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尔雅公开课数学文化答案
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高中数学知识点
一、知识结构
　　　　本小节首先从代数与几何涉及的集合实例人手，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明．然后，介绍了集合的常用表示，包括列举法、描述法，还给出了画图表示集合的例子．
　　二、重点难点分析
　　　　这一节的重点是集合的基本概念和表示方法，难点是运用集合的三种常用表示方法正确表示一些简单的集合．这一节的特点是概念多、符号多，正确理解概念和准确使用符号是学好本节的关键．为此，在教学时可以配备一些需要辨析概念、判断符号表示正误的题目，以帮助学生提高判断，加深理解集合的概念和表示方法．
　　1．关于牵头图和引言分析
　　　　章头图是一组跳伞队员编成的图案，引言给出了一个实际问题，其目的都是为了引出本章的内容无论是分析还是解决这个实际间题，必须用到集合和逻辑的知识，也就是把它化．一方面提高用数学的意识，一方面说明集合和简易逻辑知识是数学重要的基础．
　　2．关于集合的概念分析
　　　　点、线、面等概念都是几何中原始的、不加定义的概念，集合则是集合论中原始的、不加定义的概念．
　　　　初中代数中曾经了解&正数的集合&、&不等式解的集合&；初中几何中也知道中垂线是&到两定点距离相等的点的集合&等等．在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有一个初步认识．教科书给出的&一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集．&这句话，只是对集合概念的描述性说明．
　　　　我们可以举出很多生活中的实际例子来进一步说明这个概念，从而阐明集合概念如同其他数学概念一样，不是人们凭空想象出来的，而是来自现实世界．
　　3．关于自然数集的分析
　　　　教科书中给出的常用数集的记法，是新的国家标准，与原教科书不尽相同，应该注意．
　　　　新的国家标准定义自然数集N含元素0，这样做一方面是为了推行国际标准化组织（ISO）制定的国际标准，以便早日与之接轨，另一方面，0还是十进位数｛0，1，2，&，9｝中最小的数，有了0，减法运算
仍属于自然数，其中
．因此要注意几下几点：
　　&&& （1）自然数集合与非负整数集合是相同的集合，也就是说自然数集包含0；
　　&&& （2）自然数集内排除0的集，表示成
，其他数集{如整数集Z、有理数集Q、实数集R}内排除0的集，也可类似表示
　　&&& （3）原教科书或根据原教科书编写的教辅用书中出现的符号如
&不再适用．
　　&&& 4．关于集合中的元素的三个特性分析
　　　　集合中的每个对象叫做这个集合的元素．例如&中国的直辖市&这一集合的元素是：北京、上海、天津、重庆。
　　　　集合中的元素常用小写的拉丁字母
，&表示．如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作
；否则，就说a不属于A，记作
　　&&& 要正确认识集合中元素的特性：
　　&&& （l）确定性：
，二者必居其一．
　　&&& 集合中的元素必须是确定的．这就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．例如，给出集合{地球上的四大洋}，它的元素是：太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋．其他对象都不用于这个集合．如果说&由接近
的数组成的集合&，这里&接近
的数&是没有严格标准、比较模糊的概念，它不能构成集合．
　　&&& （2）互异性：若
　　　　集合中的元素是互异的．这就是说，集合中的元素是不能重复的，集合中相同的元素只能算是一个．例如方程
有两个重根
，其解集只能记为｛1｝，而不能记为｛1，1｝．
　　&&& （3）无序性：｛a，b｝和｛b，a｝表示同一个集合．
　　&&& 集合中的元素是不分顺序的．集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l，0）和点（0，l）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合．
　　&&& 5．要辩证理解集合和元素这两个概念
　　&&& （1）集合和元素是两个不同的概念，符号和是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系．例如
的写法就是错误的，而
的写法就是正确的．
　　&&& （2）一些对象一旦组成了集合，那么这个集合的元素就是这些对象的全体，而非个别现象．例如对于集合
，就是指所有不小于0的实数，而不是指&
可以在不小于0的实数范围内取值&，不是指&
是不小于0的一个实数或某些实数，&也不是指&
是不小于0的任一实数值&&&
　　&&& （3）集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件．
　　&&& 6．表示集合的方法所依据的国家标准
　　　　本小节列举法与描述法所使用的集合的记法，依据的是新国家标准如下的规定．
　　意义或读法
　　备注及示例
　　诸元素
　　也可用
，这里的I表示指标集
　　使命题
为真的A中诸元素之集
，如果从前后关系来看，集A已很明确，则可使用
来表示，例如
　　此外，
有时也可写成
　　7．集合的表示方法分析
　　　　集合有三种表示方法：列举法、描述法、图示法．它们各有优点．用什么方法来表示集合，要具体问题具体分析．
　　　　（l）有的集合可以分别用三种方法表示．例如&小于
的自然数组成的集合&就可以表为：
　　　　 ①列举法：
　　　　 ②描述法：
　　　　 ③图示法：如图1。
　　　　 （2）有的集合不宜用列举法表示．例如&由小于
的正实数组成的集合&就不宜用列举法表示，因为不能将这个集合中的元素&一列举出来，但这个集合可以这样表示：
　　　　 ①描述法：
　　　　 ②图示法：如图2．
　　　　 （3）用描述法表示集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义．例如：
　　　　 ①集合
中的元素是
，它表示函数
的取值范围，即
　　　　 ②集合
中的元素是
，它表示函数值。的取值范围，即
　　　　 ③集合
中的元素是点
，它表示方程
的解组成的集合，或者理解为表示曲线
上的点组成的集合；
　　　　 ④集合
中的元素只有一个，就是方程
，它是用列举法表示的单元素集合．
　　　　实际上，这是四个完全不同的集合．
　　　　列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法．要注意，一般无限集，不宜采用列举法，因为不能将无限集中的元素&一列举出来，而没有列举出来的元素往往难以确定．
　　&& &8．集合的分类
　　　　含有有限个元素的集合叫做有限集，如图1所示．
　　　　含有无限个元素的集合叫做无限集，如图2所示．
　　9．关于空集分析
　　　　 不含任何元素的集合叫做空集，记作
．空集是个特殊的集合，除了它本身的实际意义外，在研究集合、集合的运算时，必须予以单独考虑．
　　教学设计方案
　　知识目标：
　　　　（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法
　　　　（2）使学生初步了解&属于&关系的意义
　　　　（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
　　能力目标：
　　　　（1）重视基础知识的教学、基本技能的训练和能力的培养；
　　　　（2）启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题；
　　　　（3）通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力；&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
　　德育目标：
　　　　激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神。
　　教学重点：集合的基本概念及表示方法
　　教学难点：运用集合的两种常用表示方法&&列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
　　授课类型：新授课
　　课时安排：2课时
　　教&&& 具：多媒体、实物投影仪
　　教学过程：
　　一、引入：
　　　　1．简介数集的发展，复习最大公约数和最小公倍数，质数与和数；
　　　　2．教材中的章头引言；
　　　　3．集合论的创始人&&康托尔（德国数学家）；
　　　　4．&物以类聚&，&人以群分&；
　　　　5．教材中例子（P4）。
　　二、讲解新课：&&
　　　　阅读教材第一部分，问题如下：
　　　　（1）有那些概念？是如何定义的？
　　　　（2）有那些符号？是如何表示的？
　　　　（3）集合中元素的特性是什么？
　　（一）集合的有关概念（例子见书）：
　　　　1、集合的概念
　　　　（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合。
　　　　（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
　　　　2、常用数集及记法
　　　　（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合。记作N
　　　　（2）正整数集：非负整数集内排除0的集。记作N*或N+
　　　　（3）整数集：全体整数的集合。记作Z
　　　　（4）有理数集：全体有理数的集合。记作Q
　　　　（5）实数集：全体实数的集合。记作R
　　　　（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
　　　　（2）非负整数集内排除0的集。记作N*或N+ 、Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
　　　　3、元素对于集合的隶属关系
　　　　（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a&A；
　　　　（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
　　　　4、集合中元素的特性
　　　　（1）确定性：
　　　　按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
　　　　（2）互异性：
　　　　集合中的元素没有重复。
　　　　（3）无序性：
　　　　集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
　　　　1、集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q&&
　　　　　元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q&&
　　　　2、&&&的开口方向，不能把a&A颠倒过来写。
　　练习题
　　　　1、教材P5练习
　　　　2、下列各组对象能确定一个集合吗？
　　　　（1）所有很大的实数。 （不确定）
　　　　（2）好心的人。&&&&&& （不确定）
　　　　（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）
　　阅读教材第二部分，问题如下：
　　　　1．集合的表示方法有几种？分别是如何定义的？
　　　　2．有限集、无限集、空集的概念是什么？试各举一例。
　　（二）集合的表示方法
　　　　1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合的方法。
　　　　例如，由方程
的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}．
　　　　注：（1）有些集合亦可如下表示：
　　　　　　从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，&，100}
　　　　　　所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，&}
　　　　（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
　　　　描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法。
　　　　格式：{x&A| P（x）}&
　　　　含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合。
　　　　例如，不等式
的解集可以表示为：
　　&&&&& 所有直角三角形的集合可以表示为：
　　注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分。
　　&&&&&&& 如：{直角三角形}；{大于104的实数}
　　　　（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
　　　　3、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。
　　注：何时用列举法？何时用描述法？
　　　　（1） 有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。
　　　　如：集合
　　　　（2） 有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
　　　　如：集合
；集合{1000以内的质数}
　　注：集合
是同一个集合吗？
　　答：不是。
　　　　集合
是点集，集合
　　（三） 有限集与无限集
　　　　1、& 有限集：含有有限个元素的集合。
　　　　2、& 无限集：含有无限个元素的集合。
　　　　3、& 空集：不含任何元素的集合。记作&P，如：
　　练习题：
　　　　1、P6练习
　　　　2、用描述法表示下列集合
　　　　①{1，4，7，10，13}&&&&&&&&&&&&
　　　　②{-2，-4，-6，-8，-10}&&&&&&&&&&
　　　　3、用列举法表示下列集合
　　　　①{x&N|x是15的约数}&&&&&&&&&&& {1，3，5，15}
　　　　②{（x，y）|x&{1，2}，y&{1，2}}& {（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
　　注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
　　　　③
&&&&&&&&&&&&&
　　　　④
&&&&&&&&&&&&&& {-1，1}
　　　　⑤ &
{（0，8）（2，5），（4，2）}
　　　　⑥
　　&{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
　　三、小&&& 结：
　　　　本节课学习了以下内容：
　　　　1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集）
　　　　2．集合的表示方法：（列举法、描述法、文氏图共3种）
　　　　3．常用数集的定义及记法
　　四、课后作业：教材P7习题1.1
　　五、板书设计：
　　一、知识点
　　（一）
　　（二）
　　例题：
　　六、课后反思：
　　　　 本节课在教学时主要教会学生学习集合的表示方法，在认识集合时，应从两方面入手：
　　　　（1）元素是什么？
　　　　（2）确定集合的表示方法是什么？表示集合时，与采用字母名称无关。
　　探究活动
　　【题目】数集A满足条件：若
　　（1）若
，试求出A中其他所有元素；
　　（2）自己设计一个数属于A，然后求出A中其他所有元素；
　　（3）从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个&道理&．
　　【参考答案】
　　（1）其他所有元素为－1，
　　（2）略
　　（3）A中只能有3个元素，它们分别是
且三个数的乘积为－1．&&
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用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非负奇数组成的集合；②平面直角坐标系内所有第三象限的点组成的集合；③所有周长等于10cm的三角形组成的集合；④方程x2+x+1=0的实数根组成的集合．
题型：解答题难度：中档来源：不详
①由题意可知：由所有非负奇数组成的集合为{x|x=2n-1，n∈N*}，是无限集．②由题意：描述法表示“平面直角坐标系第三象限内的所有点”构成的集合为：{（x，y）|x＜0，y＜0}；是无限集．③所有周长等于10cm的三角形组成的集合{x|x是周长等于10cm的三角形}；是无限集．④方程x2+x+1=0没有实数根，即其组成的集合?，是有限集．
马上分享给同学
据魔方格专家权威分析，试题“用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非..”主要考查你对&&集合的含义及表示&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
现在没空？点击收藏，以后再看。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
集合的含义及表示
集合的概念：
1、集合：一般地我们把一些能够确定的不同对象的全体称为集合（简称集）； 集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……。&&&&& 元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素，元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……2、元素与集合的关系：& （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A&（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作 3、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集Ф（2）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集
常用数集及其表示方法：&
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合.记作N&（2）正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+&（3）整数集：全体整数的集合.记作Z&（4）有理数集：全体有理数的集合.记作Q&（5）实数集：全体实数的集合.记作R&集合中元素的特性：
（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.&任何一个元素要么属于该集合，要么不属于该集合，二者必具其一。（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.&（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.易错点:（1）自然数集包括数0.&&&&&&&&&（2）非负整数集内排除0的集.记作N*或N+，Q、Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z
发现相似题
与“用适当的方法表示下列集合，并指出是有限集还是无限集？①由所有非..”考查相似的试题有：
516735481530812055407000397255884831}