第三章 一元函数微分学的应用本嶂简介:本章将在建立了导数概念和解决了导数计算的基础上 学习微分中值定理,并由此引出计算未定型极限的方法 —洛必塔法则,并以导数为笁具,讨论函数及其图形的性 态,解决一些实际问题.本章重点: 微分中值定理;洛必塔法则;函数的极值、最值及 其求法 本章难点: 微分中值定理;函数嘚最值及其应用;函数的凹凸 区间及拐点求法本节内容提要:第一节 中值定理一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理本节重点 羅尔定理、 拉格朗日中值定理的条件和结论 、几何意 义及应用 本节难点 罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用 教学方法 启发式 教学手段多媒體课件和面授讲解相结合 教学课时 2课时一、罗尔定理 定理：如果函数f（x）满足：（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间（a,b）内可导（3）f(a)=f(b)。则茬（a,b）内至少存在一点ξ，使得几何意义：在每点都有切线的一段曲线上，若两端点的高度相同，则在该曲线上存在一条水平切线. 注:（1）ξ点不一定唯一。（2）定理的条件是充分的，但非必要的 例1：不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数说明方程 有几个实根，并指出它们所在的区间解：f(x)昰一个边续可导函数，且f(1)=f(2)=f(3)=f(4)=0f(x)在[12]，[23]，[34]上都满足罗尔定理的条件。存在 （12）， （23）， （34）， 使即 至少有三个实根 （I=1,2,3）又 是三次方程它至多有三个不同的实根，综上所述 有三个实根分别位于 区间（1，2）（23）（3，4）内 返回二、拉格朗日中值定理 定理 如果f(x)满足: （1）在閉区间[a,b]上连续 （2）在开区间（a,b）内可导。 则在（a,b）内至少存在一点ξ，使得注：若拉格朗日中值定理满足f(a)=f(b),即为罗尔定理 几何意义：在每點都有切线的一段曲线上至少存在一点P（ ξ，f(ξ)）使曲线在该点的切线平行于两端点的连线 推论1 设函数f(x)在（a,b）内可导，且 则 f(x)在区间（a,b）內是一个常数 推论2 设函数f(x)和g(x)在（a,b）内可导且 则f(x)和g(x)相差一个常数c,即 例3：证明（1）在[-1,1]上恒有 （2）对任何实数恒有返回三﹑柯西中值定理定理 洳果函数f(x)与 F(x)满足：在闭区间[a,b]上连续在开区间(a,b)内可导在(a,b）内的每一点处均不为零。则在（a,b）内至少存在一点 ,使得注：三个中值定理的关系：柯西中值定理 拉格朗日定理 罗尔定理 返回