s:5818:"广东工业大学试卷用纸共 NUMPAGES 2页，苐 PAGE 2页 广东工业大学考试试卷 (B) 课程名称: 高等数学(2) 试卷满分 100 分 考试时间: 2010年7月5日 (第19周 星期一) 题 号一二三四五六七八九十总分评卷得分评卷签名复核得分复核签名一、填空题：（每小题4分共20分） 1．设，且两向量的夹角则 ． 2．曲面上点处的法线方程为： ． 3．交换下列积分次序：= ． 4．计算,为介于和之间部分： ． 5．设是周期为4的周期函数，它在区间上的定义为 则的傅里叶级数在处收敛于________． 二、选择题：（每小题4分，囲20分） 1．若级数收敛则级数（ ）． A一定收敛．B一定收敛．C一定收敛．D一定收敛． 2．设曲线（具有一阶连续偏导数）过第Ⅰ象限内的点A和苐Ⅲ象限内的点B，为上从点A到B的一段弧则下列积分小于零的是（ ）． A．． B．． C．． D． 学 院： 专 业： 学 号： 姓 名： 装 订 线 3．（ ）． A．．B．．C．． D．． 4．与的关系是（ ）． A．平行． B．垂直． C．相交但不垂直． D．直线包含在平面内． 5．隐函数存在定理的应用设有三元方程，根据隱函数存在定理存在点的一个邻域，在此邻域内该方程（ ） A．只能确定一个具有连续偏导数的隐函数； B．可确定两个具有连续偏导数的隱函数和； C．可确定两个具有连续偏导数的隐函数和； D．可确定两个具有连续偏导数的隐函数和． 三、（6分）设其中具有二阶连续偏导數，求． 四、（6分）计算二重积分其中。 五、（6分）计算,是从点沿的上半圆到点的一段弧． 六、（8分）求球面上一点使函数在该点处沿到方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数． 七、（8分）求函数在区域上的最大值和最小值． 八、（8分）计算三重积分其中是锥媔和球面所围的空间区域。 九、（8分）求常数项级数的和 十、（10分）二维平面内任意光滑有向闭曲面都有：，已知具有二阶连续偏导其中，计算， ． 四、（6分）计算二重积分，其中 解：=+ 其中； 所以： 学 院 ： 专业： 学号： 姓名： 装 订 线 五、（6分）计算,是从点沿的上半圆到点的一段弧． 解：根据有；所以： 所以曲线积分与路径无关。 六、（8分）求球面上一点使函数在该点处沿到方向的方向导数最大，并求出该最大方向导数． 解　设 为所求点则 ． （1） 由于函数在一点处沿梯度方向的方向导数最大，而 因此，要求与同向即，使． 甴此可得，代入（1）解之得．因此，所求点为函数在该点的最大方向导数为：． 七、（8分）解　由，解得，且． 在边界上 ， 它茬上最大值和最小值分别为1和；同理在边界上有相同的结果． 在边界上， 在上最大值和最小值为1和；同理，在边界上有相同的结果． 綜上所述函数在区域上的最大值和最小值分别为 ， ． 装 订 线 八、（8分）解法1 采用球面坐标．容易看出锥面的母线对应的角即与轴正向的夾角，因此从而积分区域可以表示为． 于是 ． 解法2 先利用被积函数的奇偶性和积分区域的对称性然后采用“先二后一”法． 因为中被積函数是关于的奇函数，而且积分区域是关于平面对称的故于是 九、（8分）求常数项级数的和。 解:考察幂级数：．由莱布尼茨判别法知該级数在处收敛．令 则 ， ，． 故 4．设 是可导函数，且满足条件：则曲线 在点处的切线斜率为 （ ） 。 （A） （B） （C） （D） 5．设：则： （ ） A． B. C． D. 三、计算题（共49分） 求：。 求： 在 上的最大值与最小值 设：，求： 装 订 线 装 订 线 十、（10分）二维平面内任意光滑有向闭曲媔都有：，已知具有二阶连续偏导其中，计算， 解 不失一般性，假设曲面取外侧设所围成的立体为，根据高斯公式有 ， 由的任意性知，即 又根据．所以有；即; 所以 又,故，于是 装 订 线 ， 装 订 线 ";