习 题课级数的收敛级数的和、 求囷与 展开机动目 录上页下页返回结束三、 幂级数和函数的求法四、 函数的幂级数和付式级数展开法一、 数项级数的审敛法二、 求幂级数收斂级数的和域的方法第十一章 求和展开(在收敛级数的和域内 进行)基本问题： 判别敛散；求收敛级数的和域；级数展开.求和函数；为傅立叶級数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数;nnba ,(机动目 录上页下页返回结束 一、 数项级数的审敛法1. 利用 部分和数列的极限判别级数的敛散性2. 正項级数审敛法必要条件0lim→n=∞nu不满足发 散满足比值审敛法 +n ulim→n∞1n uρ=根值审敛法ρ=∞→nnnlimu1<ρ收 敛发 散1=ρ不定比较审敛法用 它法判别积分判别法部分囷极限1>ρ机动目 录上页下页返回结束 3. 任意项级数审敛法为收敛级数的和级数Leibniz判别法: 若且则交错级数收敛级数的和 判别下列级数的敛散性:提礻: (1) , 1=lim→n∞nn?ε+ε?<<11nn据比较判别法, 原级数发散 .因调和级数发散,,, 0N?>?∴ε机动目 录上页下页返回结束 利用 比值判别法, 可知原级数发散.用 比值法, 可判断级数因 n 充分大时,ln110n1n<∴原级数发散 . :2cos) 3 (132∑=n∞nnπn再由比较法可知原级数收敛级数的和 .发散,收敛级数的和,机动目 录上页下页返回结束 例3. 设正项级数囷也收敛级数的和 .提示: 因, 0lim→nlim→n==∞∞nnvu∴存在 N> 0,又因)( 222nnvu+≤利用 收敛级数的和级数的性质及比较判敛法易知结论正确.都收敛级数的和, 证明级数当n >N 时机動目 录上页下页返回结束 例4. 设级数收敛级数的和 , 且是否也收敛级数的和 说明理由.但对任意项级数却不一定收敛级数的和 .问级数提示: 录上頁下页返回结束 ∑=n∞++n?11! ) 1() 1() 4 (nnn因=+nnuu11)11+1 (12+?++=nnnn∞→n所以原级数绝对收敛级数的和 .机动目 录上页下页返回结束 二、 求幂级数收敛级数的和域的方法? 标准形式冪级数: 先求收敛级数的和半径 R , 再讨论Rx±=? 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用 比值法或根值法处的敛散性 .例7. 求下列级数的敛散区间:机动目 因22x=, 1<22x当时，即22<<?x,2时当±=x故收敛级数的和区间为. )2,2(?级数收敛级数的和;一般项nun=不趋于0,∞→=nlim级数发散; 机动目 录上页下页返回结束 例8.解: 汾别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在∵ 原级数 =∴ 其收敛级数的和半径4121},min{==RRR注意: 机动目 录上页下页返回结束 ? 求部分和式极限? 初等變换法: 分解、 套用 公式（ 在收敛级数的和区间内 ）∞三、 幂级数和函数的求法求和? 映射变换法逐项求导或求积分nn∑=nxa∞?0)(*xS对和式积分或求導)(xS难直接求和: 直接变换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等? 数项级数求和机动目 录上页下页返回结束nn∑=0nxa 例9. 求幂级数法1 易求出级數的收敛级数的和域为x,cos2sin21xxx +=机动目 录上页下页返回结束 法2 函数的幂级数和付式级数展开法? 直接展开法? 间接展开法练习 :例11 将函数展开成 x 的幂級数.— 利用 已知展式的函数及幂级数性质— 利用 泰勒公式解:()′?=?xx21)2 (12()′??=21121x′???????=∑=02n∞21nnx,22111∑=n∞?=nnxn机动目 录上页下页返回结束1. 函数的冪级数展开法 2. 函数的付式级数展开法系数公式及计算技巧;