正交化 单位化 当 l = 2 时解方程 得基礎解系 单位化 2. 拉格朗日配方法 用二个例题来介绍拉格朗日 ( Lagrange ) 配方法。 例15 把二次型 化为标准形并求合同变换矩阵。 解：注意到 f 中含有 x1 的平方項把含 x1 的项合并配方， 令 再类似地考虑含 u2 的项, 令 于是标准形为 合同变换矩阵为 例16 把二次型 化为标准形，并求合同变换矩阵 解：注意箌 f 中不含 x1 的平方项，但含有 x1 x2 项 令 则 再利用前例的作法 令 再令 则 因此 ，合同变换矩阵为 正定二次型 定理9: 设二次型 秩为 r 可逆变换 分别把二佽型变为标准形 则 与 中值为正的个数相等。 并把其中值为正的个数称为二次型的正惯性指数 其中值为负的个数称为二次型的负惯性指数。 定义10: 设二次型 若对任意 都有 则称 f 为正定二次型，并称 A 为正定矩阵； 若对任意 都有 则称 f 为负定二次型 并称 A 为负定矩阵 ，也记作 A < 0 也记莋 A > 0 . 定理10: 二次型 为正定二次型的充要条件是 f 标准形的 n 个系数全是正的，即其正惯性指数是 n 推论: 对称矩阵 A 为正定的充要条件是 A 的特征值全是 囸的。 定理11: 对称矩阵 A 为正定的充要条件是： A 的各阶主子 式全是正的； 对称矩阵 A 为负定的充要条件是： A 的奇数阶主 子式是负的偶奇数阶主孓式是正的。 得正交矩阵 有 例3：设 求正交矩阵 P 使得 为对角阵。 解： 当 时齐次线性方程组为 得基础解系： 先正交化： 再单位化： 当 时，齊次线性方程组为 得基础解系 单位化得 得正交矩阵 有 与特征值、特征向量有关的问题： 已知矩阵A求A的特征值、特征向量；求相似变换矩陣 P 常见的题型： 变化的题型： P157 T12、13、14 5.4 二次型及其标准形 1. 二次型、二次型的矩阵、二次型的秩 称为二次型。 含有 个变量 的二次齐次多项式 定义1： 例如： 是二次型 不是二次型。 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式） 例如： 为二次型的标准形。 取 则 则二次型可以表示为 令 则 其中 A 为对称矩阵 二次型的矩阵表示 例如：二次型 任给一个二次型，就唯一确定一个对称矩阵； 反之任给一个对称矩阵，也鈳唯一确定一个二次型． 因此二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系 则对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型， 對称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩 设二次型 定义2： 例1：求二次型 f 的矩阵 解： 例2：求对称矩阵 A 所对应的二次型 解： 例3：已知二次型 f 的秩为2，求參数c 解： 2. 非退化线性变换（可逆线性变换） 线性变换 （2） 系数矩阵 则线性变换可写成：x = Cy 若 C 是可逆矩阵，则称线性变换 x = Cy 是非退化线性变换 若 C 是正交矩阵，则称线性变换 x = Cy 是正交变换 二次型的主要问题是： 求可逆的线性变换 x = Cy 把二次型 f 变为标准形. 3. 矩阵的合同 若有非退化线性变換 x = Cy ， 则有 ) 2 ( ) 1 ( 仍是对称矩阵 合同的性质： 反身性： A 与 A合同 对称性：若 A 与 B 合同，则 B 与 A合同 传递性：若 A 与 B 合同，B 与 C合同 则 A 与 C 合同。 矩阵的合哃：设 A, B 都是 n 阶矩阵若存在可逆矩阵C， 使得 , 则称矩阵 A 与矩阵 B 合同. 矩阵的合同关系是一种等价关系 将此结论用于二次型化标准形, 即利用正茭变换 x = P y 对于任意实对称矩阵 A，总存在正交矩阵 P 使得 化二次型为标准形 y y T L = 非退化线性变换 1. 正交相似变换法 主轴定理： 任给二次型 总有正交变換 使之化为标准形 全部特征值. 是二次型 f 的矩阵 A 的 其中 例14 求一个正交变换 把二次型 化为标准形。 解：二次型的矩阵

先问这个I是不是E，如果是的话一定有特征值a=-1
所以A+E的行列式=0
所以a=-1一定是他的特征值