微积分收敛与发散或是发散问题

点击联系发帖人 时间：2019-10-09 12:17

微积分收敛与发散

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* * 第二节常数项级数的审敛法一、囸项级数及其审敛法二、交错级数及其审敛法一、正项级数审敛法定理1 正项级数收敛的充分必要条件是：它的部分和数列有界正项级数：各项都是正数或零的级数称为正项级数。所以正项级数的部分和数列是单调增加的由单调有界数列必有极限，我们得到下面的重要定悝 (1) 若级数收敛，则级数 (2) 若级数发散则级数也发散。且存在自然数N使得当n≥N时，有成立其中，k > 0为常数则收敛； (比较审敛法) 设和都昰正项级数，定理2 定理3 (比较审敛法的极限形式) 设和 (1)如果且级数收敛, 则级数收敛； (2)如果或且级数发散,则级数发散。都是正项级数例1 判定級数的收敛性。解因为而级数发散根据定理3知此级数是发散的。定理4 (达朗贝尔比值审敛法) 设为正项级数如果则当时级数收敛；当或时級数发散；当时级数可能收敛也可能发散。根据达朗贝尔比值审敛法可知级数是收敛的例2 判断级数的收敛性。解例3 判定级数的收敛性解因为根据达朗贝尔比值审敛法可知所给级数发散。定理5（根值审敛法柯西判别法）设为正项级数，如果则当时级数收敛； ( ) 时级数发散；时级数可能收敛也可能发散。例4 判定级数的收敛性解因为所以，根据根植审敛法知所给级数收敛 *定理6（极限审敛法）设为正项级數， (1)如果 (2)如果 ,而发散收敛。例5 判定级数的收敛性解因故根据极限审敛法，知所给级数收敛收敛。交错级数交错级数是指这样的级数它的各项是正负交错的，从而可以写成的形式：或其中都是正数二、交错级数及其审敛法定理6.4（莱布尼茨定理，交错级数审敛法） (1) (2) 则級数收敛且其和其余项的绝对值如果交错级数满足条件：例6 判别级数的敛散性。解交错级数满足条件根据交错级数的莱布尼茨定理知级數收敛且其和s<1. 注意：莱布尼茨定理的条件是交错级数收敛的一个充分条件，并非必要条件故当定理的条件不满足时，不能由此断定交錯级数是发散的例如级数不满足但是该级数是收敛的。设为常数项级数如果它的各项的绝对值所构成的正项级数收敛，则称级数绝对收敛；如果级数收敛而级数发散，则称级数条件收敛. 绝对收敛与条件收敛定理8 如果级数绝对收敛则级数必定收敛。 *定理9 绝对收敛级数經改变项的位置后构成的级数也收敛且与原级数有相同的和。

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