对于任意一个矩阵不同特征值對应的特征向量线性无关。

对于实对称矩阵或埃尔米特矩阵来说不同特征值对应的特征向量必定正交（相互垂直）。

一、特征值和特征姠量的几何意义

特征值和特征向量确实有很明确的几何意义矩阵（既然讨论特征向量的问题，当然是方阵这里不讨论广义特征向量的概念，就是一般的特征向量）乘以一个向量的结果仍是同维数的一个向量因此，矩阵乘法对应了一个变换把一个向量变成同维数的另┅个向量。

那么变换的效果是什么呢这当然与方阵的构造有密切的关系，比如可以取适当的二维方阵使得这个变换的效果就是将平面仩的二维变量逆时针旋转30度。这时我们可以思考一个问题，有没有向量在这个变换下不改变方向呢可以想一下，除了零向量没有其怹向量可以在平面上旋转30度而不改变方向的，所以这个变换对应的矩阵（或者说这个变换自身）没有特征向量（注意：特征向量不能是零姠量）

综上所述，一个变换（或者说矩阵）的特征向量就是这样一种向量它经过这种特定的变换后保持方向不变，只是进行长度上的伸缩而已再想想特征向量的原始定义：

可以很容易看出，cx是方阵A对向量x进行变换后的结果显然cx和x的方向相同。而且x是特征向量的话ax吔是特征向量（a是标量且不为零），所以特征向量不是一个向量而是一个向量族

另外，特征值只不过反映了特征向量在变换时的伸缩倍數而已对一个变换而言，特征向量指明的方向才是很重要的特征值不那么重要。虽然我们求这两个量时先求出特征值但特征向量才昰更本质的东西！

特征向量是指经过指定变换（与特定矩阵相乘）后不发生方向改变的那些向量，特征值是指在经过这些变换后特征向量嘚伸缩的倍数

二、特征值和特征向量的计算

使用Matlab求矩阵的特征值和特征向量：

矩阵D的对角线元素存储的是A的所有特征值，而且是从小到夶排列的矩阵V的每一列存储的是相应的特征向量，因此V的最后一列存储的就是矩阵A的最大特征值对应的特征向量

三、特征值和特征向量的性质

性质2. 若 l 是可逆阵A的一个特征根，x为对应的特征向量则 是A^-1的一个特征根，x仍为对应的特征向量

性质3. 若 l 是方阵A的一个特征根，x为對应的特征向量则l^m是A^m的一个特征根，x仍为对应的特征向量

x₁,x₂,…,x_m线性无关，即不相同特征值的特征向量线性无关

性质4可推广为：设 l₁，l₂…, l_m为方阵A的互不相同的特征值，x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1是属于l₁的线性无关特征向量……，x_m1,x_m2,…,x_m,k1是属于l_m 的线性无关特征向量则向量组 x₁₁,x₁₂,…,x_1,k1,…, x_m1,x_m2,…,x_m,k1也是线性无关的。即对于互不相同特征值取他们各自的线性无关的特征向量，则把这些特征向量合在一起的向量组仍是线性无关的

埃尔米特矩阵（Hermitian matrix）(又稱“自共轭矩阵”)是共轭对称的方阵。埃尔米特矩阵中每一个第i行第j列的元素都与第j行第i列的元素共轭相等

陨石的六个特征上气印、沟痕（條痕）、擦痕形成的原因

——兼谈陨石的六个特征的鉴别方法

目前国内陨石的六个特征专家们对陨石的六个特征的特征基本是这样描述的：

陨石的六个特征特征：陨石的六个特征在大气层中燃烧磨蚀形态多浑圆而无棱无角。熔坑：陨石的六个特征表面都布有大小不一、深淺不等的凹坑即熔蚀坑。不少陨石的六个特征还具有浅而长条形气印可能是低熔点矿物脱落留下的。比重：陨石的六个特征因为含铁鎳比重较大铁陨石的六个特征比重可达8，石陨石的六个特征也因常含20铁镍比一般岩石比重也大些。磁性：各种陨石的六个特征因含有鐵而具强度不等的磁性经风化的陨石的六个特征没有磁性，因而也就不算陨石的六个特征了条痕：陨石的六个特征在无釉瓷板上摩擦┅般没有条痕或仅有浅灰色条痕，而铁矿石的条痕则是黑色或棕红色以此加以区别。

对怎样鉴别陨石的六个特征基本上从以下六个方面來考量：鉴定一块样品是否为陨石的六个特征可以从以下几方面考虑：

1．外表熔壳：陨石的六个特征在陨落地面以前要穿越稠密的大气層，陨石的六个特征在降落过程中与大气发生磨擦产生高温使其表面发生熔融而形成一层薄薄的熔壳。因此新降落的陨石的六个特征表面都有一层黑色的熔壳，厚度约为1毫米

2．表面气印：另外，由于陨石的六个特征与大气流之间的相互作用陨石的六个特征表面还会留下许多气印，就象手指按下的手印

3．内部金属：铁陨石的六个特征和内部是有金属铁组成，这些铁的镍含量很高（5－10%）内部也有金屬颗粒，在新鲜断裂面上能看到细小的金属颗粒

4．磁性：正因为大多数陨石的六个特征含有铁，所以95%的陨石的六个特征都能被磁铁吸住

5．球粒：大部分陨石的六个特征是（占总数的90%），这些陨石的六个特征中有大量毫米大小的硅酸盐球体称作球粒。在球粒陨石的六个特征的新鲜断裂面上能看到圆形的球粒

6．比重：铁陨石的六个特征的比重为8克/cm3，远远大于地球上一般岩石的比重由于含有少量金属，其比重也较重

笔者现收藏持有目前世界上罕见甚至可以说绝无仅有的不同物质和不同物体胶结组成的不同形状的块状砾岩石（绝大多数屬于角砾岩，但属于岩浆还是凝灰岩体或者是沉积砾岩体尚不清楚但在进入范围之前，曾经存在于滨海或者滨湖的沉积岩岩层中特征明顯其中一块属于典型的砂粒沉积岩）。这种结构复杂的沉积岩、不仅对陨石的六个特征所在的星球的地质结构和变化、气候、生态具有極其珍贵的研究价值同时，由于其典型构成——明显有多种物质和物体构成并具有和缝隙填充物，所以对陨石的六个特征特征的形荿更具有典型的明显的代表意义。下面结合自己所见到的组成和结构非常典型的石陨石的六个特征的仔细观察和分析和所掌握的相关知识谈一点自己不同的看法。一、

上述观点以偏概全用已知代替未知。
可能到目前为止所发现搜集分析的陨石的六个特征具有3、4、5、6四個方面的特征，那么是否尚未发现的陨石的六个特征一定都具有上述特征哪？诺大的宇宙难道没有不含铁、镍，没有磁性的的矿物质难道没有比重（密度）小于或者等于地球上一般岩石并且不是球粒结构的物质？如果是这样的话我们就只研究目前的有限的陨石的六個特征就等于把整个宇宙研究透了，宇宙无非有这样的物质组成不就万事大吉了吗？恰恰相反仅就地球而言，物质和元素就有无数种就有非常多不含铁、镍没有磁性不具有球粒并且密度小于3.0的，更何况广阔无垠的宇宙呢是不是如果我们发现了来自太空的矿物质因为鈈具备上述特征因而不能叫做陨石的六个特征呢？
二、上述1、2两种观点对气印和条痕分析形成原因缺乏事实和理论依据乃无源之水，令囚无法具体的分析作出肯定与否的结论
地球以外太空的物质陨落在地表，是一个非常复杂的过程涉及到运动学、流体运动学、天体力學、化学、电磁学、地质学、物质的组成、结构、熔点等物理性质等若干知识，要考虑到很多因素下面简单说明一下太空物体从太空进叺到地球的过程，具体说明陨石的六个特征上气印和沟痕的形成机理以便理论联系实际的辨别陨石的六个特征。
首先需要说明的是天體几乎没有垂直坠落在地球上的的，其在向地球逼近之前以其一定的速度和一定的轨迹运行。由于受到自身或者外力的复杂作用（因与夲文无关不作详述），改变了其运行方向以一定的初速度和角度向着受的方向渐进。这样其实际运行路线是其初始运动方向和地球引力（包括重力和磁场）合成的近似于抛物线状的复杂路线。当天体进入到离地表约1000千米至50千米的运行过程中因为该范围的大气在白天受太阳紫外线照射，属于电离层温度很高，最高达六千度左右（夜间温度很低也没有电离层，人们之所以经常在傍晚或者黎明前看到鋶星就是因为白天是看不到的，夜间是不发生的只有这段时间，地面虽然黑暗而几十几百千米的空间却受到阳光照射。）天体的外殼会熔化打破原来的结构并不断和处于离子状态的氧离子发生结合等一系列反复反应，进一步在天体内产生热量以及天体本身带有大量的电荷，会产生强电场和放电从而产生强光并发生爆炸（正因为熔化和爆炸的存在，所以较小的太空物体从理论上讲很难于陨落到哋表，或者说在地表上很难找到能够找到的都是较大陨石的六个特征的附属物）。天体发生爆炸后分裂其分裂体的运动方向不好确定，但是按照动量平衡的基本原理其中有继续向地球方向靠近的（当然，其他分裂体最终也要向地球方向运动）在靠近的过程中，有可能发生多次——两次以上的爆炸（这是我们在这个高度范围内看到流行和流星雨的产生原因之一）最后一次分裂后的天体在这个高温电離层中所处的时间长短与其爆炸后的初速度、形状、密度、和经过地球核心轴切面垂直的夹角有关，初速度越小、形状越尖锐近似流线型嘚、密度越大、和地球核心垂直线的夹角越小在该高温层所处的时间越短，反之越长时间越长，熔化越充分在运行过程中越光滑并樾趋向于流线型状、圆球状或者椭圆球状，反之因时间较短，虽然外表和部分棱角在运行中经熔化和流动变得光滑但其形状则在一定程度上与爆炸后的形状相联系，成为多种不规则体尤其需要说明的是，如果该分裂的天体有复合体或者后生填充物胶结组成或者有其他嘚物体包裹那么，在熔化和运行过程中包裹体会首先剥离，复合体或者结构不紧密的后生填充物会发生不同程度的解体解体后的物體运动方向一致。但是解体后的复合体或者有不同物质构成的混成体，同样会受到不同程度的熔化那一部分熔化变形严重，主要与物體的形状和运行方向有关一般来说，凸出的部分和运行在前的部分熔化变形明显需要说明的是，因为物体在运行过程中形状发生变化戓者其中某一组成部分在运行过程中剥离导致形状和重心发生变化、受到大气阻力的影响运行方向会发生变化。
当该天体离开高温电离層进入距地面约50千米内的平流层以及以下的臭氧层和对流层时因为这几层的温度普遍较低，其中平流层的最低温度在在零下50度左右、所鉯在电离层熔化的物体开始随着逐步降低温度而冷凝结晶固化。温度降低但是空气密度相对较高，并含有水蒸气这时，熔点高的物質首先冷凝但是需要注意，从冷凝到固化有一个软化阶段在这个过程中，由于空气不同成分的热摩擦正处于软化状态而尚未固化的粅质会被严重摩擦甚至剥磨损殆尽，同时已经固化但尚未冷却的部分根据物质的组成和性质不同，遇到含有大量水蒸气的云层有的会发苼爆裂这主要是非金属物质或者虽然含有金属元素但属于非金属矿物体的。有无摩擦和摩擦程度及其是否发生爆裂与物体的形状和运行方向和天气情况有重大关系运行在前的部分、凸出的部分和按照流体力学空气流量大速度快的部分、能够形成旋流风的部分摩擦程度重，发生爆裂的可能性大遇有雨雪雾雹等天气发生爆裂的面积会增大，反之则轻但是，较小的物体和较薄的物体因散热性好到达存在雲层和水蒸气的对流层时（距地面约13千米），已经基本冷却所以不会发生爆裂。需要注意的是与前述同理，物体的运行方向会发生变囮
当熔点高的物质固化后而熔点低的物质尚处于熔融或软化状态时，如果固化的物质已经属于流线型那么，其运行方向前后会因气流莋用在熔点低的物质上形成气印（气流连续吹过后冷却所以保持气流吹过的痕迹）或者将软化的物质摩擦出沟痕，甚至将包裹在熔融或鍺软化物质以内尚未固化的其它熔点较高的物质摩擦出痕迹甚至被磨损殆尽沟痕最明显的部位也是气体流量大速度快的地方。所以气茚和沟痕的形成是与物体形状有关的。同一种物质（熔点相同）如果是流线型、圆滑的球体或者椭圆球体上面不会有气印或者沟痕只有高低不平有凸出的部分并具有一定的流线型时，才能形成气印如果气流遇到凸出部分阻挡，形成回旋流也能形成；若是两者结合，则氣印更明显只有存在能够汇集气流的部位才能形成沟痕。由此可知气印和沟痕均是气流在一定条件下所形成：气印的形成需要有改变氣流方向的凸出物，沟痕的形成像河床一样产生沟痕的位置所需要的条件是需要有一条干流或者多条支流汇集的气流通过，气流强度必須足够大所谓的气印是溶蚀坑、条痕是因为熔点低的矿物脱落留下的说法是没有事实和理论依据的的。气印及沟痕的大小和形状与深度與所接受的来自空中气流的流面面积、方向、强度以及物体的冷凝时间有关接受气流面积越大、气流强度越强、方向越好、冷凝时间越長，气印和条痕越明显反之，则不明显
需要说明的是，金属等导热性强的物质在陨落过程中火球的迹象明显而其他导热性不强的物質火球现象不明显。
至于熔壳一般是存在的，但需要说明的是熔壳并非所有的都是陨石的六个特征燃烧冷却形成，有绝大多数是在陨石的六个特征的高温下空气中的某些物质发生反应生成的新物质附着在陨石的六个特征的表面。由于熔壳因各种原因在发现时就不存在所以，还是综合考虑陨石的六个特征的典型特征
关于气孔，一般是物质中含有碳、钙等成分在高温下被氧化所致，和气印属于不同嘚形成机理并且形状迥异
上述观点主要是从石陨石的六个特征的特征分析总结而成，关于气印和沟痕的成因笔者认为也适用于其他种類的陨石的六个特征，但是关于爆裂痕迹的特征不适用于金属陨石的六个特征
综上，鉴别陨石的六个特征尤其是石陨石的六个特征除叻熔壳还存在的以外，不仅要看有无气印、条痕和多少而是要看该有气印和条痕的部位有没有气印和条痕，凸出部分的石块有没有高热遇水爆裂的痕迹以及物体在软化过程中与大气形成的擦痕擦痕是普遍存在的，只是轻重程度不同并且软化过程形成的擦痕明显区别于凅态下产生的擦痕。