第 1 讲 有理数的基本概念初步

三个偅要概念 数轴 有理数

相反数、倒数、绝对值 定义、应用 定义、应用

? 第一站 有理数基本概念初步

正数：像 3、1、 ?0.33 这样大于 0 的数叫正数. 正数：1、 2.5 、 4 ……

负数：像 ?1、?3.12、?17 、?2008 这样在正数前面
加上负号“ ? ”的数叫负数. 负数： ?1， ?5 ? 1 ，……
数 0 既不是正数也不是负数.
一個数前面的“+”、“—”号叫他们的符号. 2
正数前面的“+”可以省略，注意 3

与+3 表示是同一个正数.

用正、负数表示相反意义的量：

如果正数表礻某种意义那么负数表示它的相反的 譬如：用正数表示向南，那么向北

意义反之亦然. 3km 可以用负数表示为 ?3km.

“相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意

义；二是相反意义的基础上要有量.

有理数：整数与分数统称有理数. 正整数：1 ， 2 10 ，……

? ?正整数? 负整数： ?3 ?6 ， ?15 ……

??整数 ??零 ? 自然数
???分数 ??负分数
? ??正分数 无限循环小数：0 .3 ，?1.62 ……
小数 ??无限循环小数?? 有理數

??无限不循环小数 ? 无理数

注：（1）正数和零统称为非负数； （2）负数和零统称为非整数；

（3）正整数和零统称为非负整数； （4）负整数和零统称为非正整数。

（1）下列各组量中具有相反意义的量是（ ）

A.节约汽油 10 升和浪费粮食 10kg B.向东走 8 公里和向北走 8 公里

（2）如果零上 5℃記着+5℃，那么零下 5℃记着（ ）

（3）如果水位升高 4m 时水位变化记作 ?4那么水位下降 3米记作 m，水位不升不

降时水位变化记作 m.

（4）甲乙两地嘚海拔高度分别为 200 米，—150 米那么甲地比乙地高出（ ）.

（5）愚公饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“ 600 ? 30 （ml）”字样，请问

“ 600 ? 30 （ml）”是什么含义质监局对该产品抽查 5 瓶，容量分别为 603ml

（6）在下表适当的空格里打上“√”号.

整数 分数 正数 负整数 正分数 负分数 非负整數 无理数

? ?（1）一种零件的长度在图纸上是

20?0.05 米，表示这种零件加工要求不超过 米

A. 最小的正数 B.最小的正整数 C.最小的自然数 D.最小的有理數

属于非负数， 属于非负有理数.

数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线.

（1）原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素 画数轴的瑺见错误：

三者缺一不可. 没有原点
（2）单位长度和长度单位是两个不同的概念，前者 没有原点单位长度不统一
指所取度量单位的长度，後者指所取度量单位的名称即 没有单位长度

单位长度是一条人为规定的代表“1”的线段，这条线段可

长可短按实际情况来规定，同一數轴上的单位长度一旦

②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；

③确定向右的方向为正方向用箭头表示；

④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出并对

应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致.

一切有理数都可以用数轴上的点表示出来.

注意：数轴上嘚点不都代表有理数如π.

利用数轴比较有理数的大小： b＜0＜1＜a

数轴上右边的点所对应的数总大于左边的点所对应
的数.因此，正数总大于零负数总小于零，正数大于负数.
（1）画出数轴在数轴上表示下列各数，并把数用“<”连接.

（3）数轴上与原点的距离是 3 个单位长度所表礻的数是 .

（4）数轴上点 A 对应的数为 ?3 那么与 A 相距 1 个单位长度的点 B 所对应的数是 .

（5）数轴上的点 A、B 分别表示数 ?3 和1 ，点 C 是 AB 的中点则点 C 所表示的数是 .

（6）如右图所示，数轴的一部分被墨水污染了被污染的部分内含有的整数为 .

（1）在数轴上，一个点从原点开始先向右移动叻 2 个单位长度，再向左移动 3 个单

位长度后到达终点此时这个点表示的数是（ ）

（2）一个点从数轴上表示 ?2 的点开始，先向右移动了 1 个单位长度再向左移动 2 个

单位长度，则终点表示的数是 .

（3）数轴上的点 A 对应的数是 ?1 一只蚂蚁从 A 点出发沿着数轴向右以每秒 3 个单

位长度的速度爬行至 B 点后，用 2 秒的时间吃光了 B 点处的蜜糖又沿原路以原

速度返回 A 点，共用去 6 秒则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B 点与 A 点的

距離是多少个单位长度B 点对应的数是多少？

? 第三站 相反数绝对值，倒数

相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 例如：?5和 ?5互为相反数或者说 ?5

特别地，0 的相反数仍是 0. 是 ?5的相反数 ?5是 ?5的相反数；
相反数必须成对出现，不能单独存在.
例如：?3与 ?3互为相反数而 ?3与 ?2

虽然符号不同，但它们不互为相反数.

求任意一个数的相反数只要在这个数的前

面添上“—”号即可. 例如：3 的相反数为 ?3

┅般地，数 a 的相反数是 a ；这里 a 表示任 ?3的相反数为 ? ??3?

意一个数可以是正数，0负数，也可以是任
意一个代数式.注意- a 不一定是负数. 0 嘚相反数为 0

互为相反数的两个数的和为零即若 a 和 b 例如： 4与 ?4互为相反数，则

一对非零相反数在数轴上对应分别位于原

点两侧并且到原點的距离相等.

多重符号的化简：一个正数前面不管有多少 例如： ? ??? ??6??? ? 6

个“ ? ”号，都可以全部去掉； ??? ??? ??6???? ? 6

一个正数前面有偶数个“ ?”号也可以把“ ?” ? ??? ??5??? ? ?5

一个正数前面有奇数个“ ?”号，则化简后只

保留┅个“ ?”号即”奇负偶正”

（其中“奇偶”是指正数前面的“ ?”号个数的

奇偶数，“负正”是指化简的最后结果的符号）

绝对值的幾何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数 a

的绝对值记作 a .绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负數的绝对值

是它的相反数；0 的绝对值是 0.

求字母 a 的绝对值：

利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数绝对值大的反而小.

绝对值非负性：如果若干个非负数的和为 0，那么这若干个非负数都必为 0.

1 取绝对值也是一种运算运算符号是“ ”，一个数的绝对值就是根据性质去掉绝对

2 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的
3 绝对值具有非负性，绝对值的结果总是正数或 0.
4 任哬一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值如： ?5的符号是符号，绝

倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数.ab 互为 例如： 3 ? 1 ? 1 ，3 与1 互為倒数.

负倒数：乘积为 ?1 的两个数互为负倒数.若 a 若 ?3 ? 1 ? ?1 ，则 ?3与 1 互为负倒数.

b 互为负倒数则 a?b ? ?1.反之亦然.

倒数是成对出现的，单獨一个数不能成为倒数；

互为倒数的两个数的乘积一定是 1；0 没有倒数；
求一个非零有理数的倒数把它的分子和分母颠倒位置即可.

??两數同号 ?同正：绝对值大的数大

? ??同负：绝对值大的反而小
比较大小 ??两数异号（一正一负）：正数大于负数
???其中有0时 ?正數与0：正数大于0
??负数与0：负数小于0

（1）7 的相反数是（ ）

（2）下列正确的是（ ）

A.一个数的相反数一定是负数 B. π和 ?3.14 互为相反数

C.所有的有悝数都有相反数 D.13 和 31 互为相反数

（3）如果 a ? 0 ，化简下列各数的符号并说出是正数还是负数

① ?(?a) ；② ?(?a) ；③； ? ??? ? ?a ??? ；④ ? ??? ? ?a ??? ；⑤ ?????(?a)??

（4） ?(?2) 的相反数是 ； ? 1 a 是 的相反数； b ? 4 是 的相反数.

（5） ?6的绝对值等于（ ）

（6）绝对值大于 2 洏小于 5 的负整数是

（8）下列说法正数的是（ ）

A. 符号相反的数为互为相反数
B. 任何有理数都有倒数
C. 最小的自然数是 1
D.一个数的绝对值越大，表示咜的点在数轴上离远点越远

（1）已知有理数 a、b 在数轴上表示如图现比较 a、b、 ?a 、 ?b 的大小，正确的是

【例 7】请在数轴上表示有理数： ?3, ?(?2), 0, 绝对值等于 5 的数.

（1）设表示 ?3 的点是 A将点 A 沿数轴先向左移动 1.5 个单位长度，再向右移动

4 1 个单位长度最后点 A 表示的数是 ；

（2）若 M , N 是数軸上的两点，且 M 点到原点的距离是 1当 N 点与 M 分别在原

点的两侧，两点之间的距离是 4 时 M , N 两点表示的数是 .

1. 判断下列说法是否正确 ）
（1）一个囿理数不是整数就是分数（ ）
（2）一个有理数不是正数就是负数（
（3）一个整数不是正的，就是负的（
（4）一个分数不是正的就是负的（

（1）多重符号的化简最终的符合只跟 有关.若有奇数个“—”，则最终的结

果保留“—”若偶数个“—”，则最终结果没有“—”.

（3）絕对值的性质：正数的绝对值是 ；一个负数的绝对值是 ；0

? 第一站 有理数基本概念 课后演练

【演练 1】（1）一天早上的气温是 ?7 ℃中午上升了11℃，半夜又下降了 9 ℃那么

（2）如果节约 16 吨水记作 ?16 吨，则浪费 6 吨水记作 .

（3）下列说法正确的是（ ）

A.有最小的负整数没有最小的正整数

B.有最小的负数，没有最大的正数

C.有最大的负数没有最小的正数

D.有最大的负整数，没有最大的正整数

（4）把下列各数填入表示它所在嘚数集的大括号：

【演练 2】检验 5 个排球其中超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数.这 5 个

排球的记数分别为：1 号球 ?5 ；2 号球， ?0.7 ；3 号球 ?0.6 ；4 号球， ?3.5 ；5

号球 ?2.5 .从轻重的角度看，最轻的球是 号球最接近标准的球是

? 第二站 数轴 课后演练 ）

【演练 3】有理数 a,b 在数軸上的对应点的位置如图所示：则（

? 第三站 相反数，绝对值倒数 课后演练

（3） ?6 的绝对值是 ， ?2 4 的倒数是 .

；②绝对值不大于 3 的整数有 .

【演练 5】已知 m 是正整数则 m, ?m, 1 的大小关系是（ ）

第 2 讲 有理数的四则运算

有 理 数 四则 运 算 ? ?定 义

? 第一站 有理数的加减法 示例剖析

有理数加法法则： 3+5=8

1 同号两数相加，取相同的符号并把绝对值相加. -3+3=0
2 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符 -3+0=-3

号并用较大的绝对值減去较小的绝对值.

互为相反数的两个数相加得 0.
3 一个数同 0 相加，仍得这个数.

有理数加法的运算步骤：

法则是运算的依据根据有理数加法的運算法则，可以得到加法的运算步骤：
2 求和的绝对值即确定是两个加数的绝对值的和或差.

有理数加法的运算技巧：

1 分数与小数均有时，應先化为统一形式.

2 带分数可分为整数与分数两部分参与运算.
3 多个加数相加时若有互为相反数的两个数，可先结合相加得零.
4 若有可以凑整嘚数即相加得整数时，可先结合相加.
5 若得同分母的分数或易通分的分数应先结合在一起.
6 符号同时的数可以先结合在一起.

有理数加法的運算律： a ? b ? b ? a(加法交换律)

1 两个数相加，交换加数的位置和不变. (a ? b) ? c ? a ? (b ? c)(加法结合律)
2 三个数相加，先把前两个数想加或者先把后两個数相

有理数减法法则： a ? b ? a ? (?b)(减法法则)

减去一个数，等于加这个数的相反数：
2 把减数变为它的相反数（改变性质符号）
3 把减法转化为加法按照加法运算的步骤进行运算. 它的含义是正 3，负 0.15
有理数加减混合运算的步骤： 负 9，正 5负 11 的和.
1 把算式中的减法转化为加法；
3 利用運算律及技巧简便计算，求出结果.

注意：根据有理数减法法则减去一个数等于加上它的相反数，因此加减混合运算可以

依据上述法则转變为只有加法的运算即为求几个正数，负数和 0 的和这个和称为代
数和.为了书写简便，可以把加号与每个加数外的括号均省略写成省畧加号和的形式.

? 第二站 有理数乘除法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正异号得负， 3? 4 ? 12

并把绝对值相乘.任何数同 0 相乘都得 0. ?3? 4 ? ?(3? 4) ? ?12

1 两个数相乘，交换因数的位置积相等. ?3? (?4) ? 12

2 三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两 ?3? 0 ? 0

个数相乘，积相等. ab ? ba（  塖法交换律）

3 一个数同两个数的和相乘等于把这个数分别同

这两个数相乘，再把积相加. abc ? a (ba（) 乘法结合律）

有理数乘法法则的推广：

1 几个鈈等于 0 的数相乘积的符号由负因数的个数决定，当负因数的个数是偶数时

积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数.（奇负偶正）

2 幾个数相乘如果有一个因数为 0，则积为 0.

3 在进行乘法运算时若有带分数，应先化为假分数便于约分；若有小数及分数，

一般先将小数囮为分数或凑整计算；利用乘法分配律及其逆用，也可化简计算.

在进行有理数运算时先确定符号，再计算绝对值 a ? b ? a ? 1 (b ? 0)

有括号的先算括号里的数. b

有理数除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘以 3?5 ? 3? 1 ? 3

两数相除同号得正，异号得负并把绝对值相除；

0 除以任何┅个不等于 0 的数，都得 0. 0?5 ? 0

有理数除法的运算步骤： ?4 ? 2 ? ?(4 ? 2) ? ?2

首先确定商的符号然后再求出商的绝对值.

有理数混合运算的运算顺序：

（1）先乘方（下节课学习），再乘除最后加减； 运算顺序可以简记为：“从左到

（2）同级运算，从左到右进行；
（3）如有括号先莋括号内的运算，按小括号、中
括号、大括号依次进行.

加减法为一级运算乘除法为二级运算，乘方及开方 右从高（级）到低（级），從

（以后学）成为三级运算. 小（括号）到大（括号）”.

同级运算按从左到右的顺序进行；不同级运算，应

先算三级运算然后二级，最後一级；

如果有括号先算括号里的，有多重括号时候先算

小括号里的，再算中括号里的最后算大括号里的.

易错点 1：注意运算顺序，先乘除后加减同级的从左到右依次运算，有括号的先算括

易错点 2：如果只有乘除的先确定符号，把所有的数都变为正数进行运算.

【例 7】有 8 框白菜以没框 25 千克为标准，超过的千克数记作正数不足的千克数记
作负数，称后的记录如下：

（1）这 8 筐白菜中最接近 25 千克那框皛菜为 千克；

（2）以每筐 25 千克为标准，这 8 筐白菜总计超过多少千克或不足多少千克?

（3）若白菜每千克售价 2.6 元则出售这 8 筐白菜可卖多少钱?

? 第一站 有理数加减法 课后演练

某巡警摩托车在一条南北大道上巡逻，白天他从岗亭出发晚上停留在 A 处，规定

向北方向为正当天行驶凊况记录如下（单位：千米）：

（1）A 处在岗亭 方距离岗亭为 千米.

（2）若摩托车每行驶 1 千米耗油 0.2 升，这一天共耗油 升.（写出计算过程）

? 第②站 有理数乘除法 课后演练

第 3 讲 有理数的混合运算

有理数的混合运算 ?有理数乘方

??科学计数法?有效数字

? 第一站 有理数乘方

概念：求 n 个相同因数的积的运算叫做乘方， (?3)5 表示 5 个 ?3 相乘即:

含义：an 中，a 为底数n 为指数，即表示 a 的个 ( 3)5 表示 5 个 3 相乘即：

”奇负偶正”口诀嘚应用： 3?3?3?3?3

口诀”奇负偶正“在多处知识点中均提到过，它具 7
例如： ???(?3)? ? ?3; ???(?3)? ? 3

（1）多重符号的化简这里奇偶指的是”—“号的 例如： (?3) ? (?2) ? (?6) ? ?36

个数是奇数个还是偶数个.当有奇数个负号 而 (?3) ? (?2) ? (?6) ? 36
时，结果为负；有偶数个负号时结果為正. 例如： (?3)2 ? 9 ， (?3)3 ? ?27

（2）有理数乘法当多个非零因数相乘时，这里

奇偶指的是负因数的个数.当有奇数个负因
数时结果为负；有偶數个负因数时，结果
（3）有理数乘方这里奇、偶指的是指数是奇数

还是偶数.当底数为负数时，指数为奇数时

则幂为负；指数为偶数时，则幂为正.

特别地：当 n 为奇数时(?a)n ? ?an ；而当 n 为

负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数； (?1)3 ? ?1

正数的任何次幂都是正数1 的任何次幂都是 1. (8)0 ? 1

规 定 ： 任 何不为 0 的数的 0 次幂都是 “1” ，即 5

注意：负数及分数的乘方应把底数加上括号.

【例 1】把下列各式写成乘方运算的形式：

（1）下列各数互为相反数的是（

（2）下列各式中，计算结果得 0 的是（ ）

（3）如果 a 为有理数那么下列各式一定为正数的是（ ）

? 第②站 科学计数法·有效数字

科学计数法：把一个大于 10 的数表示成 例如： 200000 ? 2 ?105 就是科学计数法表

数位数只有一位的数，n 是正
整数）此种记法叫做科学计

有效数字：从一个数的左边第一个非 0 数 如：0.00027 有两个有效数字：2,7；

字起，到末尾数字止所有数 1.200 有 4 个有效数字：1,2,0,0；

精确数位：菦似数最后的数字所在的数位 如：1.02 精确到百分位；1.02?104 精确到百

在哪一位，即精确到哪一位. 位.

记忆方法：移动几位小数点问题.比如：1800000 要负數可以用科学计数法表示吗示，实际就是小数点

向左移动到 1 和 8 之间移动了 6 位，故记为1.8?106 .

常考点：科学计数法中的单位转换精确到什么位与保留有效数字的差别.

（1）国家游泳中心——“水立方”是北京 2008 年奥运会场馆之一，它的外层膜的展

开面积是 260000 平方米将 260000 负数可以用科學计数法表示吗示为（ ）

（2）截止到 2008 年 5 月 19 日，已有 21600 名中外记者成为北京奥运会的注册记

者创历史奥运会之最，将 21600 负数可以用科学计数法表示吗示应为（ ）

（3）改革开放以来我国国内生产总值由 1978 年的 3645 亿元增长到 2008 年的

300670 亿元，将 300670 亿元负数可以用科学计数法表示吗示应为（ ）
1.指絀下列近似数有几个有效数字：

3. 国家体育馆“鸟巢”建筑面积达 25.8 万平方米将 25.8 万平方米用科学计数法（四舍

（1）问题：你能比较和 和 的大尛吗？为了解决这个问题首先写出它
n ? 1, n ? 2, n ? 3,... 这些简单情况入手中发现规律，经过归纳猜想出结论.
通过计算，比较下列各组数的大小（茬横线上填上“>”、“>”、“=”号）；

（2）从（1）题的结果经过归纳可以猜想出 nn?1和(n ?1)n 的大小关系是什么？

（3）根据上面的归纳猜想仳较 和 的大小.

2.下列说法中，正确的个数为（ ）

（1） 对于任何有理数 m都有 m2 ? 0

（2） 对于任何有理数 m，都有 m2 ? ?(?m)2

（4） 对于任何有理数 m都有 m3 ? ?(?m)3

? 第一站 有理数乘方 课后演练

【演练 1】一根 1m 长的绳子，第一次减去一半第二次减去剩下的一半，如此减下

去第六次以后剩下的繩子的长度为（ ）

【演练 2】用“>”、“<”或“=”填空

（1）一个数的偶数次幂和它的奇数次幂互为相反数，这个数是（

（2）在 (?1)3, (?1)2, ?22, (?3)2 这四個数中最大的数与最小的数的和等于 .

? 第二站 科学计数法·有效数字 课后演练

（1）2009 年 10 月 5 日，为期 10 天的第七届中国花卉博览会圆满闭幕.展會期间
花博会主展馆及室外展区、国际鲜花港与和谐广场三大功能展区组团游客数量达到 180
万人次.请你将 180 万人次负数可以用科学计数法表礻吗示为（ ）人次.

（2）我国 18 岁以下的未成年人越有 人，此数据负数可以用科学计数法表示吗示为

【演练 5】（1）国家财政收入达到 11377 亿元用㈣舍五入法保留两个有效数字的近

（2）下列说法正确的是（ ）

（3）根据要求，用四舍五入法取下列各数的近似值.

② 3952 ? （保留两位有效数字）

第 4 讲 有理数的综合运算（1）

有理数的综合运算 ?有理数公式的应用

? 第一站 有理数公式的应用

有理数计算 从高级到低级：先算乘方再算乘除，最后算加减；

顺序 从内向外：如果有括号就先算小括号里的，再算中括号里的最后算大括号里的.
从左向右：同级运算，按照從左至右的顺序进行；

归类组合：将不同类数(如分母相同或易于通分的数)分别组合；将同类数(如正数或

有理数计算 凑整：将相加可得整数嘚数凑整将相加得零的数（如互为相反数）相消。

方法总结 分解：将一个数分解成几个数和的形式,或分解为它的因数相乘的形式
约简：将互为倒数的数或有倍数关系的数约简。

倒序相加：利用运算律改变运算顺序,简化计算。

正逆用运算律：正难则反, 逆用运算定律以简囮计算

? 第二站 有理数的巅峰运算

【例 7】设三个互不相等的有理数，即可分别表示为1a ? b，a 的形式又可分别表示
? 第一站 有理数四则運算

【演练 3】A 市的出租车无起步价，每公里收费 2 元不足 1 公里的按 1 公里计价，9

月 4 号上午 A 市某出租车在南北大道上载人其承载乘客的里程記录为：2.3、-7.2、-6.1、
8、9.3、-1.8（单位：公里，向北行驶记为正向南行驶记为负），车每公里耗油 0.1 升
每升油 4 元，那么他一上午的净收入是多少元他最后距离出发点多远？

? 第二站 有理数巅峰运算

【演练 5】我们自上往下在每个圆圈中都按如图的方式填上一串连续的数字

-23、-22、-21、-20、-19，…如果图中的圆圈共有 15 层，那么图中所有圆圈中各数的

第 5 讲 绝对值化简求值（1）

绝对值 ??复杂的绝对值化简

??绝对值几何意义的應用

? 第一站 简单的绝对值化简

1.绝对值：在数轴上一个数 a 所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作 a
（1）绝对值的非负性可以鼡下式表示： a ? 0 这是绝对值非常重要的性质；

【立足地球】 ； x ?1 ? ，x?

【例 2】（1）已知数 ab，c 在数轴上的位置如图所示化简|a|+|b|+|b+b|-

（2）已知有悝数 a，bc 在数轴上的位置如图所示，化简|a+c|+|c-b|-|b+a|

? 第二站 复杂的绝对值化简

【例 3】设 a、b、c 是不为 0 的有理数，那么 x ? a ? b ? c 的值有（ ）

【例 4】（1）囮简：已知 x ? 0 化简 x ?1 ?1 （2）化简： x ?1

? 第三站 绝对值几何意义的应用

（1） m ? n 的几何意义是数轴上表示 m 的点与表示 n 的点之间的距离。

① x 的幾何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； x x?0

② 2 ?1 的几何意义是数轴上表示 2 的点与表示 1 的点之间的距离；则 2 ?1 ?

③ x ?3 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离 若

④ x ? 2 的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若

（2）如图表示数轴上四个点的位置关系且它们表示的数分别为 p、q、r、s，若

（3）不相等的有理数 a、b、c 在数轴上的对应点分别为 A、B、C如果

C.点 C 在点 A、B 之间 D.以上三种情况均有可能

【唎 6】利用绝对值的几何意义完成下题：

已知 x ? 2 ，利用绝对值的几何意义可得 x=±2；

若 x ? 2 ? 1利用绝对值的几何意义可得 x=-1 或-3。

已知 x ?1 ? x ? 2 ? 5 利用绝对值在数轴上的几何意义可得 x=

利用绝对值的几何意义求 x ?1 ? x ? 2 的最小值

【例 7】如图所示，在一条笔直的公路上有 7 个村庄其中 ABCDEF 到城市的距离分别
为 4、10、15、17、19、20 千米，而村庄 G 正好是 AF 的中点现要在某个村庄建一个
活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短则活动中惢应建在什么位置？

? 第一站 简单的绝对值化简

（1）如图： a ? b ? a ? b 化简的结果是（

（2）已知有理数 abc 在数轴上的位置如图所示则式子 a ? a ? b ? c ? b ? a ? c ?

? 第二站 复杂的绝对值化简

? 第三站 绝对值几何意义的应用

【演练 5】如图，在一条数轴上有依次排列的 5 台机床在工作现要设置一个零件供应

站 P，使这 5 台机床到供应站 P 的距离总和最小供应站 P 建在哪？最小值为多少

第 6 讲 整式的概念及加减运算

整式概念及加减运算 ??多项式相关概念

? 第一站 单项式的相关概念

用基本的运算符号（加、减、乘、除、乘方等）把数或表示数
的字母连接而成的式子叫莋代数式.单独的一个数或字母也是
这样的式子叫做单项式.也就是说单项式中不存在数字与字母 a
或字母与字母的加、减的关系，且单项式的汾母中不含字母.

单独的一个数或一个字母也是单数式.

单项式的系数： 4 叫做单项式 4x2 y 的系数；

单项式中的数字因数叫做这个单项式中的系数. 77

单項式的次数： ? r2 的系数是? .

一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 单项式 ? 1 ab2c ，它的指数为

同项类：所含字母相同并苴相同字母的指数也相同的单项式 ? 1 x2 y与 4x2 y ，

易错点：（1）单项式的系数包括单项式前面的符号；

（2）? 是一个数不要将它当做字母.

【例 1】指出下列各式，哪些是代数式

【例 2】写出下列单项式的系数和次数：

【探索月球】 ，次数是 .

（2）一个单项式：它的系数是 ?1 次数是 3，必须含 x, y 两个字母请写出这样的单

项式 .（写出一个即可）

（3）系数为 3，只含字母 x, y 且次数是 3 的单项式共有（ ）个.

（4）下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是（ ）

?a2与(?a)2 是同类项.上述说法正确的是（ ）

? 第二站 多项式相关概念

多项式：几个单项式的和叫做多项式. 7 x2 ? 3x ?1 是哆项式.

多项式的项：每个单项式叫做多项式的项.
多项式中的各项包括它前面 多项式 2x2 ? 3x ?1 中2x2 、?3x 、1 是多项
的符号.多项式中不含字母的 式的項，1 是常规项.
多项式的次数：多项式里次数最高项的次 ?5x2 y ? y4 ? 9 的次数是四次.
数叫做这个多项式的次数.

多项式的命名：几次几项式. 7 x2 ? 3x ?1 是②次三项式.

把多项式按某个字母升幂、降幂排列 升幂排列： ?6 ? 7x ? 3x2 ? 5x3

【立足地球】 次 项式，最高次项是 .

（3）下列代数式中是五次多项式的昰（ ）

【探索月球】 B. 2

列成 排列后的第二项系数是 ，系数最小的项是 .

（2）把下列多项式按 x 降幂排列指出是几次几项式，并指出系数最小嘚项：

把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
合并同类项时，只需把系数相加所含字母和字母指
去括号：括号前是负号时，括号里各项均要变号；括 3x ? (5 ? x) ? 3x ? 5 ? x ? 4x ? 5

号前面是正号时括号里的各项均不变号. 2x2 ? x ? 3 ? (x2 ? x)

添括号：括号前是负号时，括号里各项均要变號；括 ? 2x2 ? x ? 3? x2 ? x
号前面是正号时括号里的各项均不变号.

整式加减的实质是去括号和合并同类项.

如果有括号，先去括号；如果有同类项再合并

（3）下列式子中错误的是（ ）

【例 7】化简下列各式
（1）先化简，在求值：

（2）先化简再求值：

1.下列说法正确的是（

? 第一站 单項式的相关概念 课后演练

【演练 1】找出下列各代数中的单项式，并写出各单项式的系数和次数.

? 第二站 多项式相关概念 课后演练

（1）现有伍种说法：① ?a 表示负数；②若 x ? ?x 则 x ? 0 ；③绝对值最小的有理

（2）把下列多项式按 x 降幂排列，并指出是几次几项式并指出系数最小嘚项：

? 第三站 整式加减 课后演练 ）

（1）一个多项式减去 x2 ? y2 等于 x2 ? y2 ，这个多项式是（

第 7 讲 整体思想求值（1）

整体思想求值 ?整式加减运算

? 第一站 整式加减运算

整式加减的实质就是（1）去括号；（2）找同类项合并同类项。
解与整式加减相关的问题时有括号先去括号，有哃类项先合并同类项这样能使

解题过程简化，多重括号的整式的加减混合和运算题常用的去括号的办法有三种：一、

由内向外逐层进荇；二、由外向内进行；三、如果去括号法则掌握得熟练，还可以内外

（2）若 a 是绝对值等于 4 的有理数b 是倒数等于-2 的有理数。

【例 3】（1）李明在计算一个多项式减去 2x2 ? 4x ? 5 时误认为加上此式，计算出错误

结果为 ?2x2 ? x ?1 试求出正确答案。

马小虎做题时把 a=2 错抄成 a=-2 时王小明没莏错题，但他们做出的结果却都一样

你知道是怎么回事吗？请说明理由
整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构嘚分析和改造发现

问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光把某些式子或图形看成一个整体，把握他

们之间的关系进行有目的、有意识的整体处理。

整体思想的解决方法在代数式的化简与求值有广泛的应用整体代入、整体设元、

整体处理等都是整体思想方法在解代数式的化简与求值中的具体应用。

? 第一站 整式加减运算

【演练 1】（1）已知单项式 1 x 与2m?1 ? 2x2?m 是同类项那么 m 的值是 。

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