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抛10次硬币都是正面，那第11次还出正面的概率是多少？
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古生物学博士生，科学松鼠会成员
好吧我们来试试看能不能彻底说明白这个问题，但是首先我们来扶一个额
标准的回答是，当然还是二分之一。每次硬币是一个独立事件。硬币没有记忆，不会记得之前发生了什么事情。“什么！可是连续11次的概率是1/2048啊？”对，如果你站在第一次扔出来之前，那是这样。但现在已经扔了10次了。前10次扔出任何一个特定结果（比如全是正面）的概率，已经是1/1024了。接下来这一次是正面的概率还是正常的1/2，乘起来正好是1/2048。或者你可以这么想：前方是一片分岔的小路，一共分岔了11轮，通向2048种不同的可能性。一开始，你面前的所有可能性都真的是可能的。但是你经过第一个分岔，就有1024种对你关闭了；经过第二个，又有512种关闭了……等到你已经经过第10个的时候，面前只剩下最后一个分岔的两条路。那么这两条路，对于此刻的你而言，左的概率也是1/2，右的概率也是1/2。不然的话，假若左是1/2048，那右难道是？如果左右平等，右也是1/2048，那剩下的2046呢？它们都在你已经不可能抵达的那些岔路上，不能计入你眼前的概率了。“可是……连续11次正面是1/2048啊，多小的概率啊？”走上任何一条具体的道路，都是一样的。11次随便什么结果都是1/2048，你总得选一个。“可是，这是连续11次正面啊，不是‘随便什么结果’啊。”好吧，这就是症结所在：虽然任何特定结果都是等概率的，但是不同的结果有不同的模式。连续11次正面，这个模式在直觉上是不对劲的，而譬如说5正6反这个模式在直觉上没有问题。因为直觉的不对劲，让我们难以老老实实接受1/2这个结果。那就是直觉错了呗？也不一定——如果你是个贝叶斯主义者的话。——————————————回到一开头。以上全部计算都依赖于一个前提：这是一枚“标准硬币”，它没有记忆，正反概率都是1/2。等等，你是怎么知道的？哦，题干里写的。出题人说了是这样，那就是这样呗。在这个狭小的场景里，这就是一条先验知识。它是“先于经验”而存在的，你并非通过亲身经历而获知它是标准硬币，而是通过出题人（或者上帝或者先天知识或者纯推理或者别的什么奇怪的来源）获得的。如果你相信先验知识的话，那就照办吧。但是并没有人规定你一定要相信先验知识（虽然在做题的时候，不相信出题人的后果会很惨咯）。如果我不信呢？至少，我觉得我可以用我的观察去修正它呢？那我就是在用后验知识了。换句话说，贝叶斯。在这个案例里，我已经见到了连续10次正面。当然，一个标准硬币可以产出这样的结果，只不过概率是1/2048而已。但是，有另外一种可能的解释，那就是这个硬币作弊了。或者它的两面都是正面，或者它的正面那边比反面那边重很多。如果它是一枚作弊的、必定正面的硬币，那么它就会以1的概率出产连续10正，这可比标准硬币更有解释力啊！那么在这里我们可以说，这10次观察得到了一个后验知识——该硬币有偏向于正面的倾向性。这倾向性有多大？可以算但是很麻烦，这里暂且忽略。但无论如何，如果你是一个贝叶斯主义者，相信直觉，不愿意接受“标准硬币”那个先验知识，那么你应当得出的结论是：下一次硬币为正面的概率大于1/2.对，是大于。这才是直觉的正确用法。无论你是哪一派的，都不会得出小于1/2的结果。
这个问题的用词很关键1、连续11次都是正面的概率，那就是1/20482、之前10次都是正面，第11次是正面的概率，那就是1/2很明显两次要表达的意思是不一样滴.............
准备拿这个当面试题，回答删掉见谅。
那个博主是语文不好……非要和人强调“连续11次正面”=“第11次是正面”，还强调了一整天………………
每次不是1/2吗？“连续11次正面”和“第11次是正面”明显不同吧
口头野狐禅
坚信连开10次反面后开正面概率大于1/2的人，去趟澳门分分钟被教会做人~
连续10次正面，我就要怀疑这个硬币是否属于“正反各1/2概率”的那种了。单纯从概率的角度讲，可以反推出该硬币正反面概率的分布及其置信区间分布的。
所以说大部分时候国人吵架的根本原因是，语文太差
概率又不是预言术，明显这些事例中每次是一个单独事件，彼此之间并没有联系，就算你连续100次正面，下一次的反面几率依然是1/2,。
我不是数学家，也不是概率专家，但是我想说说我的理解。首先，我们学的概率的第一课，就说了，所有经典概率问题都有两个前提，一是独立概率，二是等概率。所谓独立概率，就是说我抛硬币，无论我前面抛了多少次，都对后面的抛的没有影响，也就是说，即使我抛了十次正面，第十一次也是正反概率各是二分之一。需要注意的是“这是前提，也可以说仅仅是一种假设。"因为如果没有这样的假设，所有我们学过的经典概率问题是没有办法计算的。经典概率（也就是排列组合计算）还有一个前提，就是所有事件是等概率的，也就是说，比如我从100个球里随机抽一个，抽到每个的概率都是百分之一。然而，显示中许多情况下这两个前提并不一定成立，比如我和李世石下围棋下十盘我赢一盘的概率是多大........傻子都知道，以我的水平即使下一百盘，也没有希望赢一盘。但是如果用经典概率排列组合算，我下每盘都有碍50%的胜率。。这。。。再比如经典的，有3扇门的问题:参与者：一个游戏者和一个主持人。主持人事先知道各扇门后的物品，而游戏者不知道。游戏目的：游戏者选择到车。游戏过程：1、游戏者随机选定一扇门；2、在不打开此扇门的情况下，主持人打开另一扇有羊的门。3、此时面对剩下2扇门，游戏者有一次更改上次选择的机会。问题是：游戏者是否应该改变上次的选择，以使选到车的概率较大？关键点：主持人事先知道门后是羊还是车，因此过程2中主持人的动作不会引起概率的变化。正解：游戏者应更改自己的选择，则他选中车的概率由1/3上升为2/3。 当然这个问题本身就有争论，但是大多数专家认为，这个不符合经典概率的独立实践原则，因此不能认为开了一扇门以后，概率还是各自的二分之一。所以，第一部分我的结论是，独立事件，等概率，是所有经典概率计算假设前提条件，没有这个条件所有的用排列组合计算的概率就没办法计算，但是并不是所有的概率实践，或者说我们生活中的大多数概率实践都不满足这个前提。 其次，抛硬币这个问题前十次和第十一次能否视为独立事件？这个问题我联想到前段时间看到的量子论的一些科普文章，其中有一段话：“世界上所有的随机实践，除了量子随机和计算机随机，其他的都是伪随机” 所谓“伪随机”并不是说概率有假，而是，这种随机其实是建立在一系列隐参数的基础之上，比如说斗地主，你手上有一对2,另外两家某任何一家有一对2的机会是50%，然而这50%只是你不知道而已事实上，只要牌一洗好，先后次序一决定，谁什么牌就已经定了，只是打牌的人不知道而已。
同样，抛硬币也是一样，人们当初做的实验，当实验次数越来越多，正反比例就越接近二分之一。然而，一枚硬币是正是反，决定的因素却并不是概率，决定于抛他的力量，抛他的时候的空气阻力，抛他时候的风向，硬币自身的形状等等一系列人们没办法完全统计，计算的隐参数，各种隐参数的综合作用，导致了最后的概率接近二分之一。也就是说，如果一部计算机能统计计算这些所有的参数，那么他猜对正反概率应该是100%.具体说到，一枚硬币连续10次正面，这个事情本身就如楼上有人说的属于小概率事件，也就是说，仔细思考一下，决定这个硬币是正是反的所有隐参数的中，有一个很可能强烈导致了他在各种条件作用时更容易出现正面（简单的说，抛的人有问题，或者硬币有问题）所以，在这种前提下，前十次和第十一次不能视为独立事件，如果隐参数不能修改，我认为第十一次正面的概率要远远大于反面
我的理解是这样的每次的抛硬币概率当然还是1/2没有变。实际上很多人把这个硬币概率和出现10次全部都是正面朝上这种情况的概率搞混了。硬币的概率是1/2，但是出现抛出10次硬币全部向上这种情况的概率不是1/2。
当然是1/2。看来科普教育，任重道远。
理解能力这么差的人真的很难跟他解析为什么是1/2的概率……
喜欢研究的中学生
很久以前有人回答过类似的问题。。。作者：Tristan Zhang来源：知乎看到很多回答50%的，也看到很多用各种概率论公式拿上来套的，我意识到这是一个较为普遍的大众思维误区！而这么一个简单的道理，其实会对一个人做出生活工作中的各种判断起到极大的作用！因此详细回答一下记得大学时教马哲的老师曾在课上说了一个看起来似乎他每年都会跟新一届学生讲的用于展现他个人魅力和思想深度的引以为傲的段子：“有一次我在飞机场，前面起飞的一架飞机掉下来了，这时候周围的人都内心很惶恐不敢登机，而我则泰然自若，并告诉他们一个道理，一架飞机掉下来的概率是一千万分之一，那么连续两架飞机掉下来的概率就是一千万分之一乘以一千万分之一，相当于比你平时随便坐飞机出事的概率又小了一千万倍，你们怕什么，这时反而应该更加确信自己安全才对！”讲完这个段子，大阶梯教室全场200多名学生都会心的点头笑着爆发出热烈掌声，马哲老师也得意洋洋的享受着大家对他智慧的认可，而我则默默离开了教室，从此再没来上过课。。。我高中的数学老师（我省数一数二竞赛获奖无数）曾说过一句让我印象极为深刻的话，记得那是在下午第一节课讲概率论大家昏昏欲睡的时候，张老师猛地提高嗓音，用一种近乎于危言耸听的语气说：“小概率事件发生，说明很可能出大问题了！！！”这话迄今为止仍让我印象深刻，并且在我今后人生中做出一些判断时起到至关重要作用。《三体》里的大史说过类似的一句话“我多年的刑侦经验让我明白一个道理，邪乎到家必有鬼！”好吧，我知道foreplay太长了，下面我要进去了那位马哲老师的思维误区，以及对这个投硬币问题不假思索回答50%的人的思维误区都是一种就是：“用理想物理模型来思考复杂现实问题”假设飞机起飞飞行不受任何外界因素影响，连续两架掉下的概率的确是一千万分之一乘以一千万分之一，或者说，你去乘坐第二架飞机时掉下来的概率仍是很小的一千万分之一。然而，这是理想物理模型，现实中会有各种情况影响，比如：1，那天天气有某种不易察觉的致命问题；2，那天候鸟群飞过这里；3，那天太阳耀斑活跃异常导致机场附近通讯故障；4，那天中午机场食堂饭菜有问题导致飞行员食物中毒。。。这些我都是瞎编的，但此时请记住高中数学张老师的那句话“小概率事件发生，说明很可能出大问题了！！！”。在那个时段那个地点，极有可能出现了一个未知的致命问题才导致千万分之一的极小概率事件发生了。此时，在不明真相的情况下，如果仍然去立即起飞下一趟飞机，那么发生事故的概率是很大的！再举一个生活中你有机会体会到的例子，你站在路边看一辆辆经过你的车的尾号，通常情况下，应该是单号和双号各50%，而你却连续看到100辆单号，那么如此小概率的事件发生，说明很可能有一个外界强干扰因素出现，你站在北京的路边，今天限单号出行。同理回到这个投一亿次硬币的问题，一般情况下正反面出现概率各为50%，而连续一亿次正面是一个极小概率事件，那么很有可能出现了一个未知的巨大干扰因素导致每次都是正面，所以下一次依然是正面的概率是极高的！其实真正有趣的问题是，在一亿零一次的时候，投出了反面，那么请问一亿零2次投出哪一面的概率较大？这个问题先不展开了借这个问题向我的高中老师致敬，他那莫名其妙的危言耸听的语气让我铭记了：“小概率事件发生，说明很可能出大问题了！！！”
力图成为（幼儿）百科全书式的人物
难道不是100%？连续10次正面，显然这是二脸的硬币或者有其他的手脚啊。
'连续11次正面的概率'跟'前10次都确认是正面,问第11次是正面的概率'是两个概念
假设每次试验独立，硬币出正反概率的未知，设正面的概率p，反面为1-p，采用MLE方法计算可得p=1，所以下次出正面的概率为1。贝叶斯派的话还可以假设先验分布，用MAP方法计算后验概率。
首先，我没有全部看完前面的答案，如有雷同，纯属意外。设想一个赌局，当然是猜硬币的，你想对你的朋友作弊，于是你进屋之前就不断地尝试用硬币连续抛，终于你抛出了连续10次都是正面，你把硬币放在桌子上，把朋友叫进来，说我抛硬币一定是反面，跟朋友打赌100元，你的朋友接受挑战，问：你赢的几率是否是？
抛10次硬币都是正面，那第11次还出正面的概率是多少？还是50%啊，我们学高数概率论时候第一例子就是用这个扔硬币的例子啊
高中数学知识啊亲，那个叫周服老于的明显是审题不清，抛硬币连续11次正面的概率和和抛硬币第11次是正面的概率，不一样啊
如果单独讨论第11次的概率是1/2，如果单独讨论前11次的概率是1/2^11分之一，似乎是这样理解的吧？
真是个愚蠢的问题，我具体不是很懂，不过连续抛10次硬币结果都为正，事件已经发生，其概率为为1，11次再乘个1/2不就行了、
生物学学士
详细请参见各位高人的分析，我总结一下我作为外行的理解“其实这是个语义理解方面的问题：1/2这个答案的理解是：在10次连续正面的前提下，下一次还是正面的概率是多少？也就是样本总体是【已经实现了十连抽是正面】这一前提下的总体，十连正已经是既定事实了，没有随机性了，不影响概率了。套用到生孩子性别里可能更适合从统计角度讲，就是我统计全国所有已经生了两个女孩儿的夫妻，生第三个孩子的性别的概率是多少那个很低的概率的理解是：连续11次正面的概率是多少？也就是样本总体是所有11连抽，从这里面找11连正。套用到生孩子就是，全国所有三胞胎家庭里连续三个孩子都是女孩的概率是多少。 综上，自然语言害死人，还是数理语言好，那么问题来了，哪种编程语言最好呢？我是ATCG党（手动眼斜）
一个人说的是连续11次正面的，另一个说的是单就最后一次的。
不懂心理学的IT工程师，不是好画家
其实这里有个理解差异的问题，懂概率的人和不懂概率的人思考的方式是不同的。对于懂概率的人来说，第十一次正反都是50%，但是对于不懂概率的人来说，他们靠的是经验，而经验是这样的：连续10次正面都是很少见的了，连续11次肯定更少见，所以第11次出现正面的概率肯定会远远小于50%。所以对于不懂概率的人来说，其实是把“第11次出现正面的概率” 和“连续11次都出现正面的概率” 搞混淆了。因为他们无法放弃之前所有可能性这个样本量，包括各种非正面的情况，分母大了，值自然就小了。
也可以这样吐槽他： 按照他的算法首先是出现10次正面的几率是1/2^10，所以11次是正面的几率是1/2^10 * 1/2=1/2^11
那么10次正面加1次反面的几率是多少呢? 1/2^10 * 1/2=1/2^11...........懵逼了撒：）事实是N次正面M次反面（N+M=11）任何组合的几率都是1/2^11所以，之前那二货肯定是那种算彩票的
小概率事件的发生一定别有隐情
中级知识分子
就是说彩票每次都买同一个号码并不是愚蠢行为，即便上次这个号码已经被中了。相反每次都买同一个号码是个聪明的做法，减少了买号前犹豫的煎熬，和无效的思考，节省时间精力。当然这一切的前提是“彩票不能作弊”。
初级木工石工铁匠玻璃工水电工,程序员,知心大蜀黍
我给你们一个最平易近人的回答:连续11次正面的概率是1/2048连续10次正面且第11次是反面的概率,也是1/2048看,他俩概率一样,所以第11次是正面的概率是一半
这是有名的赌徒悖论，老罗说的没错，多看点书吧
如果是赌钱的时候，出现连续10次正面，第11次给你一个亿，你会赌正面还是反面？这是到底是算11次连续正面的概率呢，还是单独算第11次的概率。
我想起了我初中物理老师说的一句话：（对男生）你们觉得你们生儿子的概率多大，那你们的儿子再生儿子的概率有多大……这么延续10代概率是不是已经小到忽略不计了？但同样的情况你倒推就会有不同感受，你有爸爸，你爸爸有爸爸，你爸爸的爸爸有爸爸…………一直能推到人类刚出现这是个有趣的“概率题”
这个貌似是高中时的条件概率，
和问题的问法有关吧，其实是两个不同的事件。 原题 “硬币抛了10次都是正面，第11次抛正面” 中 “第11次抛正面”作为一个独立事件的概率是1/2换一个说法 “一枚硬币抛11次都是正面” 这一个事件的概率则是1/2048
第11次的概率还是1/2，但是，我其实想知道，如果赌钱的话，还有多少人再押正面，呵呵~~
这个问题之所以成为问题，问题出在语文，而非数学。
机械设计专业 机械工程师
从上学开始
数学就一直与语文纠缠不清
“认真读题”是老师经常说的话
各种应用题，词语搭配先后顺序等等
大家一定还有印象这就要求出题者思维严谨
表达清楚网络上出现的此类问题
很多都是为赚取点击和关注而故意模糊题干表达说道最后
大家争议的焦点自然就落到题干上了------评论已经热火朝天-------博主和转播主都乐了
话说硬币10次正面是不是应该检查一下两面是否均匀。。。
这个问题出在“独立事件”的含义上啊。只有我们考虑 第11次扔硬币时，前面10次的扔的事件影响到了（不独立）这次事件，才可能需要考虑条件概率问题。但实际上第11次扔硬币这个事件显然仍然是“独立”的，影响这次事件（硬币的正反面）的因素和前面10次扔硬币时没有任何区别。我们可以考虑这些影响因素包括：硬币的形状、质量、扔出去的角度、初速度、空气阻力、风向风速等等。我想这一点毫无疑问。所以这第11次扔出去的硬币正反面的概率依然是50%，和题主提到的生第N个孩子时，是男孩和女孩的概率一样。有一种“人为的”使得这第11次事件不独立的 角度（说法），就是我们考虑第11次扔硬币的结果时，必须考虑前面10次的结果，也就是尽管这第11次扔硬币是正面的概率虽然是50%，但是因为考虑了前面已经扔了10次硬币结果，所以这时，我们可以说第11次扔硬币“还是”正面的结果是1/2048.我认为出现理解偏差的根本原因是，所谓“概率”是统计结果，数学上的“统计”可以是样本无限大的，也就是虽然有一个特别的人第11次扔硬币“是正面”的概率是1/2048，但是如果有无数人重复这个实验（假设可以做），那么统计下来，仍然是50%的人会得到硬币正面的结果，其余50%得到反面的结果。
其实题主想问的是如何反驳/说服他，他说的对不对题主心里清楚的很。你能说服一个民科/反转/教徒/狗粉/阴阳五行大师吗？除非让那些加强学习、长时间接触正确的信息。一两个贴子能说服？too...too...
诡辩而已。。没什么意思
标准的条件概率问题，独立事件条件概率P（A/B）=P(AB)*p(B)=P(A),P(A)=0.5,
连续10次正面，第11次还是正面的可能性要大一些都连续10次正面了，此事必有蹊跷。
1/2,小学都学过了
有些人，别人跟他谈事实时就喜欢谈理论~~~人家跟他谈理论时呢又说现实~~~~~说什么10次正面，要考虑也硬币的问题！！！~~~人家都说是思维性问题，并且两面都是1/2~~~~~~~~~~~~~这个问题主要是，既然延伸到了“概率”这概念，但又不遵守“概率”的基本准则~~~~
这学期正在学概率论，怒答一发：
争议出现在题目上的理解，“第十一次出现正面的概率”明显1/2.投硬币是独立事件，第十一次的结果与前十次没有一毛钱的关系。
有人理解成“连续十一次都是正面”，其实有时可以分开看的1）连续十一次都是正面；这个答案就是2的11次方了，没有争议。2）在前十次都是正面的情况下，连续十一次都是正面。这属于是条件概率，设Ai表示第i次是正面。那么时间应该表示为（ A11|A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
）而事件的概率P（ A11|A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
=P（ A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10A11
）/（ A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10
）结果还是1/2.。
他说的是第11次还是正面，也就是说前10次是正面是已知了，所以应该是1/2
讨论问题，要局限在一定范围内。本题讨论概率，就要遵从概率的基本原则。很简单的一个问题，非要复杂化。教学生1+1=2的时候，是不是还要告诉学生世界上没有两片相同的树叶，所以1+1有时候不等于2？要讨论硬币是否均匀，是否可通过控制动作操作投币结果的话，那是不是还要扩展到前十次是不是故意投10次正面来误导人的思维？简单的数学问题，非要加入各种阴谋，怪不得文革能扩大到全国范围。
50%还用问？你探讨的是“这次出现的概率”，而不是“总共的概率”
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