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讲述了Ax=0的解和矩阵A的零空间， 这里我们讨论Ax=b的解以及矩阵A的列空间

       Ax=0昰肯定有解的，因为总存在x为全零向量使得方程组成立。而Ax=b是不一定有解的我们需要高斯消元来确定。我们还是利用上一篇讲述了Ax=0的解的矩阵A来举例说明：

我们可以得到上述方程组的增广矩阵(等式右侧不是全零向量消元时值会改变，所以需要用增广矩阵)如下：

然后我們进行高斯消元可以得到：

从上面的矩阵可以看出等式成立必须有：

我们假设一个满足上面条件的b向量，例如：b=[1 5 1+5];并且令两个自由变量x2=0,x4=0則我们将消元后的矩阵写成方程组的形式如下：

Xc是这个方程组的一个特解，因为当X2,X4取不同的值时会得到不同的特解。那么我们如何得到方程的同解呢即怎样用一般形式来表示所有的特解。 线性方程组求解Ax=b的过程：
1、线性方程组求解特解Xc 2、线性方程组求解Ax=0的解Xn Ax=b的解就是特解Xc+Xn证明如下：

Xc我们上面已经得到，Xn在上一篇文章中得到则通解可以表示为：

至此，我们就得到了Ax=b的解 通过上面的分析线性方程组求解，我们知道当b满足下式时方程组有解：

实际上，方程有解的条件是向量b属于矩阵A的列空间即向量b可以表示为矩阵A的各列的线性组合。例如上面的例子：

方程的解就是矩阵A中各列前面的系数

下面推广到更一般的情况，我们以矩阵A的不同情况来看解的结构(假设矩阵A为m*n的矩阵,秩为r)： 1、r=n<m即列满秩(所有列都有主元)      由于所有列都有主元，则自由变量的个数为0矩阵A的零空间中只有零向量。Ax=b的解的个数为0个或者1個.

2、r=m<n即行满秩(所有行都有主元)      由于所有行都有主元，消元后不会出现全为0的行则Ax=b有无穷多解。且自由变量的个数为n-r矩阵A的零空间中鈈只有零向量。 3、r=m=n即列、行都满秩(矩阵可逆)      由于列、行都满秩，则具有列满秩行满秩的一些性质：零空间只有零向量，方程总有解且解唯一

Ax=b有无穷多解或则没有解。
从上面的四种情况的讨论我们可以总结如下： 如果想看一个线性方程组的解的情况，我们可以通过高斯消元法得到矩阵A的最简形式RR的可能情况如下：
这四种情况分别对应的解的情况为： 1、唯一解或无解 2、无穷多解 3、唯一解 4、无解或无穷哆解

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最近在上计算方法这门课要求昰用MATLAB做练习题，但是我觉得C语言也很棒棒啊~

高斯消元法是线性方程组的直接解法可能会造成很大的失真，尤其是下面用的高斯顺序消元法代码都是上上个星期写的，暂时就不注释了……

//使用高斯顺序消元法线性方程组求解线性方程组
 printf("请输入矩阵行列数用空格隔开：");
 return r;//一般都是输入方阵，返回行数也阔以
 printf("请按行从左到右依次输入系数矩阵A不同元素用空格隔开\n");
 printf("请按从上到下依次输入常数列b，不同元素用空格隔开\n");
 printf("利用以上A与b组成的增广阵进行高斯消去法计算方程组\n");
 printf("顺序消元后的上三角系数增广矩阵如下\n");
 printf("利用回代法线性方程组求解上三角方程組解得：\n");
 printf("计算完成，按回车退出程序或按1重新输入矩阵\n");

按设计的提示老老实实 输入题目的系数矩阵和常数向量后得到运行结果：
可以看出来，X4其实就是0但是显示不是0，这并不是程序有问题而是这就是方法上失真的体现。