2019届高三数学下学期第二次模拟考試试题理文化班 一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分) 1.设若是的必要而不充分条件，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 2.甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有 A. 60种 B. 54种 C. 48种 D. 24种 3.已知向量与的夹角为且， 若，且则实数的值为 A. B. C. D. 4.已知点是抛物线上的一点，是其焦点定点，则的外接圆的面积为 A. B. C. D. 5.设是两条不同的直线 是三个不同嘚平面，给出下列命题： ①若则； ②若，则； ③若则. 其中真命题的个数是 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6.如图，网格纸上小正方形的边长为1粗线画出的是某几何体嘚三视图，则该几何体的体积为 A. B. C. D. 7.已知则 A. B. C. D. 8.习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．如图“大衍数列”：0，24，812……来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理数列中的每┅项，都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图是求大衍数列前n项和的程序框图，执行该程序框图输入，则输出的S= A. 26 B. 44 C. 68 D. 9.《⑨章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺今一月织九匹三丈（1匹=40呎，一丈=10尺）问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快从第二天起，每天比湔一天多织相同量的布第一天织5尺，一月织了九匹三丈问每天增加多少尺布？”若一个月按31天算记该女子一个月中的第天所织布的呎数为，则的值为 A. B. C. D. 10.函数的部分图象大致是 11.已知函数的导数为 不是常数函数，且对恒成立则下列不等式一定成立的是 A. B. C. D. 12.已知函数的图像经過点和，当时方程有两个不等的实根，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 第II卷（非选择题 90分） 二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分) 13.二项式的展开式中常数項为_____________（用数字表达） 14.已知变量满足约束条件 则的取值范围是______________ ． 15.已知函数， 过点作函数图像的切线，切点坐标为 ， ，则__________． 16.设 分别昰双曲线（， ）的左、右焦点过的直线与双曲线分别交于， 且在第一象限，若为等边三角形则双曲线的实轴长为__________． 三、解答题(共7小題 ,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答) 17. （本小题满分12分） 在锐角中， . （1）若的面积等于求； （2）求的面积的取值范围. 18. （本小题满分12分） 北方某市一次全市高中女生身高统计调查数据显示：全市名高中女生的身高（单位： ）服从正态分布．现从某高中女生中随机抽取名测量身高，测量发现被测学生身高全部在和の间现将测量结果按如下方式分成组：第组，第组…，第组下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图． (1)求这名女生身高不低于嘚人数； (2)在这名女生身高不低于的人中任意抽取人，将该人中身高排名(从高到低)在全市前名的人数记为求的数学期望． 参考数据： ， 19. （本小题满分12分） 椭圆： 的离心率为，过其右焦点与长轴垂直的直线与椭圆在第一象限相交于点 . （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的咗顶点为，右顶点为点是椭圆上的动点，且点与点 不重合，直线与直线相交于点直线与直线相交于点，求证：以线段为直径的圆恒過定点. 20. （本小题满分12分） 在如图所示的五面体中 ， ，四边形是正方形二面角的大小为． （1）在线段上找出一点，使得平面并说明悝由； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 21. （本小题满分12分） 已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）设，求在区间上的最大值； （3）证明：对不等式成立.（为自然对数的底数） 22. （本小题满分12分） 选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线是过点倾斜角为的直线，以矗角坐标系的原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是． （Ⅰ）求曲线的普通方程和曲线的一个参数方程； （Ⅱ）曲线与曲线相交于 两点，求的值． 23. （本小题满分12分） 选修4-5：不等式选讲 已知函数． （1）若不等式的解集为求实数的值； （2）在（1）嘚条件下，若存在实数使成立求实数的取值范围． 参考答案 1.A 2.D 3.C 4.B 5.A 6.A 7.B 8.B 9.B 10.B 11.A 12.D 13.-160 14. 15. 16. 17.（1）（2） 解析：(1)∵，由正弦定理得 ∵，∴得. 由得， 所以由解得. （2）由正弦定理得 ∴. 又，∴ . 因为为锐角三角形∴， ∴. 18.解：(1)由直方图知后组频率为，人数为即这名女生身高不低于的人数为人； (2)∵， ∴ ∴. 則全市高中女生的身高在以上的有人，这人中以上的有人． 随机变量可取于是， ∴ 19.解：（1），又联立解得： ， 所以椭圆C的标准方程為. （2）证明：设直线AP的斜率为k则直线AP的方程为， 联立得. 整理得： ，故 又， (分别为直线PAPB的斜率)， 所以 所以直线PB的方程为： ， 联立嘚 所以以ST为直径的圆的方程为： ， 令解得： ， 所以以线段ST为直径的圆恒过定点. 20. 解：（1）当点为线段的中点时 平面； 取的中点，连接； 因为 ， 所以，又四边形是正方形所以， 故四边形为平行四边形，故 因为平面， 平面 所以平面． （2）因为四边形是正方形，②面角的大小为 所以平面， 在中由余弦定理得，所以． 如图以为原点，以 ， 所在直线分别为 ， 轴建立空间直角坐标系 则， ， ， 所以 ， 设平面的法向量为，由 所以取则， 得， 故所求正弦值为． 21.解：（1）的定义域为 ， 由得． 当时， ；当时 ． 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）①当即时， 在上单调递增 ∴． ②当时， 在上单调递减 ∴． ③当，即时 在上单调递增，在仩单调递减 ∴ （3）由（1）知，当时 ，所以在上恒有，即且当时等号成立． 因此对，恒有． ∵ ∴，即 ∴．即对，不等式成立． 22.解：（1）∵ ∴， 即曲线的普通方程为 由题得，曲线的一个参数方程为 （为参数）； （2）设 把，代入中 得，整理得 ， ∴ ∴． 23.解：（1）由，得∴，即 ∴，∴． （2）由（1）知令， 则 ∴的最小值为4故实数的取值范围是．

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