一类二阶非线性微分方程的求解

(江汉大学数学系, 湖北武汉　430019)

摘要:借助于引理, 在一定条件下, 给出一类二阶非线性微分方程, 及其相应的二阶二次微分方程的求解

法, 并提供通解嘚表达式

关键词:二阶非线性微分方程; 二阶二次微分方程; 求解法; 通解公式中图分类号:O175　　　文献标识码:A

　　文[1]仅研究二阶二次微分方程

在巳知方程(33) 3及(3) 的解的结构. 本文借助下面的引理在一定条件下, 2

的求解方法及其通解公式.

引理　若有特定函数λ=λ(x ) , 满足

(x ) y 2, 整理得将上式两边同加上λ′

为了确定待定函数λ(x ) , 令(5) 的右边第二项

y 2的系数等于零, 得

而(6) 的第一个方程是黎卡提方程, 在一般情况下是不能用初等积分求解. 因此改用验证嘚方法, 若有待定函数λ=λ(x ) , 满足.

由(6) 的第二个方程有

第2期陈肖石:一类二阶非线性微分方程的求解85　

注　此引理实际上是文[2]的定理的1°. 本文给出詳尽的证明, 还列出系1、系2、系3、系4, 这实际上是对[2]定理二的充实与提供应用上的方便.

定理A 　二阶非线性微分方程

则方程(8) 的通解为

证明　先将方程(8) 两边同乘以xy α-2, 再令u =y α, 可将方程(8) 化为二阶变系数非齐次线性方程

令R (x ) ≡0, 由定理A 即得定理B 　二阶二次微分方程

则方程(11) 的通解为

86　邵阳高等专科学校学报第13卷

x ) d x ]很明显, 对于定理B 也可刊出相应的4个推论. 例1　解二阶二次微分方程

-于是依据定理B , 原方程的通解为

例2　解二阶二次微分方程

里取a =1≠0, 于是依据推论2, 知原方程的通解为

1　彭向阳. 二阶二次微分方程的解[J].长沙大学学报,) :18～20

2　汤光宋. 可积变系数线性微分方程(组) 的构造与解法[J].江漢大学学报,) :8～15