

近似：假设 很小那么

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