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[伴你教数学]探索直角三角形全等的条件〖教学目标〗
　　1．知识与技能：经历探索直角三角形全等条件的过程，发展学生动手实验的意识和主动探究的习惯，掌握直角三角形全等的条件，并能运用其解决一些实际问题。
&&& 2．数学思考、解决问题：在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中，能够进行有条理的思考并进行简单的推理。&&
&&& 3．情感与态度：在解决问题的过程中渗透由一般到特殊的数学思想方法，通过数学活动提高数学素养，发展个性品质。&
〖教材分析〗
　　探索直角三角形全等的条件是在学生全面认识三角形和全等图形的基础上进行学习的，学生对一般三角形的有关概念、三边关系、内角和等基本性质有了一定的了解，并探索了一般三角形全等的条件，从而为探索直角三角形全等的条件提供了知识和情感上的准备，符合从一般到特殊的认知规律。
〖学校及学生状况分析〗
&&& 本校是一所农村初级中学，2000年被评定为宜昌市示范学校。学校管理严格，教学质量在市内领先。现有24个教学班，共有1 500多名学生。该班是学校对七年级所有学生在进行入学情况调查后，根据学生的学业成绩、兴趣特长以及性格特征平行分班组成的一个班级，有63名学生，学生的学习习惯和智力水平一般，学生素质参差不齐，大部分学生能积极参与课堂教学，表现出强烈的探究意识，也有少部分学生因为基础偏低学习吃力。教学中实行小组合作交流，同时采取分层要求，让不同的学生学不同的数学。
〖教学设计〗
　　本节课由集装箱装运过程中出现两个全等的直角三角形(由等腰三角形底边上的高分割而成)的实例引入教学，创设有利于学生理解、便于学生建立新知生长点的生活化的情境，以此激发学生对新知识的探索热情。然后通过观察，猜想两个直角三角形的全等关系，并让学生在探索中找到规律，加以验证，提高分析问题、解决问题的能力。课堂上鼓励学生大胆猜想，大胆质疑，大胆讨论甚至是争论，体味“不怕做不到，就怕想不到”的新观念。
(一)创设情境
　　情境投影：青岛港是我国第二大外贸口岸，第三大集装箱港口岸，去年吞吐量突破340万标准箱，列世界集装箱大港第14位。7月22日，青岛港与世界三大航运巨头签署合资协议，将共同出资8??87亿美元把青岛港前湾码头建成年吞吐能力超过650万标准箱的中国最大集装箱码头。起重机是装运集装箱的重要工具(如图1)，在起重机装运集装箱的过程中由于重力的原因，集装箱会自动处于水平的位置。请同学们想一想，这时钩挂在它两头的绳索AB和AC(如图2)的长度相等吗?
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　图2　　　　　　　图3
　　生：相等。
　　师：大家有过类似的体验吗?
　　生1：有。用肩膀挎书包时，肩膀总是很自然地处在书包带的最中间。
　　生2：读小学时我提着算盘上学，系算盘的带子在手中的位置好像是在最中间。
　　生3：用水桶提水时，手必须提在最中间才感觉到平衡、舒服。
　　师：同学们说得都非常好，这些确实是我们切身体验过的，可以说是大家对这种现象的普遍认识。在图2中，假如过A点向下丢一根绳子用以稳定集装箱(图3)，大家能告诉我这根绳子和集装箱(如果把集装箱看做一条线段)是处于什么位置关系吗?
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图4
　　生：它们是相互垂直的。
　　师：答得很好，你是一个聪明的孩子。能告诉我为什么吗?
　　生：因为它们一个处于水平的位置，另一个处于铅直的位置。
　　师：太好了，大家听明白了吗?我们可以把绳索看成直线AD，把集装箱看成线段BC，那么AD⊥BC。我们可以借助图4进行描述：AB=AC，AD就是Rt△ABD和Rt△ACD的公共边。请同学们观察并猜想，这两个直角三角形看上去全等吗?
　　生：我认为是全等的。
　　师：理由是……
　　生1：因为AB=AC，AD＝AD，∠ADB=∠ADC=90°，根据SSA可以判定△ABD≌△ACD。
　　(许多学生举手发表反对意见。)
　　生2：不对，我们不能用SSA来判定两个三角形全等。但我肯定这两个三角形应该是全等的，就是现在还说不出理由(一脸的歉意)!
　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图5
　　师：第一位同学把判定条件说错了，但他回答问题非常积极，值得我们学习。第二位同学迅速纠正了他的错误，并大胆猜想两个直角三角形全等，很有信心和勇气!大家的猜测究竟对不对呢?我相信通过下面的学习大家会找到一个肯定的答案。
　　(板书：探索直角三角形全等的条件。)
(二)问题探究
　　1．探究作图(投影)：已知线段a，c(a&c)和一个直角α，利用尺规作一个Rt△ABC，使∠C=∠α，AB=c，CB=a。(学生作图时规定a=3 cm，c=5 cm， 分组交流，归纳步骤。)
　　师：△ABC是所求作的三角形吗?
　　生：是。
　　2．剪下自己所作的三角形，和其他同学进行比较看是否重合。
　　师：同学们作的三角形能完全重合吗?&&&
　　生：能。
　　3．归纳结论
　　师：很好，这说明大家所作的三角形都是全等的。你们能告诉我它们为什么全等吗?
　　生：因为我们作的BC边的长度和AB边的长度分别是相等的。
　　师：嗯，不错。除这两个条件外，还有没有第三个条件呢?
　　生：还有――有一个角都是直角。
　　师：真是火眼金睛。& 有一个角都是直角，换句话说，就是它们都是直角三角形。事实上你们已经找到了答案，谁能说给我们听听?
　　生：两个直角三角形，如果有斜边和一条直角边对应相等，那么这两个直角三角形全等。
　　师：太棒了，你非常聪明。同组的同学相互交流一遍：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。简写成“斜边、直角边”或“HL”。同学们现在明白了图4中的两个三角形全等的道理了吗?　
　　生：明白了。
　　4．认知辨析(投影)
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图6
　　(1)如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为E，F。
& 　①若AC∥DB，且AC=DB，则△ACE≌△BDF，根据是（　）；
& 　②若AC∥DB，且AE=BF，则△ACE≌△BDF，根据是（　）；
　　③若AE=BF，且CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据是（　）；
　　④若AC＝BD，AE=BF，CE=DF，则△ACE≌△BDF，根据是（　）；
　　⑤若AC=BD，CE＝DF(或AE=BF)，则△ACE≌△BDF，根据是（　）。
& (2)判断两个直角三角形全等的方法，不正确的有(　)。
& (A)两条直角边对应相等&&&&& (B)斜边和一锐角对应相等
　(C)斜边和一条直角边对应相等(D)两个锐角对应相等
　　师：通过上面的辨析，大家想一想：我们用来判定任意两个三角形全等的方法是不是也可以用来判定两个直角三角形全等呢?
　　生：可以。
　　师：既然如此，判定两直角三角形全等的方法一共有SAS，ASA，AAS，SSS和HL五种。& 其中HL是最特殊的，它只能用来判定两直角三角形全等，而不能用来判定任意的两个三角形全等。什么时候用哪一种方法，这需要同学们根据具体的问题确定。
　　5．疑难辨析：有一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等吗?(分组讨论)
(三)实践应用
& 1．(投影)如图7，已知∠ACB＝∠BDA＝90°，若要使△ACB≌△BDA，还需要什么条件?把它们分别写出来。
　　　　　　　　　　　　　图7　　　　　　　　　　　　　　　　图8
&&& 2．(投影)如图8，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗?
&&& 3．(投影)如图9，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面的两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明理由。&&&
(四)发散探究
　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　图9　　　　　　　　　　　　　　　　图10
　　如图10，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系?(阅读、理解课本中三个同学的思考过程，小组交流讨论。)
(五)小结归纳
　　师：这节课大家掌握了哪些知识?有哪些收获?
　　生1：我知道了直角三角形是特殊的三角形，所以不仅有一般三角形判定全等的方法，还有直角三角形特殊的判定方法――HL。
　　生2：两个直角三角形中，由于有直角相等的条件，所以判定两个直角三角形全等只需找两个条件(两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等)。
〖教学反思〗
　　由于直角三角形是特殊的三角形，因而它具备一般三角形所没有的特殊性质。通过本节课的学习，要求理解已经学过的判定全等三角形的四种方法均可以用来判定两个直角三角形全等，同时通过探索得出“有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” 这一重要而又特殊的判定方法，并能熟练地利用这些方法判定两个直角三角形全等。在研究的过程中，注意渗透由一般到特殊的数学思想方法。为了实现教学目标，本节课改变了教材的情境设置，择取了一个更便于学生理解、更能激发学生兴趣的实例――集装箱的装运，使学生能在生活中找到数学原型，在思考中找到解决问题的办法。教学中鼓励学生大胆猜想，大胆辩驳，教师始终是一位引导者、组织者，学生的积极性得到充分发挥，取得了很好的教育效果。六、案例点评
&&& 本节课的教学设计有两大鲜明特色：一是重视组织和开发课程资源，关注和利用学生身边熟悉的材料，如集装箱、滑梯等，以学生已有的生活经验和感受为出发点，由课内延伸到课外，由学校走向社会，让学生切实感受到生活中处处有数学。二是注重学生在学习过程中的自主体验。教学过程中教师给学生留出了充分的活动时间和想像空间，鼓励每位学生动手、动口、动脑，积极参与到活动和实践中来。教学中将操作实验、自主探索、大胆猜测、合作交流、积极思考等学习方式贯穿数学学习的始终，促进学生形成主动学习的愿望和积极参与的意识，最终使教学的过程成了师生激情与智慧共生的过程。
&&& 在本节课的整个活动过程中，突出了标准的基本理念。从内容方面看，情境内容、议练内容都很贴近学生生活，问题串的难易程度合理，体现了基础性、普及性和实用性。从形式方面看，有学生的观察感受、有学生的独立思考，有生生的合作交流，有师生的合作小结，体现了普及性、平等性、合作性。从环节方面看，分层次的变式训练强化了知识及其应用的多样性，遵循了学生认知的自然规律，同时也把问题上升到多角度分析、灵活处理、恰当选择的数学思维高度，从而体现了数学课程的发展性。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　点评人：湖北省宜都市教研室　孙大勇}