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时间：2018-08-16 17:05
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1750ad5bdd72a7a3c15b5a438fbb648e_b.jpg& data-rawwidth=&1024& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1024& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1750ad5bdd72a7a3c15b5a438fbb648e_r.jpg&&&/figure&&p&原文:&a href=&https://link.zhihu.com/?target=http%3A//plus.maths.org/content/os/issue29/features/quadratic& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://&/span&&span class=&visible&&plus.maths.org/content/&/span&&span class=&invisible&&os/issue29/features/quadratic&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&译者:&b&烟波蓝 翻译小组成员&/b&&/p&&p&校对:&b&Panlan 翻译小组组长&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-d18ddce1cd94_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&511& data-rawheight=&300& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&511& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-d18ddce1cd94_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&通常来说，一个数学公式极少会同时引起国内各路媒体的关注，更难成为英国议会讨论的焦点。但是在2003年，我们在中学时期就学过的、非常经典的二次方程却是一个例外。&/p&&h2&&b&Where we begin（所有争议的起点）&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-edfbf7dbedec50a52652a8_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&383& class=&content_image& width=&250&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&在一次全国教师联合会议上，二次方程成为了众矢之的，它被批判为数学家强行施加给无辜的、毫无戒备的学生们的“酷刑”中的典型案例之一。这个新奇有趣的指控促使二次方程成为了当时黄金时段的电台节目的讨论主角，在那里它被一个更习惯于对付首相的咄咄逼人的采访者质疑。泰晤士报特意在头条位置（通常刊登重量级问题如对社会道德或者现代世界的健康的讨论）指出，&b&一元二次方程是毫无用处的、数学是无用的，并且没有人想学习数学，不必浪费时间。&/b&为避免有关一元二次方程的不利看法在民众心里一直占据上风，二次方程对英国生存的重要性在英国下议院被提出并讨论（值得高兴的是，较为正面的观点被提出）。&/p&&p&局面将会走向何处？二次方程真的要被封杀了吗？有人在意吗？数学家真的是用二次方程折磨年轻的一代以腐蚀他们不朽灵魂的邪恶怪物吗？&/p&&p&也许是这样，但这并不是二次方程的错。事实上, &b&二次方程不仅在我们所知的人类文明的整体中发挥了关键的作用, 而且在可能探测到其他外星人的文明, 甚至像看卫星电视这样重要的现代活动中都扮演着举足轻重的作用。&/b&此外，除了圣经，还有什么能够被认为对生命有着如此重大的影响呢？事实上, 毫无疑问， 二次方程式在真正意义上可以拯救你的生命。&/p&&h2&&b&巴比伦人(The Babylonians)&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-1cf0866aeb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&365& data-rawheight=&299& class=&content_image& width=&365&&&/figure&&p&巴比伦人记录9倍乘法表的楔形文字板的正面和背面&/p&&p&这一切都始于大约公元前三千年的巴比伦人。他们是世界上最早的文明之一，在很多领域，如农业、灌溉和写作上取得了伟大成果。他们绘制出了太阳、月亮和行星运行的轨迹图，并将它们记录在粘土片上（你仍然可以在大英博物馆里看到）。巴比伦人赋予我们现代文明里很重要的角度的概念。由于计算上的小错误，他们把一个圆周划分成 360 份，每一份代表一年中的一天。同时，他们也有（不那么令人愉快的）收税制度，这也是巴比伦人需要解决一元二次方程的重要原因之一。&/p&&p&让我们来假设你是一个巴比伦农民，在你农场的某个地方有一块正方形田地，你可以在此种庄稼。那么，你可以种多少庄稼呢？如果你将土地的边长增大一倍，你会发现可种的庄稼量变为原来的四倍，其原因是，你可种植的庄稼量和你的土地面积是成比例的，也就是和边长的平方成比例。用数学语言来说，假设 x 为土地的边长，m 是你可以在这一块正方形土地上单位面积可以种植的庄稼量，c 是你总共可种植的庄稼量，那么&/p&&p&c = mx?&/p&&p&这就是我们的第一个二次方程，朴素简单，却又熠熠生辉。二次方程和面积像家族中的兄弟姐妹一样紧紧联系在一起。但是，此时我们并不需要解决任何问题——直到收税人到来。纳税人来啦！他兴致勃勃地对农民说：“我希望你给我收货 c 量的庄稼以便来缴纳你农场的税收。”农民现在就陷在困境里了：他需要多大的土地来种植对应数量的庄稼呢？事实上，我们可以很容易就解出答案:&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-dce7b2a1ec9fd3c262a24_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&71& data-rawheight=&41& class=&content_image& width=&71&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&用计算器找出平方根对于我们来说是轻而易举的，但是对巴比伦人来说却是个大问题。不过他们发明了一种逐次逼近法来得到近似值，该方法与现代计算机用来解决比二次方程更难的问题的算法（称为牛顿-拉夫逊方法，Newton-Raphson method）相同。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-73cdab55fdb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&350& data-rawheight=&239& class=&content_image& width=&350&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&现在，我们延伸到更一般情况，不是所有的土地都是正方形的。假设这个农民有一块形状更复杂的、由两个三角形组成的土地（如上图所示）。&/p&&p&对特定的 a 与 b，农民在这块地上可以种的庄稼量为&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-ef3b326b8ebfe26d8bc38ac_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&95& data-rawheight=&17& class=&content_image& width=&95&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这和我们平时常见的等式相差无几了，但对这些贪婪的税务官来说也不是那么容易解出来了。然而，巴比伦人又神通广大地解出来了！首先我们在等式左右同时除以 a 并整理得到&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f0c068d987c313b628fbfe5e9bf2aa34_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&98& data-rawheight=&35& class=&content_image& width=&98&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&然后，用配方法化成左侧为完全平方形式：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4af4a04b9bd1d0e872a00_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&214& data-rawheight=&44& class=&content_image& width=&214&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&与上式结合，得到&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-cb04be0e63cfb9d466dd6be_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&168& data-rawheight=&44& class=&content_image& width=&168&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&现在这个等式就可以通过求平方根解决了。答案就是著名的求根公式：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-5eaa6ebaff5be8bae253042fabca4e0a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&168& data-rawheight=&41& class=&content_image& width=&168&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&整理之后即是：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-65cbb0e77b2948bcd78e63d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&153& data-rawheight=&38& class=&content_image& width=&153&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个公式更常见的是-4ac而不是4ac，因为一元二次方程通常为下面形式：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ddaa990e9aba9691dc28ba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&120& data-rawheight=&16& class=&content_image& width=&120&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&众所周知，求平方根运算可以得到一个正数和一个负数，这也使得一元二次方程有两个解。想想有多少数学问题只有唯一解，你就会觉得一元二次方程有多神奇了！&/p&&p&我们现在得到的结论通常都是一元二次方程在实际教学中的全部了，这也是记者们采访数学家时都关注的话题。仅仅从 a，b 和 c 的赋值就得到两个答案这一点就可以提出无数个题，但这并不是数学所关心的话题。得到一个公式仅仅只是漫漫长路中的第一步。我们不由得提问，这个公式意味着什么；它可以带我们探索宇宙中的哪些奥妙；得到一个公式真的很重要吗？现在让我们来看看这个公式将会带给我们什么。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-69dac8ddcb756aa7b16dd788a8b2df79_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&88& data-rawheight=&88& data-thumbnail=&https://pic3.zhimg.com/v2-69dac8ddcb756aa7b16dd788a8b2df79_b.jpg& class=&content_image& width=&88&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&&b&令希腊人震惊的一个发现和数学折纸游戏带来的重要比例&/b&&/h2&&p&现在让我们穿越回到一千多年前的古希腊，看看他们对一元二次方程所做的研究。古希腊人是杰出的数学家，他们做出了很多我们现在都还在运用的数学结论。他们感兴趣解决的方程之一就是(简单的)一元二次方程&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e0ab241fa31e67a716101_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&51& data-rawheight=&16& class=&content_image& width=&51&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&他们知道这个方程有解，即是一个直角边长为 1 的等腰直角三角形的斜边长。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-91cf44b4fd88c3e8f2a0f2bd10c35742_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&133& data-rawheight=&196& class=&content_image& width=&133&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这来源于毕达哥拉斯的定理：如果一个直角三角形的两个直角边分别为 a、b，则斜边 c 的长度为&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-bc1a094c20fc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&92& data-rawheight=&17& class=&content_image& width=&92&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&令 a=b=1，且 x=c，则&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4b6b4ce98ac15dc75ed0a5f68dd334d9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&47& data-rawheight=&15& class=&content_image& width=&47&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&因此，&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dadd14f3fa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&57& data-rawheight=&17& class=&content_image& width=&57&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&那么，在这个例子里 x 是什么？或者，那个古希腊人曾问过的问题——x 是个怎样的数？古希腊人为什么对这个问题这么重视呢？原因在于他们惯有的对比例的敏感性。他们认为所有的数都互相成比例。确切来说，这意味着所有的数都是形式&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4b8e4cbafbeaec5ae13002a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&24& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&24&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&的分数（a、b均为整数），比如 1/2, 3/4 和 355/113。于是自然而然地，他们认为 √2&/p&&p&也是一个分数。然而，令他们十分震惊的是，事实并不是这样。事实上，&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-ad5e19e2e876f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&243& data-rawheight=&20& class=&content_image& width=&243&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这里的“…” 意味着 √2 的小数部分无规律地扩展到无限（我们在之后对无序性的研究中会再次遇到这种情况）&/p&&p&√2 是第一个被确认为的无理数(irrational number，也就是说，它不是分数或有理数)，其他的无理数例如 √3，π，e，和我们熟知的大部分数。直到十九世纪，我们才找到比较系统的方法来研究这一类数字。&/p&&p&√2 不是有理数这一发现同时引起了巨大兴奋（一百只公牛因此被宰以庆祝这一成就）和巨大恐慌，导致其发现者不得不自杀（这是对数学狂热份子的一个可怕警告）。此时，希腊人放弃了代数，转而投向了几何学。&/p&&p&√2 完完全全不是一个晦涩难懂的数字，相反，生活中 √2 的应用极其普遍，比如 A4 纸的长宽比。在欧洲，纸张均是用 A系列的标准制作的，A0是面积最大的，有 1m?。A系列的纸张尺寸之间有很紧密的联系。我们将一张 A1 纸沿着它较长的那条边对折，就可以得到 A2 纸，再次对折，就可以得到 A3 纸，再次对折，就是 A4纸。A系列的纸都被设计成长宽比相同的纸，也就是说，每一种尺寸的纸张都有相同的形状。&/p&&p&现在我们可以研究这个长宽比到底是多少。假设一张纸长 x、宽 y，现在将它均分为两张长为 y、宽为 x/2 的纸（如图）。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-87f873f2cfa0afdab0dc9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&232& data-rawheight=&248& class=&content_image& width=&232&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&第一张的长宽比为 x/y，第二张颜色较深是 y/(x/2), 或 2y/x ，使两者相等，我们得到&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-956aa3d6ac_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&59& data-rawheight=&38& class=&content_image& width=&59&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&即是&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-c2f5f1ad1b187dd1585b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&76& data-rawheight=&44& class=&content_image& width=&76&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这便是又一个二次方程！幸运的是，它可以转化为我们已经研究过的情况，我们可以解得&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-e745fd9bee6b05be86197_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&60& data-rawheight=&35& class=&content_image& width=&60&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个结果可以很容易得到验证。只需拿一张A4纸（A3或者A5纸亦可），测量它的长度与宽度。我们还可以算出每张纸的面积。&/p&&p&A0纸张的面积A可由下面公式得出：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2aa610b88c0eb7f531ed5_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&190& data-rawheight=&42& class=&content_image& width=&190&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&我们已知&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-cac4d8775780fcc276de87e1d0717bf1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&63& data-rawheight=&15& class=&content_image& width=&63&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&所以我们立即可以得到这个二次方程(其中x是A0纸的长边)：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-03c848e849ccb89af2598_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&370& data-rawheight=&31& class=&content_image& width=&370&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&因此我们可以得到，A2纸的长边为&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-892b07f066bfd1f292cba9c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&107& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&107&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&(请读者自行思考原因)，A4纸的长边为&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-2e020e088b83dc059fe58d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&103& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&103&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&读者可以在纸张上自行验证这个结果。&/p&&p&美国的纸张制作使用的是另一种长宽比不同的标准，叫做“foolscap（大裁）”。为了探究这种做法的原因，我们需要重新回到古希腊去解决另一个二次方程。一元二次方程在带来了困惑、数学危机之后，终于为自己赎罪，展现了其在实际生活中的用途——黄金比例。这个成果一直到现在比如电影布景里都有很好的应用，同时也在大自然中有很多神奇的例子。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b504e91c6f55df1a7109fcec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&230& data-rawheight=&258& class=&content_image& width=&230&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&让我们从矩形开始，裁去一个以矩形宽度为边长的正方形。假设矩形的长为 1、宽为 x，那么正方形的边长为 x。将这个正方形裁去之后，我们得到一个较小的矩形，其长为 x、宽为 1-x，到目前为止，一切都显得很抽象。但是古希腊人并不这样想。他们认为，长宽比最具美感的矩形（即所谓的黄金矩形）应该是大、小矩形的构成比例相同的矩形。为了使这个假设成立，我们得到这样一个等式：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-0f24062dbc0c580f465ad_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&205& data-rawheight=&35& class=&content_image& width=&205&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这又是另一个一元二次方程：一个有着极广泛应用的等式，它的正数解为：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-aaa091e846f769ad713f67c2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&192& data-rawheight=&37& class=&content_image& width=&192&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&x 的这个值被称为黄金比例，通常用希腊字母φ 表示&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a6aa6eff4911f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&152& data-rawheight=&242& class=&content_image& width=&152&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&黄金矩形在被应用于窗户的制作上，特别是格鲁吉亚人的房屋。现代的摄影和电影图像中所追求的“完美形态”也应用了黄金比例的原理。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-f64d204ed9a2cb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&76& data-rawheight=&16& class=&content_image& width=&76&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这个等式也在研究兔子种群数量的实验、向日葵花籽和植物茎干上叶子的排列规律的实验中出现。它们都是通过斐波纳契数列同黄金比例联系起来的，斐波纳契数列如下：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ff7c77e81da5bab861f7ccbd6ebea9f0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&264& data-rawheight=&16& class=&content_image& width=&264&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-fa967e9b4d2abeb92ab5e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&190& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c25dd10f2bc3f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&228& data-rawheight=&228& class=&content_image& width=&228&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&体现了黄金比例的帕台农神庙与向日葵花籽的排列遵循斐波纳契数列的规律&/p&&p&在斐波纳契数列中，每一个数（从第三个数开始）都是前两个数字的和。在15世纪，斐波纳契在试图预测未来兔子种群数量的时候发现了这个数列。如果你算出每个数字与其后数字的比，你就会得到这样一个数列：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-4adbf2edb3fdde0340bdcc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&455& data-rawheight=&35& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&455& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-4adbf2edb3fdde0340bdcc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&如你所料,这些数将越来越接近黄金比例 φ。&/p&&p&在寻找上面二次方程的两个解的过程中，我们实际上也可以找到斐波纳契数列的通项。如果 Fn 代表数列中的第 n 个数，F0=1，F1=1，那么 Fn 可以由以下通项得到&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-56e4df07c53f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&181& data-rawheight=&40& class=&content_image& width=&181&&&/figure&&p&&br&&/p&&h2&&b&二次方程在圆锥曲线中的应用：天文&/b&&/h2&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-14e35d908aaa922b2dc5e6ad8b6ba5d2_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&398& data-rawheight=&420& data-thumbnail=&https://pic4.zhimg.com/v2-14e35d908aaa922b2dc5e6ad8b6ba5d2_b.jpg& class=&content_image& width=&398&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&古希腊人同时也对圆锥体感兴趣，上图就是一个典型的圆锥体。&/p&&p&这个圆锥体的一半可以看做手电筒的光线播。当手电筒照到一个平面（比如墙壁），那么在移动手电筒时你会看到不同的投影。这些投影的边界叫做圆锥曲线。如果我们沿着不同的角度将圆锥体切割，也同样可以得到这样的曲线。&b&古希腊人研究了这些曲线，然后意识到它们可以被分为四类&/b&。如果你水平切割，则可以得到一个圆；在水平线的基础上稍微倾斜一下角度，则可以得到椭圆；沿着平行圆锥的母线切割，得到抛物线；如果采用垂直截面，则会得到双曲线。（如图）&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b5b64ce200a95eede522a7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&594& data-rawheight=&401& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&594& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b5b64ce200a95eede522a7_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&圆锥的横截面可以是圆形；一个椭圆；一条抛物线；或一条双曲线&/p&&p&圆锥曲线之所以作为我们故事的例子，是因为这四种曲线都可以由二次方程表示。假如（x，y）表示平面上的一个点，用二次方程表示x与y之间的关系，我们可以得到：&/p&&p&圆：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-217d1cad61d71c5de4a15f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&82& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&82&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&椭圆：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9aa97c219d99db132ecaca8b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&98& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&98&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&双曲线：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-21f5f928c69f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&98& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&98&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&抛物线：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c433baff58bfe50_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&60& data-rawheight=&18& class=&content_image& width=&60&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&这些曲线自从古希腊就十分闻名并被广泛研，但是似乎除了圆以外，其余的曲线并没有实际应用。然而，在16世纪，圆锥曲线却改变了世界！正如我们将在Plus杂志下一期中所看到的，二次方程和圆锥曲线之间的联系帮助我们认识了宇宙运作的方式。（未完待续）&/p&
原文:译者:烟波蓝 翻译小组成员校对:Panlan 翻译小组组长 通常来说，一个数学公式极少会同时引起国内各路媒体的关注，更难成为英国议会讨论的焦点。但是在2003年，我们在中学时期就学过的、非常经典的二次方程却是一个例外。Where we b…
&p&普通的幂函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dx%5En& alt=&f(x)=x^n& eeimg=&1&&，原则上一积分，便是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%2BC& alt=&\int x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C& eeimg=&1&&；变成定积分的话（假设下界为 0），则为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5Ex+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D& alt=&\int_0^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}& eeimg=&1&&。然而让我着迷的地方，则是 n 在不断靠近 -1 时的过程，其中为了方便讲解，我们将 n+1 换元为 t，于是就变成研究 t 在不断靠近 0 的过程：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0a55beabb9f671a38a27f_b.jpg& data-rawwidth=&840& data-rawheight=&757& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&840& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0a55beabb9f671a38a27f_r.jpg&&&/figure&&p&我们发现这个积分过后的函数越来越“跳”了——跑得越来越往上去了，但是其图像则是趋向稳定；如果我们从负数一则开始靠近，我们得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0b673cb7b396ead648162_b.jpg& data-rawwidth=&949& data-rawheight=&733& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&949& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0b673cb7b396ead648162_r.jpg&&&/figure&&p&这次则是一个不断“堕落”的过程了——跑得越来越往下来了，但是其图像同样趋向稳定。&/p&&p&既然这个函数图像往两个方向逃跑，但得到的却是某个稳定的图像，我们如何让它“乖乖站好”呢？现在咱们把 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5Ex+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D& alt=&\int_0^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}& eeimg=&1&& 积分下界的 0 修改成 1，变成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_1%5Ex+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D-1%7D%7Bn%2B1%7D& alt=&\int_1^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}-1}{n+1}& eeimg=&1&& 后，我们仍然将 n+1 换元为 t，得到图像：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f9f10c62_b.jpg& data-rawwidth=&915& data-rawheight=&615& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&915& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f9f10c62_r.jpg&&&/figure&&p&不难发现我们要的不就是那个神秘的 t=0 的结果，当然我在这里只能给 0 打引号，毕竟无法直接推测出来，而要靠极限来求：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7Bx%5Et-1%7Dt%3D%5Cln+x& alt=&\lim_{t\rightarrow0}\frac{x^t-1}t=\ln x& eeimg=&1&&&/p&&p&好了，我们对于普通的幂函数的积分 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx& alt=&\int x^n\ {\rm d}x& eeimg=&1&&，终于冲破了 n=-1 时的禁区，只是我们要换个角度看函数图像，不是经过原点 (0,0)，而是经过 (1,0) 来研究。&/p&&p&【下面的几何题与上文无关。】&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f7cd2d353e41ae03d36b82db2fb89613_b.jpg& data-rawwidth=&1137& data-rawheight=&636& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1137& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f7cd2d353e41ae03d36b82db2fb89613_r.jpg&&&/figure&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2Bm%5E2%3Dx%5E2%5C%5C%5Cfrac%7Bm%5E2%2Bn%5E2-1%7D%7B2mn%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D2%5C%5C%5Cfrac%7B1%2Bn%5E2-%5Cleft%281%2Bx%5Cright%29%5E2%7D%7B2n%7D%3D-%5Cfrac12%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.& alt=&\left\{\begin{matrix}1+m^2=x^2\\\frac{m^2+n^2-1}{2mn}=\frac{\sqrt3}2\\\frac{1+n^2-\left(1+x\right)^2}{2n}=-\frac12\end{matrix}\right.& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dm%5E2-%5Csqrt3mn%2Bn%5E2-1%3D0%5C%5Cn%5E2%2Bn-1-2%5Csqrt%7B1%2Bm%5E2%7D-m%5E2%3D0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.& alt=&\left\{\begin{matrix}m^2-\sqrt3mn+n^2-1=0\\n^2+n-1-2\sqrt{1+m^2}-m^2=0\end{matrix}\right.& eeimg=&1&&&/p&
普通的幂函数 f(x)=x^n，原则上一积分，便是 \int x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C；变成定积分的话（假设下界为 0），则为 \int_0^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}。然而让我着迷的地方，则是 n 在不断靠近 -1 时的过程，其中为了方便讲解，我们…
&p&卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。&b&&i&为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解&/i&&/b&，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单粗暴的基础知识。&/p&&hr&&p&&b&&i&补一些自己的想法：&/i&&/b&&/p&&p&前几天看到这个问题：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question/& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-50c1b7f7d089abc34a573b5_180x120.jpg& data-image-width=&1037& data-image-height=&645& class=&internal&&辛苦科普八百年，一夜回到解放前是一种怎样的体验？&/a&&p&于是我就在想，地球科学这些人至少还有一段时间处于解放后，像相对论量子力学这一块却一直还在打第一次国共内战。都是搞科普的为啥差距那么大？仔细想想，地球科学、生物科学等学科科普时囿于学科特性，大多数是以图片加例子的形式给大家说的，其实就相当于给小朋友们看一下静电让毛发竖起来这样的实验。小朋友们对静电自然很兴奋，也能叽叽喳喳和你聊上几句，让人有了解放区的天是朗朗的天的错觉。要是碰到什么防电场辐射这种稍微复杂的问题，他们就又搞不懂了。上面问题中的所谓地球的真正形状就相对于一个稍微复杂的问题。&/p&&p&&br&&/p&&p&这时就有人说了，人家霍金写的《时间简史》通俗易懂，堪称科普界楷模，你们还要学习一个。但忽视了《时间简史》是1988年出版的，那时候黑洞、大爆炸等等一系列东西对民众来说还是新东西。这些东西的科普风格贴近博物学在那时是没有问题的，大家伙就好像第一次看天堂鸟一样，新奇激动。但时代不同了，现在看过《时间简史》不出来装的比出来装的还多了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&726& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3dbfdea99a061_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_r.jpg&&&figcaption&天堂鸟&/figcaption&&/figure&&p&我和民科打了许久的交道，每次都发现因为大多数围观群众只知其然不知其所以然，导致在与民科的斗争中，持同情态度的路人无法积极参与进来。后来我明白了：“画图救不了中国人！”好多人就说了，这些数学的东西，内行人用看，外行人看不懂。实际上忽略了一个问题就是广义相对论这种东西的数学推导好多人即使学过高等数学等知识，这一辈子都没见过。但广相科普的重头戏，时空弯曲、水星近日点进动、黑洞等，其实需要的数学知识也就这么多。所以尽可能把推论逻辑化，而不是简单粗暴地甩结论是很有必要的，这样的科普才能知识水平越来越高。实际上，我认为只给做名词党做科普是没有意义的。&/p&&p&当然正如康德所说：&/p&&blockquote&有些书，如果它并不想说得如此明晰的话，它就会更加明晰得多。这是因为明晰性的辅助手段在部分中有效，但在整体中往往分散了，这样它们就不能足够快地让读者达到对整体的综观，倒是用它们所有那些明亮的色彩贴在体系的结合部或骨架上，使它们面目全非了，而为了能对这个体系的统一性和杰出之处下判断，最关键的却是这种骨架。&br&——康德《纯粹理性批判》第一版序&/blockquote&&p&所以如果可能的话，我会把这篇文章写成知乎上目前最简单的广义相对论入门。&/p&&hr&&p&首先，题主问道：“如何弯曲？”就得首先回答一个问题：“怎样的东西才能说是直的？”如何判断一条线或是一个平面是直的，在数学和物理上有不同的操作。我们首先来说数学上的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&（提示：请注意下文当中“直的”与“平直的”两词不同场合的用法）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&数学：&/i&&/b&&/p&&p&什么是直的？你总不可能随手画一条线，然后告诉大家：“所有偏离我画的这条线的都是不直的！”凭什么你来制定直曲的标准，要让大家伙都认，所以需要借助公理来研究直曲。欧几里德有一条公理说到：&b&&i&两点之间直线段最短&/i&&/b&。这其实就给出了一个直线的判断标准，即就是在线上找两个不同的点，判断是否能找到一条线比原有线的长度更短。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么此刻问题来了，什么是长度？或者什么是距离？你不能用一根尺子量完之后告诉我距离是多少，因为按照逻辑，我们得先证明你的尺子是直的。而定义直又要用到距离这个概念，从而循环定义，这样是行不通的。所以假设我们现在一无所有，即没有尺子，也没有激光测距仪等物理手段，也没有像曲直、坐标系等数学概念，更没有几千年的生产劳动经验。我们手头目前只有一堆要研究的点和不会自相矛盾的逻辑。为了研究这堆点，我们需要人为手动去定义距离。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过需要一个前提，就是我们如何把待研究空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 里的所有点表示出来？这时我们先引入坐标系这一工具了，坐标系的作用就是唯一确定地把我们要研究的点表示出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样的话，我们构造一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&，使得在我们待研究的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 中任取两个点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 都有一个唯一的函数值 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29& alt=&d(a,b)& eeimg=&1&& 具有：&/p&&p& 1)非负性、同一性：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cgeq0& alt=&d(a,b)\geq0& eeimg=&1&& ，且 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D0& alt=&d(a,b)=0& eeimg=&1&& 当且仅当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3Db& alt=&a=b& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 2)对称性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3Dd%28b%2Ca%29& alt=&d(a,b)=d(b,a)& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 3)直递性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cleq+d%28a%2Cc%29%2Bd%28c%2Cb%29& alt=&d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这样的一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 称之为定义在空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 上的距离。（&b&&i&第一条大于零的条件可以去掉，这样的距离叫做“伪距离”，实际上我们的四维时空上定义的距离就是一个伪距离。&/i&&/b&）&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，有这样性质的函数千千万万个，其具体形式也依赖于坐标的具体形式。那么对于一个已经定义了距离&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& ，任意两点的距离是否依赖于坐标系的取法呢？显然是不依赖的，因为我们对距离的定义并没有牵扯到坐标的具体形式。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个结论是十分重要的，我再次写一遍：&b&&i&距离不依赖于坐标系的具体取法。事实上这种不依赖于坐标系取法的量叫做标量。在相对论里有：一切可以测量的量都是标量。（对应与物理实在不因观察者不同而不同）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&当然以上的定义还是太抽象，让人不舒服。为了让大家舒服一点，我们先在欧几里德空间上研究问题。欧几里德空间的距离定义是基于毕达哥拉斯（勾股）定理。即：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28a_i-b_i%29%5E2%7D& alt=&d(a,b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&这样的空间里有一堆我们熟悉的几何定理，比如说三角形的内角和是180°。&b&&i&这种距离定义的空间也就是题主问题当中相对于弯曲的基准：平直&/i&&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间当中我们可以建立各种各样的坐标系，常见的有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、双曲坐标系等。在研究不同的问题时这些坐标系各有便利，但结论是一样的。比如说用直角坐标系去计算球面两点的大圆弧长，最后结果是一样的，其中的道理就是距离不依赖于坐标系。同理，用直角坐标系去求解球对称的拉普拉斯方程，其结果也是一样的。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了扯了这多内容这时就能引入度规这一概念了。假设我们的两个点靠的很近，我们可以把其写成微分形式。为了能简单明了说明问题，我们只写三维情况下：&/p&&p& 直角坐标系：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddx%C2%B2%EF%BC%8Bdy%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2+& alt=&ds?=dx?＋dy?＋dz? & eeimg=&1&&&/p&&p&柱坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋dz?& eeimg=&1&&&/p&&p&球坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2sin%CF%86%C2%B2d%CE%B8%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋r?sinφ?dθ?& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&以上东西在黎曼之前就被各大数学家们研究出来了，其中还包括一些奇奇怪怪的坐标系，由此还发展了一门学科叫测地学。因为那会大家都知道地球是个椭球体，在地球上测量距离不就是在椭球面上测量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候黎曼就出来：“诸位请慢！首先我们是搞数学的，不是搞地球科学的（当时肯定是没有这一说法的）。我们数学家看到一群点能够自然地把它们看作是球面上的吗？当然不行，依我看，&b&&i&假设没有告诉你上面的距离是咋样的，我们就不能研究几何学！&/i&&/b&所以，大家伙请我来做这个教授，我没有写论文，就这么一篇稿子……”&/p&&p&&br&&/p&&p&总之，黎曼在其就职演说《关于几何学的基本假设之中》提出我们求曲线长度时，要先定义好在某一点切向量的距离，然后把这条线经过的点所有的切向量距离积个分。而不是像以前那样我们假设有理想的直线段，做内切折线，取折线的上限作为距离。从我们上文的描述中可以看到，黎曼不知道比以前的定义高到哪里去了，因为我们前面说了，为了直线，你要说距离，而后一种定义弧长又要引入特殊的曲线——直线。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7eddfa758a957b4f0a27_b.jpg& data-rawwidth=&340& data-rawheight=&176& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f85c43b7fb4_b.jpg& class=&content_image& width=&340&&&figcaption&以前大家用内接折线极限求弧长&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_b.jpg& data-rawwidth=&497& data-rawheight=&409& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd23f1c953ac69c97d94edd1fa54b5bf_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&497& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_r.jpg&&&figcaption&黎曼所描述的将切向量积分求弧长，需要提前给出在某一点的切量长度，即定义好距离&/figcaption&&/figure&&p&因而黎曼就提出，一个空间其上必须制定距离，或者叫度规，我们才有办法研究几何。因为对于距离的测量是几何学的中心和基础。不给距离就没有角度、平行、相交等一系列概念。所以黎曼就推广了上面距离微元的写法，他认为：只要在空间各点附近指定这样的关系：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cotimes+dx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^i\otimes dx^j& eeimg=&1&&&b&&i&（指标相同表求和）&/i&&/b&&/p&&p&（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Ei& alt=&x^i& eeimg=&1&& 是坐标）都能叫距离，只要其满足我们前面说的三条性质。 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&& 则称为给定点处的度规张量。&/p&&p&&br&&/p&&p&突然间我们这里出现了一个新名词：张量。为了不影响下文理解，再来介绍一下这位新朋友。前面我们提到过标量这个名词：&i&&b&不依赖于坐标系取法的量叫做标量。即：&/b&&/i&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi%27%3D%5Cvarphi& alt=&\varphi'=\varphi& eeimg=&1&& 。距离微元就是这样的量。那么肯定有随着坐标变化的量。&/p&&p&把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27%5Ei%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7DA%5Ej& alt=&A'^i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j}A^j& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7DA_j& alt=&A'_i=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i}A_j& eeimg=&1&& 这样的称之为矢量或者一阶张量。前者称为逆变矢量后者称为协变矢量。逆与协二字相对于坐标变换。在广义相对论里是严格区别逆变张量和协变张量的，但在狭义相对论中是不区别的。（以上讨论中带撇的指新坐标系下的形式，不带撇是原坐标系下形式）&/p&&p&&br&&/p&&p&那么二阶张量，就是在前面再添一偏导项系数。度规张量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&是一协变的二阶张量。&/p&&p&即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%27_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ek%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5El%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ej%7Dg_%7Bkl%7D& alt=&g'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}g_{kl}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&诸位细心点就能发现上面这些式子的上下标等式左右是一致的，重复的上下标会在等式左边消失（即缩并）&/i&&/b&。这其实相当于线性代数里的矩阵乘法，只是张量可能涉及到三阶以上。对应到矩阵的逆，张量也有逆。比如说一个很重要的逆——度规张量的逆： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&& （ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%5Ek_i& alt=&\delta^k_i& eeimg=&1&& 只有在i 、k相等时才为一，其余均为零）中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bjk%7D& alt=&g^{jk}& eeimg=&1&& 是一逆变二阶张量。度规张量的重要性不仅体现在其定义了距离，而且有了它我们就可以进行逆变和协变张量之间的互换，以矢量举例子如下：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei%3Dg%5E%7Bik%7DA_k+%EF%BC%8C+A_i%3Dg_%7Bik%7DA%5Ek& alt=&A^i=g^{ik}A_k ， A_i=g_{ik}A^k& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&从以上可以看出，张量或矢量是严重依赖于具体点的，在某一点是矢量的量在下一个点就可能不是矢量了。这在我们研究导数等概念时是致命的，我们知道，求一个矢量导数时我们要把其x处的值和x+dx处的值相减。这样就需要把x处的矢量搬到x+dx处，但问题来了，搬到x+dx处的矢量还是矢量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间中不存在这样的问题，因为空间是平的，但黎曼几何中就不一样了。为了保证搬走之后依旧是一矢量且与原矢量平行，列维西维塔提出平行移动的概念，也就是：平移过程中，向量与这两点最短线（测地线）的夹角始终保持不变。此刻非欧几何和欧氏几何的差距就出现了。&b&&i&在欧氏几何当中经历一个闭合回路的平行移动之后，矢量与原矢量重合。而非欧几何中，就会有和原矢量的一个偏移。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_b.jpg& data-rawwidth=&997& data-rawheight=&378& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-851a0bd3bfbf7c9da320c06_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&997& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_r.jpg&&&figcaption&平直空间的平行移动和弯曲空间的平行移动，弯曲空间平行移动一个闭合路径后会发生一个偏转&/figcaption&&/figure&&p&即x处矢量平移至x+dx处时要附加一和dx以及原矢量A成正比的小量：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d_p+A%5Ei%3D-%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA%5Ejdx%5Ek%EF%BC%8Cd_p+A_j%3D%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA_idx%5Ek& alt=&d_p A^i=-\Gamma^i_{jk}A^jdx^k，d_p A_j=\Gamma^i_{jk}A_idx^k& eeimg=&1&&&/p&&p&其中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}& eeimg=&1&& 并非一三阶混合张量，而只是一系数称为联络系数。附加了此量之后x处的矢量才能在x+dx处也是矢量。&/p&&p&&br&&/p&&p&20世纪70年代斯坦福大学曾提出一个设想，在人造卫星放一超导陀螺，卫星轨道过地球极轴，陀螺自转轴在轨道面内，则因为地球引力场的空间弯曲，陀螺会有7″进动。&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%25BC%%258A%259B%25E6%258E%25A2%25E6%25B5%258B%25E5%B/Ffr%3Daladdin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&引力探测器B_百度百科&/a&&p&这其中的道理就是陀螺自转轴可以看成是一个矢量，其经过闭合回路不断回到原点，不断产生偏转(进动)。这个实验当然是广义相对论正确性的一次验证。&/p&&p&&br&&/p&&p&话说回来，这个绕一圈回来之后的偏移量究竟是多少？我们就得再介绍一个张量称之为挠率张量。挠率张量是联络系数的反对称部分，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D-%5CGamma%5Ei_%7Bkj%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}& eeimg=&1&& 。&b&&i&挠率的存在会破坏我们之前很重要的一个法则：平行四边形法则。&/i&&/b&平行四边形法则是：两矢量的和等于以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。&b&&i&但有了挠率的存在，两对互相平行的矢量无法构成一个闭合回路。而相差了一个缺口，这个缺口的大小和挠率成正比。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_b.jpg& data-rawwidth=&429& data-rawheight=&340& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eee5d92ef9e5e8ddb97166cbfd605656_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&429& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_r.jpg&&&figcaption&挠率的存在，使得平行四边形法则失效&/figcaption&&/figure&&p&上面结论证明起来是简单的，只需要将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 沿 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 平移和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 沿&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 平移，二者的差就是该处缺口的值。&/p&&p&&br&&/p&&p&有挠的空间称之为“扭曲”的，有趣的是，爱因斯坦的引力理论是无挠的，迄今为止所有建立有挠的引力理论都失败了。这一点也是和非欧几何不同的。&/p&&p&&br&&/p&&p&数学家已经证明：在空间无挠的情况下，可以导出一对称度规，反之通过一对称度规可以诱导出一联络。也就是指定度规和指定联络是相互依存的。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设空间无挠，那么沿一无穷小矩形一圈，偏移量应该与此矩形的两边Δx和δx以及矢量A成比，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_p+A%5Ei%3D-R%5Ei_%7Bjkl%7DA%5Ej%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El%EF%BC%8C%5CDelta_p+A_j%3DR%5Ei_%7Bjkl%7DA_i%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El& alt=&\Delta_p A^i=-R^i_{jkl}A^j\Delta x^k\delta x^l，\Delta_p A_j=R^i_{jkl}A_i\Delta x^k\delta x^l& eeimg=&1&&&/p&&p&这其中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D& alt=&R^i_{jkl}& eeimg=&1&& 就是大名鼎鼎的黎曼曲率，有曲率的空间称之为完全的。黎曼曲率各关于前后两指标反对称，前后两对指标对称。即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ej_%7Bikl%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ei_%7Bjlk%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3DR%5Ek_%7Blij%7D& alt=&R^i_{jkl}=-R^j_{ikl},R^i_{jkl}=-R^i_{jlk},R^i_{jkl}=R^k_{lij}& eeimg=&1&&&/p&&p&因为这种对称性，曲率张量的二阶缩并只有一个独立的，即后文我们要提到的里奇张量。&/p&&p&可以由联络系数通过我们前面证明挠率的类似步骤导出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&总而言之：&b&&i&联络、挠率和曲率三者的数学意义如上，它们描绘了一个空间是如何偏离于数学上的平直空间（欧几里得空间）。&/i&&/b&更为具体的细节不多做补充，在下面物理部分需要时将会提到。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&物理：&/i&&/b&&/p&&p&1905年，爱因斯坦发现狭义相对论的消息传到了他的大学数学老师闵科夫斯基耳中。闵科夫斯基心中骂道：“懒鬼、笨蛋，这不就是四维伪欧式空间中的度量问题吗？还用洋洋洒洒写三十多页？”于是闵科夫斯基花了一个晚上把爱因斯坦的狭义相对论几何化了。不幸的是闵科夫斯基不久得了阑尾炎，离开了人间。有人就说，否则广义相对论可能会早点。当然广义相对论中那个天才般的等效性原理，没有敏锐的物理直觉很难发现。我们接下来要说的就是相对论的几何化。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们前面说了，给定一系列点之后，还需要给定距离的定义即度规方可开始研究几何学。那么对应到物理学中究竟是怎样的？&b&&i&点就相当于事件是一个四维坐标描述的点，而距离由光给出，即连接两点的类光矢量的模是零。而我们可以测量的一切物理量都是标量。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&那么就会有人问了，你不是说能测得的一切物理量都是标量，标量又不随坐标系不同变化，那么我测得长度你为啥说会尺缩呢？那是因为你测得的长度是应该四维矢量在空间轴上的投影，这肯定是个标量可以测量。而不同参考系，空间轴是不一样的，故而投影是不一样的，所以就有了尺缩，钟慢同理。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么回到我们的问题：时间和空间如何弯曲。先来回答：什么是物理上的直。牛顿惯性定律给出了物理上的直：物体在不受力时做匀速直线运动。那么引申到相对论里就是：物体在不受力时，在四维空间沿测地线运动。&/p&&p&四维空间的测地线如下给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%28g_%7Bij%7D%5Cdot%7Bx%7D%5Ei%29%3D1%2F2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bik%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%5Cdot+x%5Ei+%5Cdot+x%5Ek& alt=&\frac{d}{ds}(g_{ij}\dot{x}^i)=1/2 \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\dot x^i \dot x^k& eeimg=&1&&&/p&&p&可见其紧密和空间度规有关，四维空间的测地线就是物理意义上的直。而物理意义上的平直，也就是对应的欧氏空间或者题主所言的基准就是闵科夫斯基空间，其度规如下给出：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D1%2Cg_%7B11%7D%3Dg_%7B22%7D%3Dg_%7B33%7D%3D-1& alt=&g_{00}=1,g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1& eeimg=&1&& 其余皆为零。&/p&&p&即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bdr%5E2%7D%7Bc%5E2dt%5E2%7D%29dt%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%29dt%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2(1-\frac{dr^2}{c^2dt^2})dt^2=c^2(1-\frac{v^2}{c^2})dt^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了更好地阐述问题，接下来我们以最小作用量原理在平直时空来简单看一看把时空几何化之后，究竟有什么便利。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先，最小作用量原理指的是：&b&&i&对于每一个力学系统而言，总有一个叫作用量的积分S存在，这个积分对实际运动路径取最小值，因此其变分δS为零。&/i&&/b&很明显S是一个标量函数，因为其与参考系选择无关，对于一个自由的粒子，空间各项同性的体系，我们只能构造出如下的作用量： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds& eeimg=&1&& ，α是以个正常数，负号是为了能取到最小值，a、b是时空中两个事件的坐标。&/p&&p&则写成我们熟悉的拉格朗日量形式： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds%3D-%5Calpha+c%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7Ddt%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7DLdt& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds=-\alpha c\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2/c^2}dt=\int_{t_1}^{t_2}Ldt& eeimg=&1&&&/p&&p&有了自由粒子的拉格朗日量后，利用理论力学知识就能很方便建立狭义相对论力学。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么空间和时间弯曲的规律是什么？由以上最小作用量原理，也是最小作用量是一标量，但因为有弯曲的存在，形式上就比较复杂，可以推出爱因斯坦场方程：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR-%5CLambda+g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R-\Lambda g_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是黎曼张量的缩并的唯一独立张量，称为里奇张量，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR%5E%5Clambda_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}=R^\lambda_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda& alt=&\Lambda& eeimg=&1&& 为大名鼎鼎的宇宙常数（其为不为零尚在争议）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&T_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是能量动量四矢描述了物质分布,其写成矩阵形式是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f8b69ddc62dbd6cf0a3ff2b_b.jpg& data-rawwidth=&388& data-rawheight=&226& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-fbc39997e_b.jpg& class=&content_image& width=&388&&&figcaption&能量动量四矢，其中包含了能量、能流、动量流、三维空间应力，体现了方程中的物质项&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&式子的前两项&/i&&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR& alt=&G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R& eeimg=&1&&&b&&i&称为爱因斯坦张量，这个张量是唯一一个满足协变微分守恒的张量。有趣的事情是所有二维空间的爱因斯坦张量都是零，这就使得二维空间里没有爱因斯坦引力理论（这也是为何我反感将时空弯曲比作两只在曲面上爬行的蚂蚁或者是弹簧床，因为这些比喻让人最直观感受到的是二维弯曲空间，它们的时间轴藏在字眼里，而只给人留下空间弯曲的印象。时间弯曲是极为重要的）。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&我们再来看一次爱因斯坦场方程，为了说明问题，这次我们观察不带宇宙项的方程，并将其改写成下面形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa%28+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DT%29& alt=&R_{\mu\nu}=-\kappa( T_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}T)& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&在真空当中， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&T_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& ,所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&R_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& .但我们之前说过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 只是黎曼曲率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&& 的缩并，只有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D%3D0& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}=0& eeimg=&1&& 时才能说时空是平直的，颜外之意就是说：在真空中时空也可能是弯曲的。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&另外只有场方程是无法直接求解出度规、曲率、联络等，因为度规一共有10个独立分量（二阶对称四维张量），但场方程由于爱因斯坦张量的协变微分守恒性质，一下子少了4个独立方程，只有6个。所以需要给选择的坐标系加上一些条件才能真正求解。&/p&&p&&br&&/p&&p&有了以上，我们就可以求解度规、曲率、联络等原则上研究时空的弯曲。以几何的手段研究引力。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然场方程的求解是困难的，因为物质分布会影响空间弯曲，空间弯曲又会影响物质分布。至今求得的几个解都是比较简单情形，其中最著名的就是引力波和黑洞等高大上名词。关于黑洞的解请参见：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-5f2fc394cf9a_ipico.jpg& data-image-width=&628& data-image-height=&529& class=&internal&&黑洞吸入的东西去哪儿了，是否能够塞满一个黑洞？&/a&&p&引力波解不再赘述。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了进一步阐述时空弯曲的特性，我将纽曼克尔黑洞的线元贴上，并辅以说明。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3D%281-%5Cfrac%7B2mr-Q%5E2%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%29dt%C2%B2%EF%BC%8D%5Cfrac%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2-2mr%2BQ%5E2%7Ddr%5E2%EF%BC%8D%28r%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%29d%5Ctheta%C2%B2-%5B%28r%5E2%2Ba%5E2%29sin%5E2%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29a%5E2sin%5E4%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D+%5Dd%5Cvarphi%27%C2%B2%2B2%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29asin%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7Ddtd%5Cphi%27& alt=&ds?=(1-\frac{2mr-Q^2}{r^2+a^2cos^2\theta})dt?－\frac{r^2+a^2cos^2\theta}{r^2+a^2-2mr+Q^2}dr^2－(r^2+a^2cos^2\theta)d\theta?-[(r^2+a^2)sin^2\theta+\frac{(2mr-Q^2)a^2sin^4\theta}{r^2+a^2cos^2\theta} ]d\varphi'?+2\frac{(2mr-Q^2)asin^2\theta}{r^2+a^2cos^2\theta}dtd\phi'& eeimg=&1&&&/p&&p&这是一个带电荷Q、有角动量a的质量为m的粒子在无穷远处的度规。&/p&&p&其图如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&371& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d9d655fdeea5f6dcdf7681d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_r.jpg&&&figcaption&纽曼克尔黑洞的抛面图&/figcaption&&/figure&&p&首先，重要的一组面是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D0& alt=&g_{00}=0& eeimg=&1&& 的面，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2cos%5E2%5Ctheta-Q%5E2%7D& alt=&r^s_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2cos^2\theta-Q^2}& eeimg=&1&& ，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%2B& alt=&r^s_+& eeimg=&1&& 这个面以内 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3C0& alt=&g_{00}&0& eeimg=&1&& ,假设粒子静止，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B00%7Dc%5E2dt%5E2%3C0& alt=&ds^2=g_{00}c^2dt^2&0& eeimg=&1&& ，即粒子沿类空测地线运动，这是不可能的。所以这个面以内粒子无法静止，好像是被旋转天体拖着在一起旋转，这面因而称为静界。另一组面是法向量是类光矢量的面，直接给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2-Q%5E2%7D& alt=&r^h_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}& eeimg=&1&& 。在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm& alt=&r^h_\pm& eeimg=&1&&之间，时空坐标需要交换，也就是朝内称为在此区域内粒子的未来。当粒子通过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_-& alt=&r^h_-& eeimg=&1&&后，继续受到中心天体拖曳，直到其有可能穿过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_-& alt=&r^s_-& eeimg=&1&& 进入中心正常的空间。这就是一个典型的由于物质存在，使得周围时空性质发生极大改变的例子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&总而言之，四维时空按场方程形式弯曲（不过场方程里只出现了里奇张量并不能唯一决定曲率张量）。而对于在其中运动的物质，只要不受力轨迹都是直的。只不过在三维空间投影弯了。而至于题主想问的看不见摸不着的时空怎么能观测到弯曲，已经由前面叙述的引力探测器B回答了。事实上，这样的实验很多，包括水星近日点进动、恒星光线偏折等都是因为时空弯曲造成的。&/i&&/b&正是因为非欧几何和欧氏几何许多的不同，让我们可以用物理手段观测到时空的弯曲。&/p&&p&&br&&/p&&p&PS.一切试图去想象四维以上空间具体形貌的尝试我都是不赞赏的，因为只能窥豹一斑，只有通过数学去理解高维空间，才能正真获得东西。&/p&
卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单…
栗子：代数基本定理&br&&br&分析派&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d046f6adcc00ae7acf998dd6_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d046f6adcc00ae7acf998dd6_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a1c010a919caa_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a1c010a919caa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&791& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fad8a5c3e160fcc1b6e8b0_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fad8a5c3e160fcc1b6e8b0_r.jpg&&&/figure&&br&&br&几何派&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1127& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-05f92b8c87a6a63d7438_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-05f92b8c87a6a63d7438_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1044& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3c86c0cf7ff6b898d99ea1ebc916af62_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3c86c0cf7ff6b898d99ea1ebc916af62_r.jpg&&&/figure&代数派&br&&br&&a data-hash=&6ab68ed1ef7c& href=&//www.zhihu.com/people/6ab68ed1ef7c& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$6ab68ed1ef7c&&@唐珑珂&/a& &br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&940& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-aa2f2276bce7771b6abc19a7_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-aa2f2276bce7771b6abc19a7_r.jpg&&&/figure&
栗子：代数基本定理 分析派 几何派 代数派
&p&如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明（比较繁琐）。[1][2]&br&用现代方法的证明思路是：&br&&/p&&ol&&li&若一个多项式方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D0& alt=&f(x)=0& eeimg=&1&&可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7BG%7D%7BF%7D& alt=&y=\frac{G}{F}& eeimg=&1&&使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28y%29%3D0& alt=&f(y)=0& eeimg=&1&&，这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%2CF& alt=&G,F& eeimg=&1&&可以写成形式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum+a_i%5E%7B1%2Fm_i%7D& alt=&\sum a_i^{1/m_i}& eeimg=&1&&，这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&也为代数函数。所以用归纳法可以证明存在域扩张&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BQ%7D%5Csubset+F_1%5Csubset+F_2%5Ccdots+%5Csubset+E& alt=&\mathcal{Q}\subset F_1\subset F_2\cdots \subset E& eeimg=&1&&，使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%2B1%7D%3DF_i%28%5Calpha_i%29%2C%5C+%5Calpha_i%5E%7Bp_i%7D%5Cin+F_i%2C%5C+E%3D%5Cmathcal%7BQ%7D%28y%29& alt=&F_{i+1}=F_i(\alpha_i),\ \alpha_i^{p_i}\in F_i,\ E=\mathcal{Q}(y)& eeimg=&1&&，这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BQ%7D%3D%5Cmathbb%7BQ%7D%28a_0%2Ca_1%2C%5Ccdots%2Ca_n%2C%5Czeta_n%29& alt=&\mathcal{Q}=\mathbb{Q}(a_0,a_1,\cdots,a_n,\zeta_n)& eeimg=&1&&。&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BGal%7D%28F_%7Bi%2B1%7D%2FF_i%29%3D%5Clangle+p_i%5Crangle& alt=&\mathrm{Gal}(F_{i+1}/F_i)=\langle p_i\rangle& eeimg=&1&&，这是因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7Bp_i%7D-+%5Calpha_i%5E%7Bp_i%7D%5Cin+F_i& alt=&x^{p_i}- \alpha_i^{p_i}\in F_i& eeimg=&1&&的所有根由&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta_%7Bp_i%7D%5Er%5Calpha_i%2C%5C+0%3Cr%3Cp_i& alt=&\zeta_{p_i}^r\alpha_i,\ 0&r&p_i& eeimg=&1&&给出。&/li&&li&由Galois基本定理存在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%3DG_0%5Csubset+G_1%5Ccdots%5Csubset+%5Cmathrm%7BGal%7D%28E%2F%5Cmathcal%7BQ%7D%29& alt=&1=G_0\subset G_1\cdots\subset \mathrm{Gal}(E/\mathcal{Q})& eeimg=&1&&使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_%7Bi%2B1%7D%2FG_i%3D%5Clangle+p_i+%5Crangle& alt=&G_{i+1}/G_i=\langle p_i \rangle& eeimg=&1&&。&/li&&li&由于5阶及以上的一般n阶方程的Galois群可以取得S_n，但容易证明当n&=5时3中的合成群列不可能出现，所以没有根式解。&/li&&/ol&一个Galois群是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_5& alt=&S_5& eeimg=&1&&的例子是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E5-5x-2%3D0& alt=&x^5-5x-2=0& eeimg=&1&&，这是因为它的Galois群显然包含5阶循环群（Sylow）&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%281%2C2%2C3%2C4%2C5%29& alt=&(1,2,3,4,5)& eeimg=&1&&，另一方面其恰含有两个复根所以包含一个对换，用对称群的一个简单结论可以知道其为S_5。&br&&br&====&br&至于知道Galois群后如何求出方程的根，可以用如下方法：&br&&br&首先考察n阶循环扩张E/F其中F包含n次单位根，由Kummer定理可以知道E=F(a)，这里a^n∈F。由Noether方程可以知道a对应于Gal(E/F)的特征标群生成元。&br&&br&所以我们通过递归调用上述算法，即可得到任意可解Galois群的根式扩张。用这个方法也可以推出3,4次方程的根式解，这也是拉格朗日预解式得原始思想。&br&&br&====&br&至于知道多项式后如何求出它的Galois群，可以参考：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.uncg.edu/mat/numbertheory/summerschool/pdf/roberts-2013-galois-I.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&uncg.edu/mat/numbertheo&/span&&span class=&invisible&&ry/summerschool/pdf/roberts-2013-galois-I.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&&b&事实上这些东西在现在的计算机代数系统比如&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx%3Fpath%3Dgalois& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Maple&/a&,Magama等都有实现。&/b&&br&&br&Reference&br&[1]. &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.amazon.com/dp//%3Ftag%3Dstackoverfl08-20& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability: Peter Pesic: 9: Amazon.com: Books&/a&&br&[2]. &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.math.caltech.edu/%7Ejimlb/abel.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&math.caltech.edu/~jimlb&/span&&span class=&invisible&&/abel.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&[3]. 现代方法可以参考E.Artin 的 Galois Theory.
如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明（比较繁琐）。[1][2] 用现代方法的证明思路是： 若一个多项式方程f(x)=0可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数y=\frac{G}{F}使得f(y)=0，这里G,F可以写成形式\sum a_i^{1/m_i}，这里a_i也为代数函数…
&p&&b&更新：中科院李文威老师关于Langlands纲领的一个数学讲座&/b&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.math.ac.cn/sp/xsbgsp/343.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学所讲座第62期----数学与系统科学研究院数学研究所&/a&&/p&&p&曾经有N个数学家试图向非数论相关方向的数学系学生科普朗兰兹纲领，均以失败告终。而介绍朗兰兹的工作离不开介绍朗兰兹纲领，所以从介绍角度看有等于无。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b9c146c8f5d59d628aa5f3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&867& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b9c146c8f5d59d628aa5f3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&下面是朗兰兹自己写的文章，大家可以感受下朗兰兹的数学风格。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9a143aaa0685b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9a143aaa0685b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-066cbdcfd13a8ba02f9e9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-066cbdcfd13a8ba02f9e9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b5e3b6dac229f9fc42008_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b5e3b6dac229f9fc42008_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ea49fa3b565ce8b3d451d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ea49fa3b565ce8b3d451d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6bd2f9e0bddf563e63edb1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6bd2f9e0bddf563e63edb1_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-f171bf44eba7ef598ff0e77ba9ba7a7e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-f171bf44eba7ef598ff0e77ba9ba7a7e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2bc8aadeaf236_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2bc8aadeaf236_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3e4242cec1ad40f51a2e31a1a1304dcf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3e4242cec1ad40f51a2e31a1a1304dcf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dffe9c3dd28b3b7c3f00e0d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dffe9c3dd28b3b7c3f00e0d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d2c6ab5d1e26ddb3d55e522_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d2c6ab5d1e26ddb3d55e522_r.jpg&&&/figure&&p&附：克罗内克的青春之梦&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e26b6f59f1effd53fa69fd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e26b6f59f1effd53fa69fd_r.jpg&&&/figure&
更新：中科院李文威老师关于Langlands纲领的一个数学讲座曾经有N个数学家试图向非数论相关方向的数学系学生科普朗兰兹纲领，均以失败告终。而介绍朗兰兹的工作离不开介绍朗兰兹纲领，所以从介绍角度看有…
&p&讲两个复变函数定理中构造例子吧。&br&第一个：黎曼共形映射定理的证明中选择sqrt函数的构造思路&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3c03cf7a809a4a4f82ebd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&819& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3c03cf7a809a4a4f82ebd_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-063ed50cdedbdc9f9f459b9d0922c6ec_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-063ed50cdedbdc9f9f459b9d0922c6ec_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eed53ae7043bdf22500d0febff1c6ee1_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eed53ae7043bdf22500d0febff1c6ee1_r.jpg&&&/figure&&br&据称，正是因为黎曼反复思考共形映射，想象大量的圆盘覆叠在一起，然后抽象出了黎曼曲面。&br&&br&第二个：庞加莱讲自己如何构造单变量自守函数和自守形式。&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-5ffb97fb4a2c413f4c9b70_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-5ffb97fb4a2c413f4c9b70_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ce79e21deafe7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ce79e21deafe7_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d78a10db057c45ace37d4ad_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d78a10db057c45ace37d4ad_r.jpg&&&/figure&&br&最近阿贝尔奖获得者朗兰兹，他的工作就与自守形式有&br&&br&建议：很多构造并不像你想象那样是天马行空，只不过很多数学家没有把想法写进教材里，全当脚手架拆除了，留下形式定理和证明。所以你得自己琢磨。&/p&
讲两个复变函数定理中构造例子吧。 第一个：黎曼共形映射定理的证明中选择sqrt函数的构造思路 据称，正是因为黎曼反复思考共形映射，想象大量的圆盘覆叠在一起，然后抽象出了黎曼曲面。 第二个：庞加莱讲自己如何构造单变量自守函数和自守形式。 最近阿贝尔…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c6b4ae0af38d33fa98055_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c6b4ae0af38d33fa98055_r.jpg&&&/figure&&p&本节的任务是介绍域扩张，有限扩张和代数扩张的概念.&/p&&p&&b&定义1
&/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%2CK& alt=&F,K& eeimg=&1&& 是域，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%2CK& alt=&F,K& eeimg=&1&& 是环，从 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 的单的环同态 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%3A+F%5Crightarrow+K+& alt=&\sigma: F\rightarrow K & eeimg=&1&& 称作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的域扩张 (field extension). 若存在域扩张 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%3A+F%5Crightarrow+K& alt=&\sigma: F\rightarrow K& eeimg=&1&& ，称域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 是域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的一个扩张，记作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K%2FF& alt=&K/F& eeimg=}
原文:译者:烟波蓝 翻译小组成员校对:Panlan 翻译小组组长 通常来说，一个数学公式极少会同时引起国内各路媒体的关注，更难成为英国议会讨论的焦点。但是在2003年，我们在中学时期就学过的、非常经典的二次方程却是一个例外。Where we b…
&p&普通的幂函数 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dx%5En& alt=&f(x)=x^n& eeimg=&1&&，原则上一积分，便是 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D%2BC& alt=&\int x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C& eeimg=&1&&；变成定积分的话（假设下界为 0），则为 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5Ex+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D& alt=&\int_0^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}& eeimg=&1&&。然而让我着迷的地方，则是 n 在不断靠近 -1 时的过程，其中为了方便讲解，我们将 n+1 换元为 t，于是就变成研究 t 在不断靠近 0 的过程：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0a55beabb9f671a38a27f_b.jpg& data-rawwidth=&840& data-rawheight=&757& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&840& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c0a55beabb9f671a38a27f_r.jpg&&&/figure&&p&我们发现这个积分过后的函数越来越“跳”了——跑得越来越往上去了，但是其图像则是趋向稳定；如果我们从负数一则开始靠近，我们得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0b673cb7b396ead648162_b.jpg& data-rawwidth=&949& data-rawheight=&733& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&949& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0b673cb7b396ead648162_r.jpg&&&/figure&&p&这次则是一个不断“堕落”的过程了——跑得越来越往下来了，但是其图像同样趋向稳定。&/p&&p&既然这个函数图像往两个方向逃跑，但得到的却是某个稳定的图像，我们如何让它“乖乖站好”呢？现在咱们把 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_0%5Ex+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D%7D%7Bn%2B1%7D& alt=&\int_0^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}& eeimg=&1&& 积分下界的 0 修改成 1，变成 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint_1%5Ex+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx%3D%5Cfrac%7Bx%5E%7Bn%2B1%7D-1%7D%7Bn%2B1%7D& alt=&\int_1^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}-1}{n+1}& eeimg=&1&& 后，我们仍然将 n+1 换元为 t，得到图像：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f9f10c62_b.jpg& data-rawwidth=&915& data-rawheight=&615& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&915& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-1f9f10c62_r.jpg&&&/figure&&p&不难发现我们要的不就是那个神秘的 t=0 的结果，当然我在这里只能给 0 打引号，毕竟无法直接推测出来，而要靠极限来求：&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Clim_%7Bt%5Crightarrow0%7D%5Cfrac%7Bx%5Et-1%7Dt%3D%5Cln+x& alt=&\lim_{t\rightarrow0}\frac{x^t-1}t=\ln x& eeimg=&1&&&/p&&p&好了，我们对于普通的幂函数的积分 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cint+x%5En%5C+%7B%5Crm+d%7Dx& alt=&\int x^n\ {\rm d}x& eeimg=&1&&，终于冲破了 n=-1 时的禁区，只是我们要换个角度看函数图像，不是经过原点 (0,0)，而是经过 (1,0) 来研究。&/p&&p&【下面的几何题与上文无关。】&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f7cd2d353e41ae03d36b82db2fb89613_b.jpg& data-rawwidth=&1137& data-rawheight=&636& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1137& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f7cd2d353e41ae03d36b82db2fb89613_r.jpg&&&/figure&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D1%2Bm%5E2%3Dx%5E2%5C%5C%5Cfrac%7Bm%5E2%2Bn%5E2-1%7D%7B2mn%7D%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt3%7D2%5C%5C%5Cfrac%7B1%2Bn%5E2-%5Cleft%281%2Bx%5Cright%29%5E2%7D%7B2n%7D%3D-%5Cfrac12%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.& alt=&\left\{\begin{matrix}1+m^2=x^2\\\frac{m^2+n^2-1}{2mn}=\frac{\sqrt3}2\\\frac{1+n^2-\left(1+x\right)^2}{2n}=-\frac12\end{matrix}\right.& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7Dm%5E2-%5Csqrt3mn%2Bn%5E2-1%3D0%5C%5Cn%5E2%2Bn-1-2%5Csqrt%7B1%2Bm%5E2%7D-m%5E2%3D0%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.& alt=&\left\{\begin{matrix}m^2-\sqrt3mn+n^2-1=0\\n^2+n-1-2\sqrt{1+m^2}-m^2=0\end{matrix}\right.& eeimg=&1&&&/p&
普通的幂函数 f(x)=x^n，原则上一积分，便是 \int x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C；变成定积分的话（假设下界为 0），则为 \int_0^x x^n\ {\rm d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}。然而让我着迷的地方，则是 n 在不断靠近 -1 时的过程，其中为了方便讲解，我们…
&p&卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。&b&&i&为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解&/i&&/b&，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单粗暴的基础知识。&/p&&hr&&p&&b&&i&补一些自己的想法：&/i&&/b&&/p&&p&前几天看到这个问题：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question/& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-50c1b7f7d089abc34a573b5_180x120.jpg& data-image-width=&1037& data-image-height=&645& class=&internal&&辛苦科普八百年，一夜回到解放前是一种怎样的体验？&/a&&p&于是我就在想，地球科学这些人至少还有一段时间处于解放后，像相对论量子力学这一块却一直还在打第一次国共内战。都是搞科普的为啥差距那么大？仔细想想，地球科学、生物科学等学科科普时囿于学科特性，大多数是以图片加例子的形式给大家说的，其实就相当于给小朋友们看一下静电让毛发竖起来这样的实验。小朋友们对静电自然很兴奋，也能叽叽喳喳和你聊上几句，让人有了解放区的天是朗朗的天的错觉。要是碰到什么防电场辐射这种稍微复杂的问题，他们就又搞不懂了。上面问题中的所谓地球的真正形状就相对于一个稍微复杂的问题。&/p&&p&&br&&/p&&p&这时就有人说了，人家霍金写的《时间简史》通俗易懂，堪称科普界楷模，你们还要学习一个。但忽视了《时间简史》是1988年出版的，那时候黑洞、大爆炸等等一系列东西对民众来说还是新东西。这些东西的科普风格贴近博物学在那时是没有问题的，大家伙就好像第一次看天堂鸟一样，新奇激动。但时代不同了，现在看过《时间简史》不出来装的比出来装的还多了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_b.jpg& data-rawwidth=&940& data-rawheight=&726& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-3dbfdea99a061_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&940& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd546a82fa10ccdcec204ee_r.jpg&&&figcaption&天堂鸟&/figcaption&&/figure&&p&我和民科打了许久的交道，每次都发现因为大多数围观群众只知其然不知其所以然，导致在与民科的斗争中，持同情态度的路人无法积极参与进来。后来我明白了：“画图救不了中国人！”好多人就说了，这些数学的东西，内行人用看，外行人看不懂。实际上忽略了一个问题就是广义相对论这种东西的数学推导好多人即使学过高等数学等知识，这一辈子都没见过。但广相科普的重头戏，时空弯曲、水星近日点进动、黑洞等，其实需要的数学知识也就这么多。所以尽可能把推论逻辑化，而不是简单粗暴地甩结论是很有必要的，这样的科普才能知识水平越来越高。实际上，我认为只给做名词党做科普是没有意义的。&/p&&p&当然正如康德所说：&/p&&blockquote&有些书，如果它并不想说得如此明晰的话，它就会更加明晰得多。这是因为明晰性的辅助手段在部分中有效，但在整体中往往分散了，这样它们就不能足够快地让读者达到对整体的综观，倒是用它们所有那些明亮的色彩贴在体系的结合部或骨架上，使它们面目全非了，而为了能对这个体系的统一性和杰出之处下判断，最关键的却是这种骨架。&br&——康德《纯粹理性批判》第一版序&/blockquote&&p&所以如果可能的话，我会把这篇文章写成知乎上目前最简单的广义相对论入门。&/p&&hr&&p&首先，题主问道：“如何弯曲？”就得首先回答一个问题：“怎样的东西才能说是直的？”如何判断一条线或是一个平面是直的，在数学和物理上有不同的操作。我们首先来说数学上的。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&（提示：请注意下文当中“直的”与“平直的”两词不同场合的用法）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&数学：&/i&&/b&&/p&&p&什么是直的？你总不可能随手画一条线，然后告诉大家：“所有偏离我画的这条线的都是不直的！”凭什么你来制定直曲的标准，要让大家伙都认，所以需要借助公理来研究直曲。欧几里德有一条公理说到：&b&&i&两点之间直线段最短&/i&&/b&。这其实就给出了一个直线的判断标准，即就是在线上找两个不同的点，判断是否能找到一条线比原有线的长度更短。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么此刻问题来了，什么是长度？或者什么是距离？你不能用一根尺子量完之后告诉我距离是多少，因为按照逻辑，我们得先证明你的尺子是直的。而定义直又要用到距离这个概念，从而循环定义，这样是行不通的。所以假设我们现在一无所有，即没有尺子，也没有激光测距仪等物理手段，也没有像曲直、坐标系等数学概念，更没有几千年的生产劳动经验。我们手头目前只有一堆要研究的点和不会自相矛盾的逻辑。为了研究这堆点，我们需要人为手动去定义距离。&/p&&p&&br&&/p&&p&不过需要一个前提，就是我们如何把待研究空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 里的所有点表示出来？这时我们先引入坐标系这一工具了，坐标系的作用就是唯一确定地把我们要研究的点表示出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样的话，我们构造一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&&，使得在我们待研究的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 中任取两个点 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 、 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 都有一个唯一的函数值 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29& alt=&d(a,b)& eeimg=&1&& 具有：&/p&&p& 1)非负性、同一性：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cgeq0& alt=&d(a,b)\geq0& eeimg=&1&& ，且 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D0& alt=&d(a,b)=0& eeimg=&1&& 当且仅当 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%3Db& alt=&a=b& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 2)对称性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3Dd%28b%2Ca%29& alt=&d(a,b)=d(b,a)& eeimg=&1&& ；&/p&&p& 3)直递性： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%5Cleq+d%28a%2Cc%29%2Bd%28c%2Cb%29& alt=&d(a,b)\leq d(a,c)+d(c,b)& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这样的一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 称之为定义在空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& 上的距离。（&b&&i&第一条大于零的条件可以去掉，这样的距离叫做“伪距离”，实际上我们的四维时空上定义的距离就是一个伪距离。&/i&&/b&）&/p&&p&&br&&/p&&p&好了，有这样性质的函数千千万万个，其具体形式也依赖于坐标的具体形式。那么对于一个已经定义了距离&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d& alt=&d& eeimg=&1&& 的空间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&& ，任意两点的距离是否依赖于坐标系的取法呢？显然是不依赖的，因为我们对距离的定义并没有牵扯到坐标的具体形式。&/p&&p&&br&&/p&&p&这个结论是十分重要的，我再次写一遍：&b&&i&距离不依赖于坐标系的具体取法。事实上这种不依赖于坐标系取法的量叫做标量。在相对论里有：一切可以测量的量都是标量。（对应与物理实在不因观察者不同而不同）&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&当然以上的定义还是太抽象，让人不舒服。为了让大家舒服一点，我们先在欧几里德空间上研究问题。欧几里德空间的距离定义是基于毕达哥拉斯（勾股）定理。即：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d%28a%2Cb%29%3D%5Csqrt%7B%5Csum_%7Bi%3D1%7D%5E%7Bn%7D%28a_i-b_i%29%5E2%7D& alt=&d(a,b)=\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(a_i-b_i)^2}& eeimg=&1&&&/p&&p&这样的空间里有一堆我们熟悉的几何定理，比如说三角形的内角和是180°。&b&&i&这种距离定义的空间也就是题主问题当中相对于弯曲的基准：平直&/i&&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间当中我们可以建立各种各样的坐标系，常见的有直角坐标系、柱坐标系、球坐标系、双曲坐标系等。在研究不同的问题时这些坐标系各有便利，但结论是一样的。比如说用直角坐标系去计算球面两点的大圆弧长，最后结果是一样的，其中的道理就是距离不依赖于坐标系。同理，用直角坐标系去求解球对称的拉普拉斯方程，其结果也是一样的。&/p&&p&&br&&/p&&p&好了扯了这多内容这时就能引入度规这一概念了。假设我们的两个点靠的很近，我们可以把其写成微分形式。为了能简单明了说明问题，我们只写三维情况下：&/p&&p& 直角坐标系：&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddx%C2%B2%EF%BC%8Bdy%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2+& alt=&ds?=dx?＋dy?＋dz? & eeimg=&1&&&/p&&p&柱坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Bdz%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋dz?& eeimg=&1&&&/p&&p&球坐标系： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3Ddr%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2d%CF%86%C2%B2%EF%BC%8Br%C2%B2sin%CF%86%C2%B2d%CE%B8%C2%B2& alt=&ds?=dr?＋r?dφ?＋r?sinφ?dθ?& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&以上东西在黎曼之前就被各大数学家们研究出来了，其中还包括一些奇奇怪怪的坐标系，由此还发展了一门学科叫测地学。因为那会大家都知道地球是个椭球体，在地球上测量距离不就是在椭球面上测量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&这时候黎曼就出来：“诸位请慢！首先我们是搞数学的，不是搞地球科学的（当时肯定是没有这一说法的）。我们数学家看到一群点能够自然地把它们看作是球面上的吗？当然不行，依我看，&b&&i&假设没有告诉你上面的距离是咋样的，我们就不能研究几何学！&/i&&/b&所以，大家伙请我来做这个教授，我没有写论文，就这么一篇稿子……”&/p&&p&&br&&/p&&p&总之，黎曼在其就职演说《关于几何学的基本假设之中》提出我们求曲线长度时，要先定义好在某一点切向量的距离，然后把这条线经过的点所有的切向量距离积个分。而不是像以前那样我们假设有理想的直线段，做内切折线，取折线的上限作为距离。从我们上文的描述中可以看到，黎曼不知道比以前的定义高到哪里去了，因为我们前面说了，为了直线，你要说距离，而后一种定义弧长又要引入特殊的曲线——直线。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d7eddfa758a957b4f0a27_b.jpg& data-rawwidth=&340& data-rawheight=&176& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f85c43b7fb4_b.jpg& class=&content_image& width=&340&&&figcaption&以前大家用内接折线极限求弧长&/figcaption&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_b.jpg& data-rawwidth=&497& data-rawheight=&409& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cd23f1c953ac69c97d94edd1fa54b5bf_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&497& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-73b55889bfd16e337f53_r.jpg&&&figcaption&黎曼所描述的将切向量积分求弧长，需要提前给出在某一点的切量长度，即定义好距离&/figcaption&&/figure&&p&因而黎曼就提出，一个空间其上必须制定距离，或者叫度规，我们才有办法研究几何。因为对于距离的测量是几何学的中心和基础。不给距离就没有角度、平行、相交等一系列概念。所以黎曼就推广了上面距离微元的写法，他认为：只要在空间各点附近指定这样的关系：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7Bij%7Ddx%5Ei%5Cotimes+dx%5Ej& alt=&ds^2=g_{ij}dx^i\otimes dx^j& eeimg=&1&&&b&&i&（指标相同表求和）&/i&&/b&&/p&&p&（ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5Ei& alt=&x^i& eeimg=&1&& 是坐标）都能叫距离，只要其满足我们前面说的三条性质。 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&& 则称为给定点处的度规张量。&/p&&p&&br&&/p&&p&突然间我们这里出现了一个新名词：张量。为了不影响下文理解，再来介绍一下这位新朋友。前面我们提到过标量这个名词：&i&&b&不依赖于坐标系取法的量叫做标量。即：&/b&&/i&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvarphi%27%3D%5Cvarphi& alt=&\varphi'=\varphi& eeimg=&1&& 。距离微元就是这样的量。那么肯定有随着坐标变化的量。&/p&&p&把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27%5Ei%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7DA%5Ej& alt=&A'^i=\frac{\partial x'^i}{\partial x^j}A^j& eeimg=&1&& 或 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%27_i%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7DA_j& alt=&A'_i=\frac{\partial x^j}{\partial x'^i}A_j& eeimg=&1&& 这样的称之为矢量或者一阶张量。前者称为逆变矢量后者称为协变矢量。逆与协二字相对于坐标变换。在广义相对论里是严格区别逆变张量和协变张量的，但在狭义相对论中是不区别的。（以上讨论中带撇的指新坐标系下的形式，不带撇是原坐标系下形式）&/p&&p&&br&&/p&&p&那么二阶张量，就是在前面再添一偏导项系数。度规张量&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7D& alt=&g_{ij}& eeimg=&1&&是一协变的二阶张量。&/p&&p&即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%27_%7Bij%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5Ek%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ei%7D%5Cfrac%7B%5Cpartial+x%5El%7D%7B%5Cpartial+x%27%5Ej%7Dg_%7Bkl%7D& alt=&g'_{ij}=\frac{\partial x^k}{\partial x'^i}\frac{\partial x^l}{\partial x'^j}g_{kl}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&诸位细心点就能发现上面这些式子的上下标等式左右是一致的，重复的上下标会在等式左边消失（即缩并）&/i&&/b&。这其实相当于线性代数里的矩阵乘法，只是张量可能涉及到三阶以上。对应到矩阵的逆，张量也有逆。比如说一个很重要的逆——度规张量的逆： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7Bij%7Dg%5E%7Bjk%7D%3D%5Cdelta_i%5Ek& alt=&g_{ij}g^{jk}=\delta_i^k& eeimg=&1&& （ &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta%5Ek_i& alt=&\delta^k_i& eeimg=&1&& 只有在i 、k相等时才为一，其余均为零）中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bjk%7D& alt=&g^{jk}& eeimg=&1&& 是一逆变二阶张量。度规张量的重要性不仅体现在其定义了距离，而且有了它我们就可以进行逆变和协变张量之间的互换，以矢量举例子如下：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=A%5Ei%3Dg%5E%7Bik%7DA_k+%EF%BC%8C+A_i%3Dg_%7Bik%7DA%5Ek& alt=&A^i=g^{ik}A_k ， A_i=g_{ik}A^k& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&从以上可以看出，张量或矢量是严重依赖于具体点的，在某一点是矢量的量在下一个点就可能不是矢量了。这在我们研究导数等概念时是致命的，我们知道，求一个矢量导数时我们要把其x处的值和x+dx处的值相减。这样就需要把x处的矢量搬到x+dx处，但问题来了，搬到x+dx处的矢量还是矢量吗？&/p&&p&&br&&/p&&p&在欧几里德空间中不存在这样的问题，因为空间是平的，但黎曼几何中就不一样了。为了保证搬走之后依旧是一矢量且与原矢量平行，列维西维塔提出平行移动的概念，也就是：平移过程中，向量与这两点最短线（测地线）的夹角始终保持不变。此刻非欧几何和欧氏几何的差距就出现了。&b&&i&在欧氏几何当中经历一个闭合回路的平行移动之后，矢量与原矢量重合。而非欧几何中，就会有和原矢量的一个偏移。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_b.jpg& data-rawwidth=&997& data-rawheight=&378& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-851a0bd3bfbf7c9da320c06_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&997& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-9a0ea585aa18dbb2e2d234e_r.jpg&&&figcaption&平直空间的平行移动和弯曲空间的平行移动，弯曲空间平行移动一个闭合路径后会发生一个偏转&/figcaption&&/figure&&p&即x处矢量平移至x+dx处时要附加一和dx以及原矢量A成正比的小量：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=d_p+A%5Ei%3D-%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA%5Ejdx%5Ek%EF%BC%8Cd_p+A_j%3D%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7DA_idx%5Ek& alt=&d_p A^i=-\Gamma^i_{jk}A^jdx^k，d_p A_j=\Gamma^i_{jk}A_idx^k& eeimg=&1&&&/p&&p&其中，&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}& eeimg=&1&& 并非一三阶混合张量，而只是一系数称为联络系数。附加了此量之后x处的矢量才能在x+dx处也是矢量。&/p&&p&&br&&/p&&p&20世纪70年代斯坦福大学曾提出一个设想，在人造卫星放一超导陀螺，卫星轨道过地球极轴，陀螺自转轴在轨道面内，则因为地球引力场的空间弯曲，陀螺会有7″进动。&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//baike.baidu.com/item/%25E5%25BC%%258A%259B%25E6%258E%25A2%25E6%25B5%258B%25E5%B/Ffr%3Daladdin& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&引力探测器B_百度百科&/a&&p&这其中的道理就是陀螺自转轴可以看成是一个矢量，其经过闭合回路不断回到原点，不断产生偏转(进动)。这个实验当然是广义相对论正确性的一次验证。&/p&&p&&br&&/p&&p&话说回来，这个绕一圈回来之后的偏移量究竟是多少？我们就得再介绍一个张量称之为挠率张量。挠率张量是联络系数的反对称部分，即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CGamma%5Ei_%7Bjk%7D-%5CGamma%5Ei_%7Bkj%7D& alt=&\Gamma^i_{jk}-\Gamma^i_{kj}& eeimg=&1&& 。&b&&i&挠率的存在会破坏我们之前很重要的一个法则：平行四边形法则。&/i&&/b&平行四边形法则是：两矢量的和等于以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。&b&&i&但有了挠率的存在，两对互相平行的矢量无法构成一个闭合回路。而相差了一个缺口，这个缺口的大小和挠率成正比。&/i&&/b&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_b.jpg& data-rawwidth=&429& data-rawheight=&340& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eee5d92ef9e5e8ddb97166cbfd605656_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&429& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-87daa0b3b638cbfbf713faf7d48c1283_r.jpg&&&figcaption&挠率的存在，使得平行四边形法则失效&/figcaption&&/figure&&p&上面结论证明起来是简单的，只需要将 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 沿 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 平移和 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cdelta+x& alt=&\delta x& eeimg=&1&& 沿&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta+x& alt=&\Delta x& eeimg=&1&& 平移，二者的差就是该处缺口的值。&/p&&p&&br&&/p&&p&有挠的空间称之为“扭曲”的，有趣的是，爱因斯坦的引力理论是无挠的，迄今为止所有建立有挠的引力理论都失败了。这一点也是和非欧几何不同的。&/p&&p&&br&&/p&&p&数学家已经证明：在空间无挠的情况下，可以导出一对称度规，反之通过一对称度规可以诱导出一联络。也就是指定度规和指定联络是相互依存的。&/p&&p&&br&&/p&&p&假设空间无挠，那么沿一无穷小矩形一圈，偏移量应该与此矩形的两边Δx和δx以及矢量A成比，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CDelta_p+A%5Ei%3D-R%5Ei_%7Bjkl%7DA%5Ej%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El%EF%BC%8C%5CDelta_p+A_j%3DR%5Ei_%7Bjkl%7DA_i%5CDelta+x%5Ek%5Cdelta+x%5El& alt=&\Delta_p A^i=-R^i_{jkl}A^j\Delta x^k\delta x^l，\Delta_p A_j=R^i_{jkl}A_i\Delta x^k\delta x^l& eeimg=&1&&&/p&&p&这其中的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D& alt=&R^i_{jkl}& eeimg=&1&& 就是大名鼎鼎的黎曼曲率，有曲率的空间称之为完全的。黎曼曲率各关于前后两指标反对称，前后两对指标对称。即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ej_%7Bikl%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3D-R%5Ei_%7Bjlk%7D%2CR%5Ei_%7Bjkl%7D%3DR%5Ek_%7Blij%7D& alt=&R^i_{jkl}=-R^j_{ikl},R^i_{jkl}=-R^i_{jlk},R^i_{jkl}=R^k_{lij}& eeimg=&1&&&/p&&p&因为这种对称性，曲率张量的二阶缩并只有一个独立的，即后文我们要提到的里奇张量。&/p&&p&可以由联络系数通过我们前面证明挠率的类似步骤导出来。&/p&&p&&br&&/p&&p&总而言之：&b&&i&联络、挠率和曲率三者的数学意义如上，它们描绘了一个空间是如何偏离于数学上的平直空间（欧几里得空间）。&/i&&/b&更为具体的细节不多做补充，在下面物理部分需要时将会提到。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&物理：&/i&&/b&&/p&&p&1905年，爱因斯坦发现狭义相对论的消息传到了他的大学数学老师闵科夫斯基耳中。闵科夫斯基心中骂道：“懒鬼、笨蛋，这不就是四维伪欧式空间中的度量问题吗？还用洋洋洒洒写三十多页？”于是闵科夫斯基花了一个晚上把爱因斯坦的狭义相对论几何化了。不幸的是闵科夫斯基不久得了阑尾炎，离开了人间。有人就说，否则广义相对论可能会早点。当然广义相对论中那个天才般的等效性原理，没有敏锐的物理直觉很难发现。我们接下来要说的就是相对论的几何化。&/p&&p&&br&&/p&&p&我们前面说了，给定一系列点之后，还需要给定距离的定义即度规方可开始研究几何学。那么对应到物理学中究竟是怎样的？&b&&i&点就相当于事件是一个四维坐标描述的点，而距离由光给出，即连接两点的类光矢量的模是零。而我们可以测量的一切物理量都是标量。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&那么就会有人问了，你不是说能测得的一切物理量都是标量，标量又不随坐标系不同变化，那么我测得长度你为啥说会尺缩呢？那是因为你测得的长度是应该四维矢量在空间轴上的投影，这肯定是个标量可以测量。而不同参考系，空间轴是不一样的，故而投影是不一样的，所以就有了尺缩，钟慢同理。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么回到我们的问题：时间和空间如何弯曲。先来回答：什么是物理上的直。牛顿惯性定律给出了物理上的直：物体在不受力时做匀速直线运动。那么引申到相对论里就是：物体在不受力时，在四维空间沿测地线运动。&/p&&p&四维空间的测地线如下给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bds%7D%28g_%7Bij%7D%5Cdot%7Bx%7D%5Ei%29%3D1%2F2+%5Cfrac%7B%5Cpartial+g_%7Bik%7D%7D%7B%5Cpartial+x%5Ej%7D%5Cdot+x%5Ei+%5Cdot+x%5Ek& alt=&\frac{d}{ds}(g_{ij}\dot{x}^i)=1/2 \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\dot x^i \dot x^k& eeimg=&1&&&/p&&p&可见其紧密和空间度规有关，四维空间的测地线就是物理意义上的直。而物理意义上的平直，也就是对应的欧氏空间或者题主所言的基准就是闵科夫斯基空间，其度规如下给出：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D1%2Cg_%7B11%7D%3Dg_%7B22%7D%3Dg_%7B33%7D%3D-1& alt=&g_{00}=1,g_{11}=g_{22}=g_{33}=-1& eeimg=&1&& 其余皆为零。&/p&&p&即 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dc%5E2dt%5E2-dx%5E2-dy%5E2-dz%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bdr%5E2%7D%7Bc%5E2dt%5E2%7D%29dt%5E2%3Dc%5E2%281-%5Cfrac%7Bv%5E2%7D%7Bc%5E2%7D%29dt%5E2& alt=&ds^2=c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2=c^2(1-\frac{dr^2}{c^2dt^2})dt^2=c^2(1-\frac{v^2}{c^2})dt^2& eeimg=&1&&&/p&&p&&br&&/p&&p&为了更好地阐述问题，接下来我们以最小作用量原理在平直时空来简单看一看把时空几何化之后，究竟有什么便利。&/p&&p&&br&&/p&&p&首先，最小作用量原理指的是：&b&&i&对于每一个力学系统而言，总有一个叫作用量的积分S存在，这个积分对实际运动路径取最小值，因此其变分δS为零。&/i&&/b&很明显S是一个标量函数，因为其与参考系选择无关，对于一个自由的粒子，空间各项同性的体系，我们只能构造出如下的作用量： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds& eeimg=&1&& ，α是以个正常数，负号是为了能取到最小值，a、b是时空中两个事件的坐标。&/p&&p&则写成我们熟悉的拉格朗日量形式： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%3D-%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D%5Calpha+ds%3D-%5Calpha+c%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7D%5Csqrt%7B1-v%5E2%2Fc%5E2%7Ddt%3D%5Cint_%7Bt_1%7D%5E%7Bt_2%7DLdt& alt=&S=-\int_{a}^{b}\alpha ds=-\alpha c\int_{t_1}^{t_2}\sqrt{1-v^2/c^2}dt=\int_{t_1}^{t_2}Ldt& eeimg=&1&&&/p&&p&有了自由粒子的拉格朗日量后，利用理论力学知识就能很方便建立狭义相对论力学。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么空间和时间弯曲的规律是什么？由以上最小作用量原理，也是最小作用量是一标量，但因为有弯曲的存在，形式上就比较复杂，可以推出爱因斯坦场方程：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR-%5CLambda+g_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R-\Lambda g_{\mu\nu}=-\kappa T_{\mu\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&其中 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是黎曼张量的缩并的唯一独立张量，称为里奇张量，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR%5E%5Clambda_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}=R^\lambda_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&&&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5CLambda& alt=&\Lambda& eeimg=&1&& 为大名鼎鼎的宇宙常数（其为不为零尚在争议）， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&T_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 是能量动量四矢描述了物质分布,其写成矩阵形式是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f8b69ddc62dbd6cf0a3ff2b_b.jpg& data-rawwidth=&388& data-rawheight=&226& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-fbc39997e_b.jpg& class=&content_image& width=&388&&&figcaption&能量动量四矢，其中包含了能量、能流、动量流、三维空间应力，体现了方程中的物质项&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&式子的前两项&/i&&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3DR_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DR& alt=&G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}R& eeimg=&1&&&b&&i&称为爱因斯坦张量，这个张量是唯一一个满足协变微分守恒的张量。有趣的事情是所有二维空间的爱因斯坦张量都是零，这就使得二维空间里没有爱因斯坦引力理论（这也是为何我反感将时空弯曲比作两只在曲面上爬行的蚂蚁或者是弹簧床，因为这些比喻让人最直观感受到的是二维弯曲空间，它们的时间轴藏在字眼里，而只给人留下空间弯曲的印象。时间弯曲是极为重要的）。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&我们再来看一次爱因斯坦场方程，为了说明问题，这次我们观察不带宇宙项的方程，并将其改写成下面形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D-%5Ckappa%28+T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D-%5Cfrac%7B1%7D2g_%7B%5Cmu%5Cnu%7DT%29& alt=&R_{\mu\nu}=-\kappa( T_{\mu\nu}-\frac{1}2g_{\mu\nu}T)& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&&i&在真空当中， &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&T_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& ,所以 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D%3D0& alt=&R_{\mu\nu}=0& eeimg=&1&& .但我们之前说过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R_%7B%5Cmu%5Cnu%7D& alt=&R_{\mu\nu}& eeimg=&1&& 只是黎曼曲率 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}& eeimg=&1&& 的缩并，只有 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%5E%5Ctau_%7B%5Cmu%5Clambda%5Cnu%7D%3D0& alt=&R^\tau_{\mu\lambda\nu}=0& eeimg=&1&& 时才能说时空是平直的，颜外之意就是说：在真空中时空也可能是弯曲的。&/i&&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&另外只有场方程是无法直接求解出度规、曲率、联络等，因为度规一共有10个独立分量（二阶对称四维张量），但场方程由于爱因斯坦张量的协变微分守恒性质，一下子少了4个独立方程，只有6个。所以需要给选择的坐标系加上一些条件才能真正求解。&/p&&p&&br&&/p&&p&有了以上，我们就可以求解度规、曲率、联络等原则上研究时空的弯曲。以几何的手段研究引力。&/p&&p&&br&&/p&&p&当然场方程的求解是困难的，因为物质分布会影响空间弯曲，空间弯曲又会影响物质分布。至今求得的几个解都是比较简单情形，其中最著名的就是引力波和黑洞等高大上名词。关于黑洞的解请参见：&/p&&a data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& href=&https://www.zhihu.com/question//answer/& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-5f2fc394cf9a_ipico.jpg& data-image-width=&628& data-image-height=&529& class=&internal&&黑洞吸入的东西去哪儿了，是否能够塞满一个黑洞？&/a&&p&引力波解不再赘述。&/p&&p&&br&&/p&&p&为了进一步阐述时空弯曲的特性，我将纽曼克尔黑洞的线元贴上，并辅以说明。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%C2%B2%3D%281-%5Cfrac%7B2mr-Q%5E2%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%29dt%C2%B2%EF%BC%8D%5Cfrac%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2-2mr%2BQ%5E2%7Ddr%5E2%EF%BC%8D%28r%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%29d%5Ctheta%C2%B2-%5B%28r%5E2%2Ba%5E2%29sin%5E2%5Ctheta%2B%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29a%5E2sin%5E4%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7D+%5Dd%5Cvarphi%27%C2%B2%2B2%5Cfrac%7B%282mr-Q%5E2%29asin%5E2%5Ctheta%7D%7Br%5E2%2Ba%5E2cos%5E2%5Ctheta%7Ddtd%5Cphi%27& alt=&ds?=(1-\frac{2mr-Q^2}{r^2+a^2cos^2\theta})dt?－\frac{r^2+a^2cos^2\theta}{r^2+a^2-2mr+Q^2}dr^2－(r^2+a^2cos^2\theta)d\theta?-[(r^2+a^2)sin^2\theta+\frac{(2mr-Q^2)a^2sin^4\theta}{r^2+a^2cos^2\theta} ]d\varphi'?+2\frac{(2mr-Q^2)asin^2\theta}{r^2+a^2cos^2\theta}dtd\phi'& eeimg=&1&&&/p&&p&这是一个带电荷Q、有角动量a的质量为m的粒子在无穷远处的度规。&/p&&p&其图如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_b.jpg& data-rawwidth=&557& data-rawheight=&371& data-size=&normal& data-default-watermark-src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d9d655fdeea5f6dcdf7681d_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&557& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cbfe9634df7ffd494c2d01c25a284adc_r.jpg&&&figcaption&纽曼克尔黑洞的抛面图&/figcaption&&/figure&&p&首先，重要的一组面是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3D0& alt=&g_{00}=0& eeimg=&1&& 的面，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2cos%5E2%5Ctheta-Q%5E2%7D& alt=&r^s_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2cos^2\theta-Q^2}& eeimg=&1&& ，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_%2B& alt=&r^s_+& eeimg=&1&& 这个面以内 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g_%7B00%7D%3C0& alt=&g_{00}&0& eeimg=&1&& ,假设粒子静止，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=ds%5E2%3Dg_%7B00%7Dc%5E2dt%5E2%3C0& alt=&ds^2=g_{00}c^2dt^2&0& eeimg=&1&& ，即粒子沿类空测地线运动，这是不可能的。所以这个面以内粒子无法静止，好像是被旋转天体拖着在一起旋转，这面因而称为静界。另一组面是法向量是类光矢量的面，直接给出： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm%3Dm%5Cpm%5Csqrt%7Bm%5E2-a%5E2-Q%5E2%7D& alt=&r^h_\pm=m\pm\sqrt{m^2-a^2-Q^2}& eeimg=&1&& 。在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_%5Cpm& alt=&r^h_\pm& eeimg=&1&&之间，时空坐标需要交换，也就是朝内称为在此区域内粒子的未来。当粒子通过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Eh_-& alt=&r^h_-& eeimg=&1&&后，继续受到中心天体拖曳，直到其有可能穿过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=r%5Es_-& alt=&r^s_-& eeimg=&1&& 进入中心正常的空间。这就是一个典型的由于物质存在，使得周围时空性质发生极大改变的例子。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&&i&总而言之，四维时空按场方程形式弯曲（不过场方程里只出现了里奇张量并不能唯一决定曲率张量）。而对于在其中运动的物质，只要不受力轨迹都是直的。只不过在三维空间投影弯了。而至于题主想问的看不见摸不着的时空怎么能观测到弯曲，已经由前面叙述的引力探测器B回答了。事实上，这样的实验很多，包括水星近日点进动、恒星光线偏折等都是因为时空弯曲造成的。&/i&&/b&正是因为非欧几何和欧氏几何许多的不同，让我们可以用物理手段观测到时空的弯曲。&/p&&p&&br&&/p&&p&PS.一切试图去想象四维以上空间具体形貌的尝试我都是不赞赏的，因为只能窥豹一斑，只有通过数学去理解高维空间，才能正真获得东西。&/p&
卸腰，一个好问题，但却不是一个容易一两句话说清楚的问题。为了避免众多科普图片给人产生的“弹簧床”式的误解，我打算从数学角度慢慢说起，所以文章会比较长，我一次更不完。以及阅读需要大量的耐心，不仅是在后面相对复杂的公式和图片，也在前面比较简单…
栗子：代数基本定理&br&&br&分析派&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d046f6adcc00ae7acf998dd6_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d046f6adcc00ae7acf998dd6_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a1c010a919caa_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a1c010a919caa_r.jpg&&&/figure&&figure&&img data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&791& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fad8a5c3e160fcc1b6e8b0_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-fad8a5c3e160fcc1b6e8b0_r.jpg&&&/figure&&br&&br&几何派&br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1127& src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-05f92b8c87a6a63d7438_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-05f92b8c87a6a63d7438_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1044& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3c86c0cf7ff6b898d99ea1ebc916af62_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3c86c0cf7ff6b898d99ea1ebc916af62_r.jpg&&&/figure&代数派&br&&br&&a data-hash=&6ab68ed1ef7c& href=&//www.zhihu.com/people/6ab68ed1ef7c& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$6ab68ed1ef7c&&@唐珑珂&/a& &br&&br&&figure&&img data-rawwidth=&800& data-rawheight=&940& src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-aa2f2276bce7771b6abc19a7_b.jpg& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-aa2f2276bce7771b6abc19a7_r.jpg&&&/figure&
栗子：代数基本定理 分析派 几何派 代数派
&p&如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明（比较繁琐）。[1][2]&br&用现代方法的证明思路是：&br&&/p&&ol&&li&若一个多项式方程&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3D0& alt=&f(x)=0& eeimg=&1&&可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3D%5Cfrac%7BG%7D%7BF%7D& alt=&y=\frac{G}{F}& eeimg=&1&&使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28y%29%3D0& alt=&f(y)=0& eeimg=&1&&，这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G%2CF& alt=&G,F& eeimg=&1&&可以写成形式&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Csum+a_i%5E%7B1%2Fm_i%7D& alt=&\sum a_i^{1/m_i}& eeimg=&1&&，这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_i& alt=&a_i& eeimg=&1&&也为代数函数。所以用归纳法可以证明存在域扩张&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BQ%7D%5Csubset+F_1%5Csubset+F_2%5Ccdots+%5Csubset+E& alt=&\mathcal{Q}\subset F_1\subset F_2\cdots \subset E& eeimg=&1&&，使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=F_%7Bi%2B1%7D%3DF_i%28%5Calpha_i%29%2C%5C+%5Calpha_i%5E%7Bp_i%7D%5Cin+F_i%2C%5C+E%3D%5Cmathcal%7BQ%7D%28y%29& alt=&F_{i+1}=F_i(\alpha_i),\ \alpha_i^{p_i}\in F_i,\ E=\mathcal{Q}(y)& eeimg=&1&&，这里&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathcal%7BQ%7D%3D%5Cmathbb%7BQ%7D%28a_0%2Ca_1%2C%5Ccdots%2Ca_n%2C%5Czeta_n%29& alt=&\mathcal{Q}=\mathbb{Q}(a_0,a_1,\cdots,a_n,\zeta_n)& eeimg=&1&&。&/li&&li&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cmathrm%7BGal%7D%28F_%7Bi%2B1%7D%2FF_i%29%3D%5Clangle+p_i%5Crangle& alt=&\mathrm{Gal}(F_{i+1}/F_i)=\langle p_i\rangle& eeimg=&1&&，这是因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E%7Bp_i%7D-+%5Calpha_i%5E%7Bp_i%7D%5Cin+F_i& alt=&x^{p_i}- \alpha_i^{p_i}\in F_i& eeimg=&1&&的所有根由&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Czeta_%7Bp_i%7D%5Er%5Calpha_i%2C%5C+0%3Cr%3Cp_i& alt=&\zeta_{p_i}^r\alpha_i,\ 0&r&p_i& eeimg=&1&&给出。&/li&&li&由Galois基本定理存在&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=1%3DG_0%5Csubset+G_1%5Ccdots%5Csubset+%5Cmathrm%7BGal%7D%28E%2F%5Cmathcal%7BQ%7D%29& alt=&1=G_0\subset G_1\cdots\subset \mathrm{Gal}(E/\mathcal{Q})& eeimg=&1&&使得&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=G_%7Bi%2B1%7D%2FG_i%3D%5Clangle+p_i+%5Crangle& alt=&G_{i+1}/G_i=\langle p_i \rangle& eeimg=&1&&。&/li&&li&由于5阶及以上的一般n阶方程的Galois群可以取得S_n，但容易证明当n&=5时3中的合成群列不可能出现，所以没有根式解。&/li&&/ol&一个Galois群是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_5& alt=&S_5& eeimg=&1&&的例子是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%5E5-5x-2%3D0& alt=&x^5-5x-2=0& eeimg=&1&&，这是因为它的Galois群显然包含5阶循环群（Sylow）&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%281%2C2%2C3%2C4%2C5%29& alt=&(1,2,3,4,5)& eeimg=&1&&，另一方面其恰含有两个复根所以包含一个对换，用对称群的一个简单结论可以知道其为S_5。&br&&br&====&br&至于知道Galois群后如何求出方程的根，可以用如下方法：&br&&br&首先考察n阶循环扩张E/F其中F包含n次单位根，由Kummer定理可以知道E=F(a)，这里a^n∈F。由Noether方程可以知道a对应于Gal(E/F)的特征标群生成元。&br&&br&所以我们通过递归调用上述算法，即可得到任意可解Galois群的根式扩张。用这个方法也可以推出3,4次方程的根式解，这也是拉格朗日预解式得原始思想。&br&&br&====&br&至于知道多项式后如何求出它的Galois群，可以参考：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.uncg.edu/mat/numbertheory/summerschool/pdf/roberts-2013-galois-I.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&uncg.edu/mat/numbertheo&/span&&span class=&invisible&&ry/summerschool/pdf/roberts-2013-galois-I.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&&br&&b&事实上这些东西在现在的计算机代数系统比如&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx%3Fpath%3Dgalois& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Maple&/a&,Magama等都有实现。&/b&&br&&br&Reference&br&[1]. &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.amazon.com/dp//%3Ftag%3Dstackoverfl08-20& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability: Peter Pesic: 9: Amazon.com: Books&/a&&br&[2]. &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.math.caltech.edu/%7Ejimlb/abel.pdf& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&http://www.&/span&&span class=&visible&&math.caltech.edu/~jimlb&/span&&span class=&invisible&&/abel.pdf&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&br&[3]. 现代方法可以参考E.Artin 的 Galois Theory.
如果不用Galois理论可以直接看Abel的原始证明（比较繁琐）。[1][2] 用现代方法的证明思路是： 若一个多项式方程f(x)=0可以用根式解那么意味着存在关于其系数的代数函数y=\frac{G}{F}使得f(y)=0，这里G,F可以写成形式\sum a_i^{1/m_i}，这里a_i也为代数函数…
&p&&b&更新：中科院李文威老师关于Langlands纲领的一个数学讲座&/b&&/p&&p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.math.ac.cn/sp/xsbgsp/343.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&数学所讲座第62期----数学与系统科学研究院数学研究所&/a&&/p&&p&曾经有N个数学家试图向非数论相关方向的数学系学生科普朗兰兹纲领，均以失败告终。而介绍朗兰兹的工作离不开介绍朗兰兹纲领，所以从介绍角度看有等于无。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b9c146c8f5d59d628aa5f3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&867& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b9c146c8f5d59d628aa5f3_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&下面是朗兰兹自己写的文章，大家可以感受下朗兰兹的数学风格。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9a143aaa0685b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9a143aaa0685b_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-066cbdcfd13a8ba02f9e9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-066cbdcfd13a8ba02f9e9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b5e3b6dac229f9fc42008_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b5e3b6dac229f9fc42008_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ea49fa3b565ce8b3d451d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ea49fa3b565ce8b3d451d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6bd2f9e0bddf563e63edb1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6bd2f9e0bddf563e63edb1_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-f171bf44eba7ef598ff0e77ba9ba7a7e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-f171bf44eba7ef598ff0e77ba9ba7a7e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2bc8aadeaf236_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2bc8aadeaf236_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3e4242cec1ad40f51a2e31a1a1304dcf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-3e4242cec1ad40f51a2e31a1a1304dcf_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dffe9c3dd28b3b7c3f00e0d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-dffe9c3dd28b3b7c3f00e0d_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d2c6ab5d1e26ddb3d55e522_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d2c6ab5d1e26ddb3d55e522_r.jpg&&&/figure&&p&附：克罗内克的青春之梦&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e26b6f59f1effd53fa69fd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-e26b6f59f1effd53fa69fd_r.jpg&&&/figure&
更新：中科院李文威老师关于Langlands纲领的一个数学讲座曾经有N个数学家试图向非数论相关方向的数学系学生科普朗兰兹纲领，均以失败告终。而介绍朗兰兹的工作离不开介绍朗兰兹纲领，所以从介绍角度看有…
&p&讲两个复变函数定理中构造例子吧。&br&第一个：黎曼共形映射定理的证明中选择sqrt函数的构造思路&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3c03cf7a809a4a4f82ebd_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&819& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3c03cf7a809a4a4f82ebd_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-063ed50cdedbdc9f9f459b9d0922c6ec_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-063ed50cdedbdc9f9f459b9d0922c6ec_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eed53ae7043bdf22500d0febff1c6ee1_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-eed53ae7043bdf22500d0febff1c6ee1_r.jpg&&&/figure&&br&据称，正是因为黎曼反复思考共形映射，想象大量的圆盘覆叠在一起，然后抽象出了黎曼曲面。&br&&br&第二个：庞加莱讲自己如何构造单变量自守函数和自守形式。&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-5ffb97fb4a2c413f4c9b70_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&950& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-5ffb97fb4a2c413f4c9b70_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ce79e21deafe7_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ce79e21deafe7_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d78a10db057c45ace37d4ad_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d78a10db057c45ace37d4ad_r.jpg&&&/figure&&br&最近阿贝尔奖获得者朗兰兹，他的工作就与自守形式有&br&&br&建议：很多构造并不像你想象那样是天马行空，只不过很多数学家没有把想法写进教材里，全当脚手架拆除了，留下形式定理和证明。所以你得自己琢磨。&/p&
讲两个复变函数定理中构造例子吧。 第一个：黎曼共形映射定理的证明中选择sqrt函数的构造思路 据称，正是因为黎曼反复思考共形映射，想象大量的圆盘覆叠在一起，然后抽象出了黎曼曲面。 第二个：庞加莱讲自己如何构造单变量自守函数和自守形式。 最近阿贝尔…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c6b4ae0af38d33fa98055_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1080& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c6b4ae0af38d33fa98055_r.jpg&&&/figure&&p&本节的任务是介绍域扩张，有限扩张和代数扩张的概念.&/p&&p&&b&定义1
&/b&设 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%2CK& alt=&F,K& eeimg=&1&& 是域，则 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F%2CK& alt=&F,K& eeimg=&1&& 是环，从 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 到 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 的单的环同态 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%3A+F%5Crightarrow+K+& alt=&\sigma: F\rightarrow K & eeimg=&1&& 称作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的域扩张 (field extension). 若存在域扩张 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Csigma%3A+F%5Crightarrow+K& alt=&\sigma: F\rightarrow K& eeimg=&1&& ，称域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K& alt=&K& eeimg=&1&& 是域 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=F& alt=&F& eeimg=&1&& 的一个扩张，记作 &img src=&https://www.zhihu.com/equation?tex=K%2FF& alt=&K/F& eeimg=}
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