数学常数e的含义
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数学常数e的含义
数学常数自然对数e是什么意思？
e是一个重要的常数，但是它的直观含义却不像π那么明了。我们都知道，圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，记作π=3.14159…，可是如果我问你，e代表了什么，你能回答吗？
不妨先来看看
是怎么说的：
“e是自然对数的底数。”
但是，你去看“
”这个条目，得到的解释却是：
“自然对数是以e为底的对数函数，e是一个无理数，约等于2.。”
这构成了循环定义，完全没有说e是什么。在这种情况下，数学家选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是一件很奇怪的事情吗？
e是增长极限
到底什么是e？简单说来，e就是 增长的极限 。
下面这个例子就是对e直观含义的极好诠释:
某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式：
growth= 2 x x表示天数
这个式子可以改写成如下的样子：
growth= (1+100%) x 其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内（24小时）的增长率。
根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。
因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶段的基础上增长50%：
即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。
倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天内时间细胞的总数会增至为：
即最后细胞数扩大为2.37倍。
实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：
当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值 。
这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以e为底的对数，就叫做自然对数。
你不会自成“大款”——到e为止
有了这个值以后，计算银行的复利就非常容易。
假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱？
但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100元存一年可以拿到多少钱呢：
我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接近e：
为了便于思考，取n等于50：
当利息率是5%时，存款增长率就相当于e的20分之一次方：
1/20正好等于5%，所以我们可以把上式改写成：
rate表示利率。
再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为：
这说明e可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也是这个增长率的通用计算公式。
带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利，求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程：
计算结果得13.86年：
可以看到：用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。
编者按：e是“指数”（exponential）的首字母，也是欧拉名字的首字母。和圆周率π及虚数单位i一样，e是最重要的数学常数之一。第一次把e看成常数的是雅各布o伯努利，他开始尝试计算lim（1+1/n） n 的值，1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数，此后遂成标准。
本文来源：
原文出处：
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初中的时候老师提到过e，那时就一直很疑惑，这样一个数字能有什么用。
最后一步, 69.3直接就约等于72了, 困惑中
引用 的话：复利的例子难以理解阿。怎么可能这样算，应该就是a(1+I )^n 阿，为什么利率要除以n，不懂。这里总存钱时间是定值。举个例子：年利率100%，存1年，1元钱最多能变成多少？如果存满1年，也就是n=1，那么1年后，1*(1+1/1)^1=2，1元变成2元；如果半年一存，让这半年的利息在下半年也生利息，也就是n=2，存满1年后，式子应该写作1*(1+1/2)^2=2.25，1元变成2.25元，比第一种存法划算；如果一个季度一存，每个季度的利息在后面的时间里也生利息，也就是n=4，式子写作1*(1+1/4)^4 =2.，比第二种存法还划算；看上去，存的次数越多，每次存期越短，1年到期时的利息越多。但是数学告诉你，这个利息不是无限增加的，随着存的次数增多，1年后的本息合计趋于一个极限，也就是文中所提到的e。也就是说，在年利率为100%的情况下，不管你存得多么勤快，1年后1元钱最多变成e=2....元钱。
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全部评论(162)
初中的时候老师提到过e，那时就一直很疑惑，这样一个数字能有什么用。
社科硕士，博物馆爱好者，果壳作者
同上！！！
数学/化学爱好者
在M67的博客上可以看到各种问题的答案都莫名其妙地和e有关……
老早就对e 感兴趣了 无论是重要极限还是无穷级数 泰勒级数 甚至统计学上也会有它的影子
不过 单就此文感觉还是没说透啊...挠头挠头ing!
那到底为什么自然对数要用e呢？
勘查技术与工程专业
原来如此啊...终于有点知道e的含义了!!
理论物理博士，科学松鼠会成员
扒稿威武！书上的定义比较抽象，此稿甚好
感觉是没太说透，要不你再举几个工程里面应用的例子？
确实如张景中的科普书一般举了复利的例子，编者应该提提e^iπ=1
程序员，科幻迷
引用HX的回应：力荐后看.完全木有看懂啊……
没说透啊。。两个例子其实差不多。e的来源是为了选一个数作为对数尺的底 因为性质好弄出来的一个常量。后来被发现了各种性质。。话说e真是个神奇的常量啊 跟pie一样出现在各种古怪的地方
科学松鼠会成员，信息学硕士生
我个人还是比较喜欢这个定义：f(1)/f(0)，对于满足df/dx=f的非零函数f。然后写成幂级数，再开拓到复数域上，那就很多性质都有了~~~
建议增加"转帖到Google+"
引用秦时明月2.0的回应：确实如张景中的科普书一般举了复利的例子，编者应该提提e^iπ=1对啊，感觉欧拉公式比较常用的吧
最后一步, 69.3直接就约等于72了, 困惑中
神马 作者居然不是Matrix67？这什么情况？
引用snail的回应：最后一步, 69.3直接就约等于72了, 困惑中金融学上有所谓的72、71、70、69.3法则，用于估计倍增或者减半的时间。使用72是因为它有比较多的因子，容易被整除。不过，就增减率与时间的问题，其他数值会较为合适一些。
引用J.f的回应：神马 作者居然不是Matrix67？这什么情况？这是神马逻辑？
引用J.f的回应：神马 作者居然不是Matrix67？这什么情况？你在吐槽M大发文太多了么。。。
感觉很多性质没说到 等待续稿啊
e^(iπ) == -1
算法我是理解了，但是总感觉这个说明还差点，果壳的文章应该更加大众化一点，不是简单化的意思，而是说要解释得更详细
为什么不是69.3法则
数学/化学爱好者
引用秦时明月2.0的回应：确实如张景中的科普书一般举了复利的例子，编者应该提提e^iπ=1同学你写错了。这也是我支持立tau废π的原因~~~~
终于明白鸟！困扰多年的问题！
个人感觉本文还是没有阐释清楚e...至于那两个极限，实在不足以说清楚啊...
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城里当厨师11年，6年春节都没能回家
他将思家情写成歌词 8年来一直想找人谱曲(图)
日 02:10:10　
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刘建涛在只有七八平方米大的出租房间内，修改自己写的歌词实习记者马捷文摄
　　&&&&老家在商州，先后在榆林、西安打工十余载，6年没能回家过年，农民工刘建涛有两个愿望，一是唱出他给农民工兄弟写的歌，二是希望在这个城市中能有一尊纪念农民工的雕塑。
　　8年前写歌词记录思家之情
　　2001年，21岁的刘建涛从商州出发，前往榆林打工，2004年又从榆林到西安学习厨艺。那一年，新婚的刘建涛与妻子分离两地，也是第四个年头没能回家过年。
　　“当时看着街上熙熙攘攘的人群，心里难受极了，想哭，却不知道该对谁哭。”刘建涛拿起笔，写下了一串歌词：“没尝到粽子香呀，没尝到月饼甜，到了冬至吃起了饺子，你在风雪里奔波，可能都给忘了吧……我有多少的心里话，等到回家再说吧……”
　　他把这首歌命名为《归心似箭想回家》。“写了歌词，就像是发泄一样，心里舒服多了，可我想唱出来！”为了将歌词唱出来，刘建涛一遍遍地读，一遍遍地看，就是想不出曲子来，尝试用其他歌曲的曲子，效果也不佳。
　　“我尝过春节回不了家的滋味，了解那种对家人的思念和挂念。”刘建涛打工的11年间，有6年未曾回家过年。“就算回家过年，也只能待上一周，又要匆匆返回西安。我的歌写的就是春节无法回家时的心情。”
　　“有人谱曲，首先唱给家人听”
　　“今年过年我和媳妇还是不一定能回家。”前几年，刘建涛把媳妇接到西安，夫妻俩在城南电子四路附近的面馆打工，他是面馆的一名厨师。如今，他们的孩子已经5岁。“娃一直在临潼的姥姥家生活，媳妇跟我这么多年也吃了不少苦，如果有人给咱的歌谱了曲子，我第一遍要唱给他们听。”
　　“我只有初中文化，写得不好，怕别人笑话。歌词我写了已经八年，确实希望它能被唱出来。”为了能给歌词谱上曲，刘建涛将歌词挂在了博客上，“听说网友力量大，我想试一试。”在刘建涛的博客里，全部博文只有这一篇歌词，歌词的前面，刘建涛附上了一句话“写给天下农民工和留守妇女”。
　　昨晚，记者在刘建涛租住的城中村看到，夫妻俩住的房间七八平方米大小，房间内摆设很简单，只有一张床和一台岳父送给他的台式电脑。在刘建涛当厨师的面馆，同事都说，平时就知道刘建涛工作认真待人好，做的饭菜香。今天听记者说，才知道刘建涛还有写歌词的本事，真为他高兴。
　　希望这座城市能有农民工塑像
　　在西安打工期间，刘建涛结识了许多建筑工、厨师、服务员等农民工朋友，“看着整个城市的高楼大厦是我们农民工建造的，就有种说不出来的骄傲，但也有点失落。大楼建造结束后，农民工弟兄就要去下个工程，你看南门附近高楼林立，但盖楼的工人早就不知去向。”
　　刘建涛有个希望，就是市政府能够在南门广场，给他们这些同样为城市发展做出贡献的农民工建一尊雕塑。“我不奢望这座城市会接纳我们，但我希望，人们在看到整座城市飞速发展时想起我们这些农民工。”
　　实习记者靳鸽本报记者何杰
　　歌词：
　　（陕西女童清唱儿歌：尖刀菜，锅板盖，你女婿延安做买卖。三十晚上就回来，你蹭洋火我点灯，窗门外头有人听，听哩听哩罢，谁家两口不说话？）
　　男（唱）：轻轻地叫一声爱人，我的娃他妈。你在家乡受苦受累，一心只为这个家。春天播种急呀，秋天收获忙，到了冬天飘起了雪花，你为家人织毛衣，为我把那鞋垫纳……爱人呀爱人，我的娃他妈，我有多少的心里话，等到回家再说吧。爱人呀爱人，我的娃他妈，我有多少的心里话，等到回家再说吧。
　　女（唱）:悄悄地唤一声爱人，我的娃他爸。你在他乡受苦受累，一心只为这个家。没尝到粽子香呀，没尝到月饼甜，到了冬至吃起了饺子，你在风雪里奔波，可能都给忘了吧……爱人啊爱人，我的娃他爸，我有多少的心里话，等你回来再说吧。爱人啊爱人，我的娃他爸，我有多少的心里话，等你回来再说吧。
　　合：又是一年到头啦，（啊）归心似箭想回家。
　　（男：家里的水甜酒也香，还有我的那个她；
　　合：又是一年到头啦，（啊）归心似箭想回家。
　　（男：家里的水甜酒也香，还有咱的爹和妈；
　　合：又是一年到头啦，（啊）归心似箭想回家。
　　（男：我那可爱的小宝贝，让我梦里也牵挂；
　　合：终于一年到头啦，（啊）归心似箭想回家。
　　（合）久久思念的他呀她，听我说说心里话。
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什么是s参数
微波网络法广泛运用于微波系统的分析，是一种等效电路法，在分析场分布的基础上，用路的方法将微波元件等效为电抗或电阻器件，将实际的导波传输系统等效为传输线，从而将实际的微波系统简化为微波网络，把场的问题转化为路的问题来解决。微波网络理论在低频网络理论的基础上发展起来，低频电路分析是微波电路分析的一个特殊情况。
微波系统主要研究信号和能量两大问题：信号问题主要是研究幅频和相频特性；能量问题主要是研究能量如何有效地传输。微波系统是分布参数电路，必须采用场分析法，但场分析法过于复杂，因此需要一种简化的分析方法。
一般地，对于一个网络有Y、Z和S参数可用来测量和分析，Y称导纳参数，Z称为阻抗参数，S称为散射参数；前两个参数主要用于集总电路，Z和Y参数对于集中参数电路分析非常有效，各参数可以很方便的测试；但是在微波系统中，由于确定非TEM波电压、电流的困难性，而且在微波频率测量电压和电流也存在实际困难。因此，在处理高频网络时，等效电压和电流以及有关的阻抗和导纳参数变得较抽象。与直接测量入射、反射及传输波概念更加一致的表示是散射参数，即S参数矩阵，它更适合于分布参数电路。 S参数就是建立在入射波、反射波关系基础上的网络参数，适于微波电路分析，以器件端口的反射信号以及从该端口传向另一端口的信号来描述电路网络。同N端口网络的阻抗和导纳矩阵那样，用散射矩阵亦能对N端口网络进行完善的描述。阻抗和导纳矩阵反映了端口的总电压和电流的关系，而散射矩阵是反映端口的入射电压波和反射电压波的关系。散射参量可以直接用网络分析仪测量得到，可以用网络分析技术来计算。只要知道网络的散射参量，就可以将它变换成其它矩阵参量。
下面以二端口网络为例说明各个S参数的含义，如图所示。二端口网络有四个S参数，Sij代表的意思是能量从j口注入，在i口测得的能量，
如S11定义为从 Port1口反射的能量与输入能量比值的平方根，也经常被简化为等效反射电压和等效入射电压的比值，
各参数的物理含义和特殊网络的特性如下：
<font style="FONT-SIZE: 16px" face=宋体 color=#：端口2匹配时，端口1的反射系数；
<font style="FONT-SIZE: 16px" face=宋体 color=#：端口1匹配时，端口2的反射系数；
<font style="FONT-SIZE: 16px" face=宋体 color=#：端口1匹配时，端口2到端口1的反向传输系数；
<font style="FONT-SIZE: 16px" face=宋体 color=#：端口2匹配时，端口1到端口2的正向传输系数；
对于互易网络，有：S12＝S21；
对于对称网络，有：S11＝S22 对于无耗网络，有：（S11）2＋（S12）2＝1 ；
<font style="FONT-SIZE: 16px" face=宋体 color=#表示插入损耗，也就是有多少能量被传输到目的端（Port2）了，这个值越大越好，理想值是1，即0dB，S21越大传输的效率越高，一般建议S21&0.7，即－3dB。
我们经常用到的单根传输线，或一个过孔，就可以等效成一个二端口网络，一端接输入信号，另一端接输出信号，如果以Port1作为信号的输入端口， Port2作为信号的输出端口，那么S11表示的就是回波损耗，即有多少能量被反射回源端（Port1），这个值越小越好，一般建议S11& 0.1，即－20dB，
非常好我支持^.^
不好我反对
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( 发表人：发烧友 )
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