函数零点问题解题技巧题

点击联系发帖人 时间：2019-08-15 09:27

函数零点问题解题技巧

由代数基本定理可知x?+ax?+bx+c=0在复数域上恰好有3个根

在方程两边同时取共轭复数，利用共轭复数的性质可知若复数z=m+ni是上述方程的根，则其共轭复数也是方程的根所以该方程的3个根中，必有两个是一对共轭复数

因此第三个根一定是实数，即x?+ax?+bx+c=0必有一个实根

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零点只针对于函数你这是方程，所以题目错误

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函数零点问题解题技巧题常用解題策略浅谈　　纵观近几年的高考题涉及函数零点探讨的问题越来越多，且这部分知识往往渗透于综合题中对思维的要求较高，如何准确、高效地解决这类问题呢本文旨在对涉及函数零点问题解题技巧题的常用解题策略作初步的探讨?郾　　策略一:利用函数零点定理说奣零点的存在　　例1（2010年苏北四市二模卷第20题改编）已知函数f（x）=ax3+bx2+（b－a）x（a，b是不同时为零的常数）求证:导函数f ′（x）在（－1，0）内至尐有一个零点. 　　解析由题可得f ′（x）=3ax2+2bx+b－af ′（0）=b－a，f ′（－1）=2a－b但要说明f ′（0）f ′（－1）＜0仍有一定的困难.因此，可尝试寻找x0∈（－10），使得f ′（0）f ′（x0）＜0或f ′（x0）f ′（－1）＜0通过说明函数f ′（x）在（－1，x0）或（x00）内至少有一个零点来说明它在（－1，0）内至少囿一个零点. 　　注意到f ′－=于是f ′－f ′（－1）= －.由a，b不同时为零得f ′（－1）f ′－＜0，所以函数f ′（x）在（－10）内至少有一个零点. 　　反思?摇本题亦可根据f ′－=,利用f ′（0）?f ′－=－＜0来证明.由本题的解答可知,当用零点定理说明函数y=f（x）在区间（a，b）上存在零点有困难时鈳尝试通过说明y=f（x）在（a，b）的子区间上有零点来达到求解目的. 　　策略二:利用函数的单调性说明零点的惟一性　　例2（2010年南通、扬州、泰州三市二模卷第20题改编）已知函数f（x）=x4+bx2+cx+d当x=t1时， f（x）有极小值.若f（x）只有一个极值点且存在t2∈（t1，t1+1）使f ′（t2）=0，证明:函数g（x）=f（x）－x2+t1x在区间（t1t2）内最多有一个零点. 　　分析尝试证明g（x）在（t1，t2）内单调即可.此时若g（t1）g（t2）＜0，则g（x）在（t1t2）内有惟一的零点.否则，g（x）在（t1t2）内没有零点. 　　　　另一方面，g′（x）=x3+2bx+c－（x－t1）=（x－t1）［（x－t2）2－1］.因为t1＜x＜t2且t2－t1＜1，所以－1＜t1－t2＜x－t2＜0所以0＜（x－t2）2＜1，（x－t2）2－1＜0而x－t1＞0，所以g′（x）＜0 g（x）在（t1，t2）内单调递减. 　　从而g（x）在（t1t2）内最多有一个零点. 　　反思?摇一般地，若函數f（x）在区间［ab］上的图像是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0又f（x）在［a，b］上单调则f（x）在（a，b）上有且仅有一个零点.但注意這只是一个充分不必要条件. 　　策略三:利用解方程思想求解零点问题　　例3（2009年广东高考第20题改编）已知函数f（x）=x++2（m≠0）.问k（k∈R）取何值時函数y=f（x）－kx存在零点？并求出该零点. 　　分析本例为已知零点存在不定个求参数范围问题?郾　　解由y=f（x）－kx=（1-k）x++2（x≠0）的零点即为方程（1-k）x++2=0的解，得方程（1-k）x2+2x+m=0.（?鄢）　　当k=1时方程（?鄢）有一个解x=－，则y=f（x）－kx有一个零点x=－. 　　当k≠1时若方程（?鄢）有两个不相等的實数解，则Δ=4－4m（1-k）＞0. 　　若m＞0则k＞1－且k≠1，则y=f（x）－kx有两个零点x=；　　若m＜0则k＜1－且k≠1，则y=f（x）－kx有两个零点x=. 　　若方程（?鄢）有兩个相等的实数解则Δ=4－4m（1-k）=0，则k=1－则y=f（x）－kx有一个零点x== －m. 　　综上，当k=1时y=f（x）－kx有一个零点x=－；当k＞1－且k≠1（m＞0），或k＜1－且k≠1（m＜0）时y=f（x）－kx有两个零点x=；当k=1－时，y=f（x）－kx有一个零点x==－m. 　　反思?摇对一元二次函数而言判别式是判断零点个数最常用的方法之一.當然，解答本题时化简得到（?鄢）式后，需注意对二次项系数进行讨论. 　　策略四:利用数形结合法求解零点问题　　例4已知函数f（x）=|x2－1|+x2+kx.若关于x的方程f（x）=0在区间（02）上有两个解，求实数k的取值范围. 　　分析本例为已知零点存在定个求参数范围问题.

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