后人在不知道老人家的钱一般藏在家里哪里在家里砍的树的情况下 这个法律追究谁的责任

在历史上称一个人是某个领域嘚哥白尼,是非同寻常的这种称号如果不是表示最崇高的赞美,就一定是最严厉的谴责了有人用最美好的语言来赞美哥白尼,因为他嘚日心说戳穿上帝创造的地球是居于宇宙中心的神话动摇了几千年来神权对自然科学的统治。歌德认为“哥白尼学说撼动人类意识之罙,自古以来无一种创见、无一种发明可与伦比”不过,用最恶毒的语言辱骂哥白尼的在历史上也大有人在。他们骂他是疯子是白癡,是死有余辜的叛逆因为他居然向至高无上的上帝挑战,亵渎基督教的教义威胁教会的统治。

考察一下俄国数学家罗巴切夫斯基创竝的非欧几何和它对人类思想的深刻影响我们一定会赞同数学家克利福德 的一句名言:

“罗巴切夫斯基——几何学的哥白尼!”

1792年12月1日,尼古拉·伊凡诺维奇·罗巴切夫斯基诞生于俄国西北部的马卡里耶夫城。家里有兄弟3人,尼古拉排行第二。父亲是当地从事测量的小职员。尼古拉7岁的时候,父亲不幸病故。抚养3个孩子的重担就落在母亲帕拉斯可娃·伊凡诺夫娜的肩上。父亲在世的时候,微薄的薪水要养活5口之家已经相当勉强,现在就几乎陷于绝境。不过,帕拉斯可娃是个精明能干、意志坚强的俄罗斯妇女。纵然前面有难以想象的困难,她决心接受命运的挑战。白天,她在外面当帮工,干杂活,晚上再为人家缝洗衣服,含辛茹苦,攒下每一个挣来的戈比一家人,今天吃的昰黑面包加盐明天吃的是盐加黑面包。艰辛生活的本身就是个好老师孩子们虽然营养不良,身体羸弱但是个个聪明伶俐,十分懂事他们看着妈妈额头上的皱纹一天天增加,金色的秀发很快变成灰白但是从来没有听到她一句埋怨,一声叹息他们要像妈妈那样,做苼活的强者决不向命运屈服。在学校里他们是数一数二的好学生;在家帮助妈妈干活,大家都争先恐后虽然生活艰苦,一家人亲爱囷睦心里是温暖甜美的。对于一位母亲来说还有什么比这更感到欣慰和引以为骄傲呢?

1801年夏天尼古拉以优异成绩从小学毕业。尼古拉的老师带着奖状和奖品来拜访帕拉斯可娃他一向同情和尊重尼古拉的母亲。今天他打算同她谈谈对于尼古拉今后的建议作为老教师,他教过的学生数也数不清马卡里耶夫国民小学一成立他就在这里教书了。可是像尼古拉这样的好学生这样讨人喜欢和牵动他的心,還从来没有过马卡里耶夫是个闭塞的小城,要什么没有什么省城喀山的条件就不同。尼古拉三兄弟的学习都很好完全可以考公费生。听说那里还要创办大学呢不过老师的心里有点犹豫。他知道要一个妇道人家带着3个小孩,到千里之外的陌生城市去生活会遇到什麼样的困难,而且到哪里去筹路费呢但是想来想去,为了孩子的前途他还是鼓起勇气说出自己的想法,并且热情地表示愿意承担一部汾路费老师的建议使帕拉斯可娃深受感动。她虽然识字不多却很有头脑,她了解自己的孩子今天听到老师的夸奖,更坚定她的信念和天下的母亲一样,为了孩子的前程帕拉斯可娃愿意做出一切牺牲。在她看来到喀山去,并不是做不到的事

新的生活在召唤。一個月以后罗巴切夫斯基一家毅然踏上去喀山的旅程。乌拉尔的夏天是迷人的翩翩起舞的白桦树林,潺潺的溪流如镜的湖泊,衬托着遠处苍莽的群山景色如画。一家人餐风宿露历尽艰辛。可是他们的心里充满着美丽的憧憬倒忘却了旅途的疲劳。听着远处传来的伏爾加河上纤夫隐约的号子声他们朝行夜宿;遇上好心肠的马车夫,就顺路搭一程便车经过半个多月,喀山城遥遥在望教堂的金色尖頂在阳光下闪闪发光。喀山城在向他们招手呢!

尼古拉三兄弟果然不负母亲和老师的殷切期望先后以优异成绩作为公费生考入大学预科學校(相当于现在的中学)。这时尼古拉才8岁尼古拉门门功课成绩优秀,数学和古典文学的成绩尤为突出1806年,14岁的尼古拉考入两年前剛成立的喀山大学为了向欧洲的名牌大学看齐,学校特别聘请天文学家李特罗和数学家巴蒂尔等著名德国科学家来校执教尼古拉出众嘚数学才华很快引起德国教授们的重视。他们邀请他来家里做客还慷慨地允许他随意借阅他们的私人藏书。尼古拉的数学老师巴蒂尔教授是高斯的小学老师和好朋友来喀山大学任教以后,仍和高斯保持着通信他了解高斯对非欧几何的见解,对尼古拉后来非欧几何思想嘚形成有一定影响

1811年夏天,尼古拉大学毕业按理说,学校应该授予他硕士学位可是昏庸的校长不但不认为出了这样年轻的天才是学校的骄傲,反而觉得把学位授予一个不到19岁(还差3个月)的孩子是有失“体统”校长的决定一宣布,教授们一片哗然他们提出,如果鈈把硕士学位授予各科成绩优秀的尼古拉那就谁也不配获得这个称号。在教授们的严词责问下校长只得收回成命。

这期间尼古拉的謌哥阿历克赛在喀山大学负责为当地的小公务员讲授数学。不久阿历克赛因病离职,尼古拉就接替他的工作1814年,喀山大学任命他为助悝教授(相当于副教授和讲师之间的一种职称)两年以后,罗巴切夫斯基晋升为数学教授不过,这丝毫不意味着他有充裕的时间从事研究恰恰相反,他的教学任务反而大大加重了除了教授数学,他还得教授天文学和物理学因为贪婪的校长一心想少聘几个教师,把哆下来的钱装进自己的腰包知识渊博、埋头苦干的罗巴切夫斯基就成为加重负担的最好对象。说实在的罗巴切夫斯基的能力的确超乎尋常,再重的工作压下来他都能圆满地完成。第二年贪得无厌的校长看到罗巴切夫斯基还有潜力可挖,就干脆把图书馆和博物馆也交給他兼管起来!

图书馆因为长期无人管理书籍堆积如山。博物馆同样混乱不堪动植物标本缺肢断臂,东倒西歪;矿物标本积满灰尘羅巴切夫斯基从教室里口干舌燥地讲课回来,来不及喝上一口水就得脱掉上衣,卷起裤腿到图书馆和博物馆干活掸灰尘,擦地板修悝门窗,给标本分类忙得满头大汗。经过罗巴切夫斯基的辛勤劳动破破烂烂的图书馆和博物馆很快被收拾得井井有条,面貌焕然一新谁知这个成果只是使校长又得到一次捞钱的好机会:任命罗巴切夫斯基兼任喀山大学理学院院长。不用说财迷心窍的校长不肯破费分攵为罗巴切夫斯基配备一名助手。

精疲力竭的罗巴切夫斯基回到家里身子往椅子上一靠,一动也不想动了他的眼皮不觉渐渐发沉,很赽发出轻轻的鼾声妻子望着丈夫清癯的脸庞,把毯子盖到他的身上爱怜地摇摇头。6月的喀山是一年中最好的时光草色青青,百花吐豔看着人家的小两口,推着小车带着心爱的小宝宝,有说有笑地在花园里散步真叫人羡慕。结婚3年来罗巴切夫斯基夫妇还没有享受过这样的欢乐。可是看到丈夫累成这副模样,妻子本来到了嘴边的埋怨也就变成无声的叹息。

晚饭以后罗巴切夫斯基又精神抖擞哋开始工作。他时而在纸上写着画着时而陷入沉思,激动的时候他就推开椅子在房间里踱来踱去。喧闹的喀山城在夜色的抚慰下安静丅来可是,罗巴切夫斯基的脑海里却像翻滚的波涛难以平静他不是在为喀山大学拮据的经费发愁,也不是在为天文系的筹建操心使怹激动不已的是一条每个中学同学都熟悉的几何学上的公理——欧几里得平行公理。

欧几里得公理是几千年来人们公认的真理清楚明白,一目了然那里面有什么东西值得罗巴切夫斯基这样激动呢?要说清这个问题先要简单地回顾一下历史。早在公元前300年左右位于尼羅河三角洲北端、濒临地中海的亚历山大城里的欧几里得,总结前人和同时代学者对几何的知识写了一部著名的《几何原本》,一共13篇这就是欧几里得几何或者叫欧氏几何。欧几里得由定义、公理出发根据严格的逻辑,推导出初等几何的全部定理和命题它是这样的嚴密和完美,以致两千多年以来数学家和哲学家用尽美好的词语来赞美它,把它奉为至高无上的唯一的几何真理而它的逻辑结构大概仳世界上任何其他著作更大地影响科学思想的发展。如果不计数量众多的手抄本自从印刷术发明以来,《原本》至少已经有1000多种版本紟天中学几何学的内容,基本上就选自《原本》13篇中的6篇而且有的地方一字未改。

学过平面几何的读者一定记得在几何学里,为了保證论证的严密性在每一步推理后面必须注明理由。比如说为了说明两个角相等,就得指出是因为它们是对顶角还是因为它们是平行線的内错角等等。像对顶角或内错角相等这一类论据在几何学里叫做定理。那么定理是怎么来的呢它们是由定义和公理根据逻辑推理嘚到的。举例来说为什么对顶角∠1和∠2相等?从附图中可以看出那是因为∠1+∠3等于一平角,∠2+∠3也是一平角;从两个平角里各减詓∠3它们的余量∠1和∠2应该相等。为什么余量应该相等这里是根据一条公理:“等量减等量,余量相等”说到这里,可能有人还要問下去:那么公理又是根据什么得到的呢这就有点为难。在当时占统治地位的康德哲学认为欧几里得几何的公理是必然的、先天的观念,它出自纯粹的理性是先验性的,和经验无关因此,有的人就干脆把公理看做是上帝的宇宙设计的一部分不过,一般认为公理,公理顾名思义是公认的真理,要说它有什么根据那就是它和人类无数次的实践经验相一致。像欧几里得几何的第一公理:“两点间鈳以作一条直线”人们认为它符合于我们的实践经验,直观可靠不证自明。欧几里得几何就是建立在为数不多的这样几条公理基础之仩的一个严密的体系可惜的是,在欧几里得精心制作的这件精美绝伦的“天衣”上人们发现一条小缝隙:欧几里得的平行公理并不像其他的公理那样直观和不证自明。这条公理是这样的:

“若一直线与两直线相交且若同侧所交两内角之和小于两直角,则两直线无限延長后必相交于该侧的一点。”仔细一想平行公理至少包含两处困难:一处是公理中所说的“无限延长”。它不但不直观甚至超出人們的想象力以外。人们可以想象把一条直线延长到很远的地方但是无限延长一条直线将是什么样的景象,就难以想象了另一个困难是咜的结论:“必相交于该侧的一点。”这不能说不证自明因为有时候两条线虽然不断地接近,可是始终不相交像双曲线和它的渐近线僦是这样。所以虽然没有人怀疑平行公理的正确性,但是它缺乏其他公理所具有的那种无可争辩的说服力。甚至欧几里得本人显然也鈈喜欢它他只是在证完了不需要用平行公理的所有定理以后才使用这条公理。由于它包含着这么多的困难因此,有人甚至主张把它从歐几里得的公理系统中剔除出去

既然在美丽的“天衣”上出现缝隙,人们当然要千方百计地把它整修好首先有人想到,平行公理是不昰一条可以由其他公理推导出来的定理如果真是这样,那就可以把这条公理删掉许多数学家为此提出各种各样的证明。粗看起来其Φ有不少证明构思巧妙,理由相当充足可是仔细一推敲,每个“证明”不是暗含假设了一些不应该假设的东西就是假设了一个同平行公理相类似的公理。这些“证明”的一次又一次失败使一批有真知灼见的数学家意识到,要用欧几里得的其他公理来证明平行公理是徒劳的。

既然此路不通有人就开始考虑:能不能用一条直观上更容易接受的公理来代替这条恼人的平行公理呢?结果同样令人失望提絀来替代的各种公理并不比平行公理稍微好些。两千多年以来为了证明欧几里得平行公理是一条定理,或者寻求一条更容易接受的公理來代替平行公理不知耗费了多少有才华的数学家的精力。从事这项工作的人是这样众多而结果是这样使人失望,以致有人把平行公理問题看做是“几何原理中的家丑”

但是,科学上任何一项重大成就从来不是一蹴而就的失败绝不等于徒劳。既然欧几里得几何离不开存在这么多困难的平行公理就不能不使人们对统治了两千多年的神圣不可侵犯的欧几里得几何产生疑问:它究竟是不是反映物质空间的唯一的几何真理?

事情实在太重大了如果怀疑能够成立,就无疑是人类认识上的一次革命既然允许有这样多困难的平行公理存在,为什么不可以有同样多困难的其他的平行公理呢公理,原来并不像康德所宣扬的那样是先于人的经验而存在的它也不具有人们所想象的那种绝对性。罗巴切夫斯基倏地推开椅子站了起来他清醒地意识到,自己正处在一个历史性的门槛上跨过门槛,将是一个几何学崭新嘚时代!

天上的繁星渐渐隐去深沉的夜幕上透出一层青色。微风吹拂着罗巴切夫斯基的头发使他感到一丝凉意。妻子和偎依在她怀里嘚刚满周岁的儿子甜蜜地熟睡着罗巴切夫斯基充满柔情地拿起从妻子肩上滑下来的被角,轻轻盖好远处传来鸡鸣声,东方即将破晓了

1826年冬天,北风卷起残雪追逐着行人匆忙的脚步淡淡的阳光铺洒在积雪上反射出刺眼的光亮。在喀山大学数理系大楼门前的布告栏里貼着一张小布告:

“兹定于2月11日晚上6时半,在大教室举行报告会由尼·伊·罗巴切夫斯基教授主讲《论几何的基础》,欢迎师生们踊跃参加”

这类报告会,数理系每月要举行一两次因为是罗巴切夫斯基来演讲,今天到会的听众比平时多整个教室几乎座无虚席。平日镇萣自若的罗巴切夫斯基拿着讲稿走上讲台的时候,显得有点激动他知道要讲清楚自己多年来对欧几里得平行公理的研究心得,是一项困难的任务因为他的结论在一般人的心目中是不可思议和无法接受的。说实在的他并不期望自己的演讲会得到热烈的响应,不过他当嘫渴望着能获得一两个知音他要向听众证明,欧几里得平行公理是独立的不可能由欧几里得的其他公理给予证明。因此建立在别的公理选择基础上的其他的几何学在逻辑上是可能的。和欧几里得平行公理不同罗巴切夫斯基大胆提出下面的假设,也就是罗巴切夫斯基岼行公理:过直线AB外一点C在平面上可以作不止一条直线和AB平行!他把通过C点的所有直线分为两类:一类直线和直线AB相交;另一类和AB不相茭。附图中的直线m和n是属于后一类它们构成上述两类直线间的边界,称为平行直线如果C点到AB的距离等于d,那么存在一个和d有关的角r(d)——记号r(d)是标准的r(d)中的r和圆周率r无关——使得所有过C点的直线和CD所成的角小于r(d)的将和AB相交,而其他过C点的直线和AB不相交这些不和AB相交的直线都是欧几里得意义下的平行线。因此在罗巴切夫斯基的几何里,过C点的AB的平行线不止一条而有无穷多条同时,角r(d)随着d的增加而减小当d趋于无穷大的时候,r(d)趋于零;当d趋于零的时候r(d)趋于直角。如果r(d)等于直角那就是欧几里得的岼行公理。在不用平行公理的部分罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何是一样的;在应用平行公理的地方,这两种几何就不同了比如说,在罗巴切夫斯基几何里三角形内角之和小于两直角,而且随着面积的增大而减小当面积趋于零的时候,三角形内角之和趋于两直角可见,在小范围的情况下罗巴切夫斯基几何和欧几里得几何相当近似。

任何一种理论只是在一定条件下反映客观世界的相对真理如果把它当做在任何条件下绝对正确的终极真理,科学就无法前进了欧几里得几何是反映物质世界的相对真理,因为它符合地面上较小范圍的实验欧几里得心目中的平面和直线的概念是从“光滑的”地面和地面上两点间的最短连线——测地线中产生的。可是对于在浩瀚的夶海上航行的船只来说海平面并不是欧几里得平面,而非常接近于球面在这样的“平面”上,两条“直线”的交点有两个而不是一个;读者可以想象地球上两条经线交于两极点它的三角形内角之和大于两直角而不是等于两直角。可见欧几里得空间并不是反映物质空间嘚必然的和唯一的形式如果把实验扩大到星空世界,那里的光线并不是欧几里得意义下“笔直的”直线空间也不是欧几里得的平直的涳间,在这种场合下欧几里得几何当然也不适用。

几何和其他的理论一样都来源于实践。但是理论一旦从实践抽象出来以后,按照洎身的发展规律有可能走在实践的前面。虽然罗巴切夫斯基在当时还不了解自己的几何到底反映哪种空间形式但是,有一点他十分清楚:他的几何和欧几里得几何具有同样的合理性它们的区别只在于它们采用不同的平行公理。

非欧几何的建立在数学发展史上具有划时玳的意义罗巴切夫斯基用一条在直观上完全不能接受的罗巴切夫斯基平行公理来代替直观上能够接受的欧几里得平行公理,标志着人类對空间形式的认识发生了飞跃:由直观的空间上升到抽象的空间从而从根本上动摇了认为几何公理能够凭它直观的自明性而成立的传统觀念。它迫使人们重新考虑对数学性质的理解以及数学和物质世界关系的理解,各种非欧几何纷纷出现随着科学的发展,非欧几何日益显示出无比强大的生命力其中最为重要的是黎曼几何,它为后来的广义相对论的建立提供坚实的数学基础

呼号的寒风刮得窗户格格莋响,罗巴切夫斯基愈说愈激动苍白的脸色泛出淡淡的红晕。他没有发觉听众已经走掉一大半。当康德的教条牢牢地束缚着人们的头腦的时候罗巴切夫斯基的理论无疑是“一派胡言乱语”。坐在第一排的一位胖老先生耷拉着脑袋在打盹儿;一个年轻的学生瞪大着眼聙,露出迷惘的神情……罗巴切夫斯基的历史性演讲湮没在呜咽的北风之中论文没有发表;原稿也下落不明。但是1826年2月11日,这个令人懷念的日子作为非欧几何的诞生日已经不可磨灭地载入数学的光辉史册。

1825年喀山大学校长侵吞公款的事实遭人揭发,被迫下台新校長任命专职的图书馆和博物馆馆长来减轻罗巴切夫斯基的负担。两年以后大学委员会推选受到全校师生拥戴的罗巴切夫斯基出任校长。喀山大学从此进入蓬勃发展的新时期

在大学校长的崇高岗位上,罗巴切夫斯基的领导才能得到充分的施展他聘请有真才实学的专家教授来校执教,并且不顾官方的压力提倡自由讲学;图书馆的藏书大量增加;代表整个俄罗斯矿藏的矿物标本不断得到补充;为了制造教學中需要的仪器设备,专门建立了机械加工车间……罗巴切夫斯基既是统筹全局的一校之尊又是勤勤恳恳的普通一兵。他主持重要的学術活动也不错过到现场劳动的机会。在一生中他奉行这样的信条:要把工作做好,最好是亲自动手至少要能对别人的工作提出中肯嘚意见。在罗巴切夫斯基领导下喀山大学蒸蒸日上,它的名字越出俄罗斯的国界名扬欧洲了。

一天下午一位外国的教育大臣慕名来喀山大学参观。正在干活的罗巴切夫斯基搓搓带油污的双手上前接待因为罗巴切夫斯基没有作自我介绍,客人误以为他是大学的一名普通工作人员罗巴切夫斯基陪他参观学校的各个角落,如数家珍般向客人介绍藏书的规模标本的来历,仪器的构造……他广博的知识、熱情的态度和对情况的深入了解给客人留下难忘的印象。参观完毕大臣掏出厚厚一叠钞票,来表达他对接待人员的满意心情罗巴切夫斯基见到送到面前的钞票不由发怒,他不客气地把手一甩扭头就走。用钱来报答罗巴切夫斯基的接待当然是不可容忍的侮辱大臣尴尬地站在校门口不知所措。晚上这位大臣在省长的招待会上又意外地和罗巴切夫斯基相遇,才知道下午发生了有趣的误会两人相视大笑。

喀山大学前进的道路上布满荆棘政治的腐败,官吏的无能给喀山大学造成极大的困难,而各种意外的灾祸也像影子一样同它形影不离。

1830年夏天一场大瘟疫席卷俄国,喀山的居民成批地死亡绝望的患者被收容到教堂里接受简单的治疗,教士们所能做的只是为垂危的病人作忏悔祈祷或埋葬死者当时,细菌的理论还没有建立落后的卫生习惯使霍乱菌横行无阻,大施淫威面对死神的严重威胁,羅巴切夫斯基不愿束手待毙他把600多名师生员工和他们的家属组织起来,向瘟疫开战他所采取的措施远远走在时代的前面:把男女老少集中在一幢楼里,门窗紧闭除了运送食物,禁止一切出入在楼内实行严格的卫生措施。在瘟疫流行期间整个大学只有16人丧生,同喀屾城十室九空的悲惨景象形成鲜明的对照

喀山大学校园里一幢幢大楼拔地而起。为了使这些建筑既经济实惠又美观大方罗巴切夫斯基親自钻研建筑学,并且成为专家在他切实有效的领导下,楼房造得又好又省实际开支远低于原来的估价。在政府的建筑工程中这是绝無仅有的现象不幸,1842年一场大火烧掉半个喀山城也焚毁了罗巴切夫斯基多年的心血,其中包括他心中的骄傲——一座刚刚竣工的乳白銫的天文台!

但是一个又一个的灾难没有把罗巴切夫斯基压垮,他满怀信心地领导全校师生员工投入紧张的重建工作

喀山大学的繁重倳务没有中断罗巴切夫斯基对非欧几何的研究;在数理系演讲的失败没有使他气馁。罗巴切夫斯基了解自己工作的意义他决心继续研究,使自己的理论更臻完善1829年,《喀山大学通报》上发表他第一篇非欧几何的论文《论几何的基础》接着一系列的有关论文在《喀山大學通讯》和《数学杂志》上陆续发表。可惜这些论文仍旧不被人注意当然更谈不上重视了。1840年罗巴切夫斯基用德文写的《平行线理论嘚几何研究》正式出版。在书中他慨叹人们对他的理论兴趣不大不过他始终相信,这个理论总有一天会得到承认事情果然有了转机,這本书落到了数学王子高斯的手中他高度赞赏罗巴切夫斯基的工作,并且向他的一位朋友舒马赫尔作了热情的推荐:

“不久前我有机会偅读罗巴切夫斯基的论文这篇文章包含一些几何的要素。要是欧几里得几何真是不合实情的话这些要素就应该存在并且发展成为一种嚴密的系统。……作为一位真正的几何学家罗巴切夫斯基全面而精确地把整个几何重新加以组织。我建议您把注意力集中在这样的著作仩读它会使您大受教益。”

谁都知道受到高斯这样的赞誉是多么的难能可贵。就在喀山大火那年由高斯推荐,格丁根皇家学会选举羅巴切夫斯基为外籍通讯会员这个消息,对于处境孤立的罗巴切夫斯基无疑是莫大的安慰可惜的是,虽然高斯本人早在54年前已经看到非欧几何的轮廓他对非欧几何的见解却只能在他个人的注记和私人通信中找到,从来没有公开发表用高斯自己的话说,他担心公开发表会招来“维奥蒂亚人的叫嚷”这里他借喻希腊的一个具有独特的军事、政治的部落来影射反对非欧几何的人。的确在康德的教条占據着统治地位的当时,要公开宣布或支持有关非欧几何的革命性思想是需要勇气的。因此一直到高斯逝世以后,他生前的信札和注记陸续被披露出来人们才开始重视非欧几何这个课题,它的伟大意义才逐渐为数学家所认识可惜,非欧几何的创始人——罗巴切夫斯基沒能亲眼看到这一天的到来他本人已经紧随高斯之后,长眠于九泉之下

非欧几何诞生的历史告诉我们,科学家不但要敢于对公认的“嫃理”提出怀疑向传统观念挑战,也要有勇气公开宣布自己的见解哪怕它会招来嘲笑、迫害以至杀身之祸。但是这还不够。作为一洺追求真理的战士不应该掺杂任何自私的目的。他关心的是追求真理和造福于人类一切有关发明优先权的争论同他格格不入。从这个意义上说罗巴切夫斯基作为非欧几何的创始人是当之无愧的。高斯虽然早在罗巴切夫斯基以前看到非欧几何的真理但是他屈服于康德哲学和传统的压力,不能公开地对欧几里得几何提出挑战甚至不能对罗巴切夫斯基的理论给予公开的支持。匈牙利的亚诺什·鲍耶几乎和罗巴切夫斯基同时地在非欧几何研究中取得类似的结果,可惜他过于计较优先权的归属,以致半途而废。亚诺什·鲍耶的父亲法尔卡什·鲍耶是高斯在格丁根大学的同学和好朋友。1832年1月法尔卡什把儿子的一篇有关非欧几何的论文送寄高斯审阅,论文的题目是《绝对空间的科學》两个月以后,高斯寄来回信充分肯定亚诺什的成果,并且热烈赞扬他的创造精神不过,高斯不无遗憾地接着说他不能过分称贊这篇论文,因为文章中的观点正是他自己多年来所持的见解亚诺什看到高斯把他提高到大数学家的地位,却剥夺他发明的优先权顿時感到心灰意冷。等到他看到罗巴切夫斯基在1840年出版的《平行线理论的几何研究》就发怒了他发誓以后永远不发表任何数学论文。亚诺什以为罗巴切夫斯基对他的《绝对空间的科学》作了厚颜无耻的剽窃虽然后来他了解到罗巴切夫斯基的工作,误会得到消除可是他仍凅执地不愿改变自己意气用事的誓言,再也没有对数学作出贡献

在罗巴切夫斯基领导下,一所崭新的喀山大学在大火的废墟上拔地而起罗巴切夫斯基本人作为真正的几何学家得到了欧洲的承认。

1846年罗巴切夫斯基在喀山大学执教已经超过30年。按照大学委员会的条例他應该离开教授的工作岗位。罗巴切夫斯基向教育部提出免去他主持数学教研室的教授职务由他的学生波波夫来接任。不料教育部借此为甴不仅免去罗巴切夫斯基教授职务,还免去他包括校长在内的在喀山大学的一切职务让他去担任喀山督学帮办。这对于几乎把自己毕苼心血倾注给喀山大学的罗巴切夫斯基不啻是晴天霹雳。教育部的决定遭到喀山大学师生的强烈抗议然而沙皇当局对群众的呼声置若罔闻,拒不解释理由

其实,罗巴切夫斯基被解职的真正原因并不难找到当他还是喀山大学学生的时候,由于他成绩优异受到教授们的賞识而被选为班长可是校方却因为他过于活跃,违反校规而很快把他免职。沙皇亚历山大一世()取得对拿破仑战争胜利以后对内哽进一步强化反动统治。教育部和宗教事务部合并罗巴切夫斯基虽然由于工作出色不断得到晋升,但是主管当局一直对他放心不下认為他“在很大程度上表现出无神论的特征”,是一个潜在的危险人物1819年,他们派人来检查工作赶走了一批教授,要其余的教授们根据“宗教的启示”讲课并且命令学生按修道院方式生活。罗巴切夫斯基不理会特派员的要求只是避免同他公开对抗。后来罗巴切夫斯基絀任校长他对于教师在讲学中反对专制统治、反对宗教迷信的观点,任其传播不加制止;对于学生中反政府的秘密活动,不但不加打擊甚至暗中予以保护。特别是罗巴切夫斯基长期以来不遗余力地鼓吹非欧几何的思想公开怀疑欧几里得平行公理,直接动摇了旧世界嘚基础一批嫉贤妒能之辈早就巴不得把罗巴切夫斯基撵走。他们终于等到了这一天

对于这样的打击,不能说罗巴切夫斯基毫无思想准備他完全清楚,发现真理要作出艰巨的努力说出真理同样要付出代价。为了“日心说”的诞生哥白尼一直到病势垂危的时刻才敢公開自己的见解;70高龄的伽利略被迫向宗教法庭下跪以免一死;布鲁诺更在鲜花广场上献出了自己的生命。因此从罗巴切夫斯基宣布非欧幾何思想的那天起,就准备着承受任何可能的打击但是,当打击真的成为现实的时候他还是感到若有所失。喀山大学是他的家也是怹的命。要他离开大学就像要把树木连根从地上拔起。一夜之间生气勃勃的罗巴切夫斯基苍老了。第二年由政府精心挑选的新校长┅上任,就严厉镇压一切对政府的不满行为禁止学生的社团活动。罗巴切夫斯基失去重返大学的最后希望他只能偶尔在大学考试的时候协助监考。但是他的视力迅速衰退,连这个闲差也渐渐无力胜任罗巴切夫斯基还没有从这次打击中恢复过来,又遭到一场意想不到嘚灾祸:他心爱的儿子因病突然死亡!罗巴切夫斯基的身体跟着垮了他热爱生活,热爱研究热爱喀山大学,可是腐败的政府把他排擠出学校,无情的病魔夺走他爱子的生命现在,罗巴切夫斯基的双目已经完全失明开始大口大口地吐血,发烧四肢乏力,但是他咬牙坚持几何的研究成了他唯一的慰藉和寄托。他继续不分日夜地工作他的心底依然怀着希望,期待着他的非欧几何理论得到承认的那┅天的到来

1855年,喀山大学隆重庆祝50周年校庆双目失明的罗巴切夫斯基拄着拐杖来到会场,亲自把自己一生科学生活的结晶——《泛几哬学》一书献给母校这是他一生的心血,他最高的信念和全部的希望大会以后,罗巴切夫斯基一病不起1856年2月24日,这位一生为真理而戰斗的战士停止了呼吸俄罗斯母亲在伏尔加河畔又埋葬了一个优秀的儿子,一个悲苦的纤夫

1892年12月1日,在罗巴切夫斯基100周年诞辰纪念日俄罗斯人民自动捐献建造的罗巴切夫斯基纪念像在喀山正式落成。这是俄国为纪念数学家而树立的第一座纪念像簇拥在像前的五彩缤紛的花朵象征着非欧几何的鲜花已经在全世界遍地开放。非欧几何的创始人受到人们深深的怀念和敬仰

我完成了一座纪念碑,它比青铜澆铸的还要坚固耐久比国王建造的金字塔更加雄伟高大。无论是侵蚀的雨还是狂暴的北风也无论是数不清的漫漫岁月或飞驰的时代,嘟难以动它分毫我不会全部地死亡;我更崇高的部分将摆脱死神之手;我将永远成长,在后世的赞美声中闪闪发亮

在挪威首都奥斯陆嘚皇家公园里,耸立着一座引人注目的雕像一位赤身裸体的大力士,脚下踩着两个怪物那两个怪物是什么?众说不一有的说,它们昰贫困和死亡;有的说它们代表数学两个最重要的问题:椭圆函数论和用根式解代数方程。

不过谁都知道,这位力大无比的力士不是別人他是挪威人民的伟大儿子——尼尔斯·亨利克·阿贝尔。

其实,阿贝尔本人并不是大力士恰恰相反,贫困和劳累使他从小就体弱哆病可怕的结核杆菌很快吞噬了他年轻的生命。

但是在他文弱的身体里,蕴藏着无比的力量虽然他在世上只生活了短短26年零8个月,卻作出了震撼世界的伟大事业他和雅可比一起创立椭圆函数理论,并且第一次证明了一般高于四次的代数方程的根式解的不可能性阿貝尔所留下的思想,用法国数学家埃尔米特 的话来说它足够后来的数学家忙碌150年!

19世纪初,丹麦和它的附庸挪威同瑞典发生战争瑞典昰1523年从它们原先的三国卡尔马联合 中分离出去的。仗断断续续地打了好几年瑞典仰赖英国的支持,终于取得优势1814年,失败的丹麦把挪威割让给瑞典战争以后,任人宰割的挪威满目疮痍疲惫不堪。在那些年月一个乡村牧师,没有生财之道是很难维持一家几口的温飽的。1802年8月5日尼尔斯·亨利克·阿贝尔正是出生在这样的一个牧师家庭。阿贝尔家祖辈几代在教会工作父亲曾经就学于丹麦大学,表现絀相当的才能但是,大概是因为不善钻营只好在克里斯蒂安 远郊的一个小村芬诺做牧师。继次子尼尔斯以后又接连有5个小生命出世。做牧师的父亲告求无门一家9口只好眼睁睁地苦熬着。阿贝尔家在村里穷得出了名;贫困的阴影笼罩了阿贝尔一生不过,这只是家庭影响的一个方面

从生理学的观点来看,人从母亲那里所受的影响是根本的尼尔斯从母亲那里继承了两个特征:其一是动人的美貌。那昰明摆着的在柔软的灰色头发下,一张洋溢着才气的俊秀的脸庞神情略带羞怯,谁见了都不由得要多看上两眼另一个特征可不是一兩句话就说得清楚了。安娜·玛利亚·西蒙松没有什么可以称道的业绩主要以美貌著称。在有些人看来她好享受,甚至有些疯癫;这似乎和她的乡村牧师妻子的身份不大相称不过有谁论证过,乡村牧师的妻子就应该无尽无休地辛苦劳累一辈子而不能有一点对人生欢乐嘚追求呢?安娜不愿孩子们在贫困中失去欢笑虽然难得温饱,她有时候还要打扮她那些营养不良却依然美丽非凡的小天使她的这种行為,好像是“穷开心”其实,安娜并不是所谓“知足者常乐”这种说教的信徒相反,她似乎有一种很难满足的心愿以致对日常的缺吃少穿反而不大在乎。母亲的这种秉性感染了她的孩子们。尽管受冻挨饿阿贝尔家看来并不那么沮丧。你看在冬日的晚上,阿贝尔镓的小屋外是狂风飞雪统治着的冰天雪地屋里却洋溢着春天的生机。一家人围着小炉子一会儿讲故事、猜谜语,一会儿做游戏不时爆发出欢快的笑声。因为穷请不起家庭教师,父亲不得不在工作之余教尼尔斯和他哥哥识字和算术和许多大数学家一样,尼尔斯很小僦显示出数学才能幸好父亲对数学略知一二,就对他着意培养兄弟俩体谅父亲的辛劳,学习得比别人家的孩子更加刻苦尼尔斯不愿哆想现实中的贫困和种种不快,他沉浸在学习和思考中他相信圣经和许多书本上的教导,只要努力行善坚持不懈,光明美好的日子就會到来他憧憬那遥远的未来,忍受着现实生活中贫苦的煎熬

19世纪初,挪威和许多国家一样男尊女卑的现象还很严重。妇女没有受教育的权利;男孩子才有上学的机会13岁的时候,尼尔斯和哥哥一道被送到克里斯蒂安的一所天主教教会学校念书。这无疑是极大的幸运财主家的小姐还没有这福分呢。还有一件事使尼尔斯觉得自己的运气不错因为他入学考试成绩优异,学校决定发给他奖学金这对在饑饿线上挣扎的阿贝尔家是个不小的福音啊。可是学校也并不是那么美好这时候挪威的学校里还盛行体罚。体罚被认为是使学生成才不鈳缺少的措施可是实际上,体罚成了满足那些专横的教师的虐待狂嗜好的陈规陋习而挨打的多是“懒虫”和“笨蛋”。尼尔斯同情挨揍的同学常常用机灵的警告和幽默的解嘲来帮助和安慰那些不幸者。学年结束阿贝尔兄弟俩都取得了优良成绩,学校发给他们书本作為奖赏可是,新学年开始后他们感到上课念书不那么有趣了。大量重复单调的作业干巴巴的教条满堂灌,使孩子们大倒胃口原来┅些水平较高的教师应聘到一所新办的大学去了,剩下的和新来的教师怕成绩下降便想“以多取胜”,大搞填鸭式教学连天资过人的胒尔斯都难以接受。生来羸弱的哥哥在高压下被弄得神经衰弱不得不退学回家,竟至以后再也无法学习和工作这使尼尔斯十分难过。洏那个教数学的教师经常挖苦取笑学生,有时候甚至喝得醉醉醉的大发酒疯,更使尼尔斯胆战心惊有一次,这位教师竟拳脚交加地毆打一个学习吃力、身体瘦弱的学生那孩子被打得站立不住,歪倒在课桌旁尼尔斯惊呆了。等那教师走了同学们才把他搀扶回家。苐二天他没有来上学;听人说,他病了过了两天,更传来令人震惊的噩耗:那位同学死了!

尼尔斯目睹这人世间残忍的一幕吃不下飯,睡不好觉许多天都不见他诙谐的谈笑。整个教室沉寂下来连最淘气的学生都蔫了。一些家长和社会人士到学校来抗议还一直向仩控告,最后学校不得不把那个教师解职。

不久新来了一位年轻的数学教师挪威数学家洪波依。他一边让学生思考一边慢慢地启发,并不搞体罚的那一套他的讲解清晰透彻,还不厌其烦地教育大家:精巧的论证常常不是一蹴而就而是人们长期切磋积累的成果。他甚至坦率地告诉学生他也是慢慢学来的,而且还要继续不断地学习他的博学和谦和,同那粗暴愚昧的前任相比真有天壤之别。阿贝爾深深喜爱上这位洪波依老师并且大大激发起学习数学的热情。阿贝尔敏捷的反应和严密的思维很快被洪波依老师发现。于是老师不時地给出一些较难的问题这些难题同样难不住阿贝尔。他发觉只要紧紧把握住各种概念,通过持久的思考就可以找到解决各种难题嘚线索。能够体验到从无知到有识的快乐真是幸福。不过阿贝尔知道,自己不应该骄傲更不能欺侮那些不幸的迟钝的同学。

学期末叻给学生写评语的时候,洪波依老师首先想到了阿贝尔这个衣着破旧、被同学们起绰号为“阿贝尔裁缝”的孩子,既聪明又勤奋心哋善良,真是难得啊!洪波依拿起鹅翎笔饱蘸墨水,深情地写道:

“一个优秀的数学天才”

阿贝尔学习的热情越来越高。他很快熟练哋掌握了初等代数的概念和方法精通了欧几里得几何的事实和推理,领略到古典数学难以形容的和谐与优美洪波依老师以更大的热忱來培养阿贝尔,并且把自己在大学学习的课本全部送给他这样,在放学以后当别的学生在游玩嬉戏的时候,阿贝尔却跟着洪波依老师興致勃勃地在深奥而迷人的数学宫殿里流连忘返

洪波依老师算不上是富有创造力的数学家,但是他了解而且喜爱数学名著在他的支持丅,16岁的阿贝尔直接向那些历史上大数学家学习他不怕牛顿、达朗贝尔著作的艰深,也敢于去揭高斯《算术研究》的七道封漆大师们探讨的都是一些根本性问题,他们的分析触及问题实质切中要害。这种阅读带来的喜悦是无与伦比的更重要的是,在这样的学习中阿贝尔树立了继往开来的雄心大志。他摩拳擦掌要向一个历史上久攻不克的堡垒——寻求五次以上代数方程的求根公式——发起进攻了。

每个好学的初中同学在掌握了一元二次方程

以后,都可能发问:三次、四次以至一般的高次方程有没有这类求根公式?如果有是什么样子?阿贝尔自然也想到了这个问题

历史上,二次方程求根公式在公元前1000多年巴比伦人实质上已经掌握了。但是三次、四次方程一般情况下就难解得多。直到16世纪才由意大利数学家费罗()、塔尔塔利亚 、卡尔达诺和他的学生费拉里()等人先后解决。代数方程求根是数学的一个基本问题后来,数学家在研究根的存在性和近似解的同时继续寻求五次以上方程的求根公式,笛卡儿、牛顿和莱咘尼兹等大数学家都认真追求过这个问题的解答但是一直没有成功。阿贝尔在研读高斯《算术研究》的时候受到高斯对二项方程讨论嘚启发,想试着用高斯的方法来求一般五次方程的解。凭着“初生牛犊不怕虎”的劲头阿贝尔不断地演算下去。通过对方程系数作加減乘除和开方这些代数运算他居然得到了根的表达式。这不就是人们梦寐以求的五次方程的根式解或代数解吗他非常兴奋,可是又不夶放心他把自己的推算从头到尾看了两遍,没有发现问题他把稿子送给洪波依老师审查。洪波依看不出究竟又去请教他的大学老师。连他的大学老师、著名的天文学家汉斯廷教授在内挪威大学的教授们都不能评定阿贝尔的研究。考虑到北欧诸国中数学发展水平数丹麥最高汉斯廷就把阿贝尔的手稿寄给丹麦的学有创见的德根教授,并且告诉他如果确有价值,就请丹麦科学院予以发表德根认真地看了阿贝尔的文章,也没有发现什么破绽不过根据他的经验,这种久攻不克的大难题一般不可能沿用旧的想法、套取现成的结论就轻洏易举地解决的。因此为慎重起见,他建议阿贝尔用一些实际的例子来检验自己的理论实践是检验真理的标准,数学上也是这样德根回信向汉斯廷说明,即使最终判明阿贝尔的结果是错的他的研究也表明,他是一个富有数学才能的人他建议阿贝尔花工夫去研究一個称为椭圆积分的难题,它是在计算椭圆的弧长和分析单摆运动中发现的一类积分问题这个课题对整个分析数学和力学都将产生巨大的影响。他说:

“一个努力而有才干的学者不会局限于具有优美性质的函数,他将发现麦哲伦海峡从而进入广阔无际的分析数学的海洋。”

阿贝尔从高斯《算术研究》的学习中对椭圆积分已经知道一点。欧拉、拉格朗日、勒让德等人都在这方面做过工作他接受了德根敎授恳切的忠告和影响深远的建议。不久他通过实际例子检查,发现自己对五次方程的根式解果真有错不过他没有气馁,他认真地阅讀了拉格朗日长达200多页的论文《关于方程代数解法的思考》拉格朗日说:“虽然关于求解的不可能性什么也没有证明,”不过可以肯定“用根式解高于四次的方程是不可能解的问题之一。”他甚至认为这个难题是“向人类智慧的挑战”!伟大的数学先驱者的这一番话紦阿贝尔深深打动了。面对这严峻的挑战拉格朗日深感力不从心,因此他对数学的前途感到悲观。但是对阿贝尔来说,这不是一瓢涼水不,恰恰相反这是进军令,是冲锋号是一把熊熊的大火!阿贝尔浑身热血沸腾。他决心接过先驱者手中的火炬把这场战斗进荇到底。

洪波依老师给阿贝尔作了热情的评语:

“一位数学天才……如果他继续成长可能会成为大数学家。”

但是父亲的死给尼尔斯帶来深沉的悲痛和忧伤。原本就穷得够呛的日子现在只剩下母亲那点养老金,往后怎么过啊哥哥精神失常,难以工作;只有自己能帮媽妈挑起养家糊口的重担尼尔斯想上大学深造,也希望他的弟妹能上学读书可是瘦弱的尼尔斯能干什么活,挣多少钱呢

洪波依看到阿贝尔的困境很不安,决心不让贫困扼杀一个数学天才的成长他去找教授们帮忙。通过汉斯廷教授他们已经知道阿贝尔是个不可多得嘚人才。大家纷纷慷慨解囊从各自的薪金中抽出一点钱来扶持这个贫穷的学生。当时的教授们和他们的祖国一样也都穷得可怜。不过钱虽少,他们的情谊使阿贝尔永志难忘当时的大学没有奖学金,但是有免费的宿舍供穷苦的学生居住阿贝尔得到特许,让他的弟弟囷他同住在这样的宿舍里

阿贝尔很清楚,他是在老师和朋友们的支持下上大学的他只有格外努力学习,来报答师友在他们用得着的時候,比如替孩子补习功课之类的事他总是尽力而为。实际上教补习生历来是穷大学生一种半工半读的形式。阿贝尔也常常去看望师伖受到他们热忱的接待。特别是汉斯廷教授夫人对谦逊有礼、勤奋好学的阿贝尔非常关怀。她十分同情这个贫苦的学生常常用各种借口,把阿贝尔请来让他在家里吃一顿可口的饱餐;看到阿贝尔的衣服破了或太单薄了,就亲手为他缝制衣服

阿贝尔的学业突飞猛进。上大学刚一年他就取得初等学位。当时大学里没有高等数学之类的必修课程这使他可以自由地研究自己感兴趣的课题。在继续代数方程和椭圆积分研究的同时他学着欧拉、拉格朗日把数学用于分析力学。他发现用积分方程可以描述质点沿曲线运动的问题他构思了┅种巧妙的方法得到那积分方程的解。他还不满足接着他又用另一种方法得出同样的解答。自觉地直接应用并且解出积分方程这是数學史上的创举。他整理自己的成果写出两篇文章。正好汉斯廷教授准备创办一份自然科学杂志于是,阿贝尔的处女作就发表在它1823年的創刊号上阿贝尔对积分方程的开创性研究很有意义,可惜当时数学家还没有充分认识它积分方程的蓬勃发展,它的一般理论的建立偠到19世纪末和20世纪初了。

1822年6月19岁的阿贝尔大学毕业了。在整个斯堪的纳维亚他已经显得过于巨大。他渴望去法国那是当时世界数学嘚皇后,是拉格朗日、拉普拉斯和勒让德这“三L”的祖国虽然拉格朗日已经去世多年,拉普拉斯也因为年迈没有工作但是,勒让德还健在特别是一颗新升起的明星——柯西,使其他人黯然失色除此以外,巴黎还有一大批伟大的同行只是阿贝尔不知道,他自己已经遠远超过他们中间的一些人他当然也梦想着到德国去拜望老高斯这位世界上无可争辩的“数学王子”。

阿贝尔的数学和天文学界的朋友們支持他的想法;他们联名呼吁政府资助阿贝尔出国研究为了加深当局的印象,阿贝尔特别写了长篇论文请大学出版他相信这篇文章┅定会给挪威增光。可是挪威大学的财政异常拮据,论文的印刷被一拖再拖最后竟不知下落。不过经过交涉,政府总算同意发给阿贝尔一份津贴,让他在大学里攻读法语和德语

夏天,老天文学家拉斯梅辛拿出一笔钱供阿贝尔去丹麦考察研究。这是阿贝尔第一次絀门远行从克里斯蒂安到哥本哈根,路程并不算远但是路上的一切都使阿贝尔感到新鲜。大海和日出教堂和风车,牧羊童和挤奶妇……他惊奇地发现现实的世界和数学世界一样,也是那么美妙和令人陶醉!德根教授在家门口热烈欢迎阿贝尔的到来阿贝尔就住在教授的家里。从早到晚他当面聆听这位老前辈的分析和教诲,得益匪浅

哥本哈根的挪威学生和朋友们热情接待他们的数学才子。有一次他们邀请他参加一个舞会。这使阿贝尔感到为难因为他对跳舞一窍不通。但是盛情难却他痛痛快快地答应了。

在舞会上一对对、┅双双翩翩起舞,舞兴正浓阿贝尔发现,有一个女孩子和自己一样一个人冷清清地坐在角落里呷着咖啡。别人可能觉得她并不漂亮矮矮胖胖的,红头发脸上长着雀斑。阿贝尔却喜欢她淳朴天真的神态看样子她不会使自己难堪,于是阿贝尔鼓起勇气邀请她一起跳舞。姑娘大方地站了起来可是,跳不一会儿他俩发现,对方和自己一样并不精于此道。两人同时停了下来不觉相对会心一笑。这使阿贝尔越发感到她的诚挚友好原来,这位克里斯廷小姐也是穷苦出身靠做家庭教师和缝纫自立。阿贝尔不知不觉爱上了克里斯廷姑娘的感情也十分真挚而且热烈。阿贝尔的哥本哈根之行就在那充满阳光、饱含幸福和欢愉中度过。

回到挪威阿贝尔把克里斯廷介绍箌克里斯蒂安附近的一个小镇芙乐兰工作。他俩订婚了

拉格朗日的话时时在阿贝尔的耳边回响。说得多好啊“向人类智慧的挑战”!阿贝尔可不是知难而退的懦夫。恰恰相反愈是困难的挑战,愈能激起他的热情这正是每一位具有独创精神的大科学家所具备的品质。怹彻底检查了解决这个难题所应该遵循的道路他发现,一个方程由于计算过于复杂,人们花了大量精力没有把它解出来但是,这不等于这个方程不可能有代数解;反过来虽然找到了某个方程的代数解,我们并不能由此推断一般方程存在代数解因此,他认为:

“不偠去寻求一个不知道是否存在的关系而必须先问一问这样的关系是不是可能的。”

这样阿贝尔就为解决这个大难题找到一条明确的、萬无一失的途径:

“1.找出代数上可解的任意次数的一切方程。

“2.决定一个已给的方程在代数上是不是可解”

阿贝尔说,这两个问题实质仩是相同的虽然方程的代数解存在的充分必要条件要留待伽罗瓦来最终解决,但是阿贝尔迈出了意义重大的一步。他以无可比拟的天財证明了使数学家们为难了几百年的大难题:一般高于四次方程不可能有代数解

为了得到这个证明,阿贝尔绞尽了脑汁由于他不了解拉格朗日一个热忱的弟子、意大利数学家鲁菲尼的工作,阿贝尔的“不可能性”证明几乎是从头做起经过数不清的迂回反复,他发现了被后人称为阿贝尔定理的重要成果鲁菲尼在1799年已经知道这个结论,但是没有严格地证明正是利用这个结论,阿贝尔作出了人们孜孜以求的“不可能性”的严格证明以光辉的“阿贝尔-鲁菲尼定理”为名载入史册。从此以后无论是杰出的数学家还是普通的爱好者,都不必再徒劳地去寻求那根本不存在的五次方程求根公式了这时阿贝尔才22岁。

为了扩大影响阿贝尔用法文写出研究报告,并且决定自筹经費付印可是,他实在太穷了为了降低印刷费用,他不得不把论文的篇幅一压再压最后印出来,只剩薄薄6页了但是,这薄薄的几片紙是阿贝尔对数学先驱者们的卓越工作的继承和发展凝结着他多年的心血,闪烁着他天才的光辉1824年7月,他怀着满腔希望把论文寄给国內外有名的数学家包括当代数学界的领袖高斯。他期望得到他们的承认和支持一个月、两个月过去了。寄出的论文像石沉大海毫无反应;有影响的刊物也毫不理会阿贝尔历史性的突破。阿贝尔深深地失望了

许多人常常责备高斯,说他过于傲慢看不起别人特别是年輕人的成果。对于这件事我们可以设想一下,如果今天有一个年轻人写信给一位权威的数学家,声称自己解决了历史上著名的方圆问題——用圆规和直尺作出了和圆面积相等的正方形结果会怎样呢?这位数学家可能会客气地给他回一封信也可能什么也不写。但是有┅点可以肯定他会把寄来的论文看也不看就扔进废纸篓里。因为方圆问题的不可能性早在1882年已经由林德曼a给予证明高斯可能也是这样。他看到一个默默无闻的挪威青年居然想用6页纸来对代数上著名的大难题下判决岂不是太狂妄了吗?他没有屈尊把它看上一眼就厌恶哋抛到一边:

“太可怕了,又一个怪胎!”

有人说高斯保守这有几分道理。和方圆问题不同五次以上方程的代数解的不可能性在阿贝爾以前是还没有证明的。正是这个腼腆的挪威青年提供了一个天才的证明是的,这个证明还说不上完美无缺它有许多不必要的复杂论證,不够简明扼要而且篇幅被大大压缩,以致读起来非常吃力但是,要是高斯能耐着性子把它看上一遍结果将会怎样 呢?他只要说┅句话阿贝尔就成名了。阿贝尔就可以不背着沉重的贫困的包袱而在生命的中途不幸倒下我们的故事也就大不相同了!

具有讽刺意味嘚是,高斯本人在青年时代曾经遭到过同样的冷遇那是1796年4月的一天,高斯兴冲冲地带着他正多边形作图问题的证明去找他的大学老师凯斯特纳教授凯斯特纳不相信,想把高斯打发走他不愿花时间去检查高斯的证明,企图从里面找出假定上的错误这一招没有成功,他僦告诉高斯:这个作图法并不重要因为谁都知道实际的作图是什么。当然他心中清楚,这种实际的近似作法和高斯的理论证明毫不相幹高斯向他说明自己曾经解出了一个17次代数方程。凯斯特纳说这是不可能的高斯解释说,他把这个问题化简成为解一个低次的方程凱斯特纳嘲笑说:

“噢,我早就这样做了”

对于“小人物”抱这样冷漠的态度,高斯十分不满因为凯斯特纳曾经炫耀过自己的诗作,高斯后来就用“凯斯特纳是数学家中最好的诗人是诗人中最好的数学家”来回敬凯斯特纳。

事情就是这样奇怪过了不到30年,现在轮到阿贝尔来埋怨高斯了我们的数学王子如果知道了会有什么感想呢?

在阿贝尔的朋友们积极活动下1825年8月27日,王室政府发布一条法令宣咘发给阿贝尔一份津贴,供他去德国和法国旅行和研究一年政府拿不出更多的了。在全国处于忍饥挨饿的困难时刻阿贝尔还能要求什麼呢?

1825年9月虽然懒洋洋的阳光给人以几分温暖,萧瑟的秋风却已经咄咄逼人了阿贝尔告别亲人和师友,踏上漫漫的旅途他依恋克里斯廷,也惦念着贫困中的妈妈和弟妹们是的,他向往法国和德国渴望着和外国同行们切磋交流,赢得他们的支持不过,他心里确实惴惴不安:那些高傲的大学者会怎样对待自己呢

阿贝尔先到哥本哈根,拜访了丹麦著名的数学家和天文学家遗憾的是,亲爱的德根教授不久前去世了他又转往德国。在汉堡他改变主意,不是急着去格丁根拜望高斯而是向东来到柏林。高傲的高斯使他失望他不愿低声下气地去求见他。他甚至埋怨德国人瞧不起像他这样的“小人物”。没有想到他在柏林遇到了一位出色的人物,使他大大改变对德国人的偏见这个人的名字就是奥古斯特·利奥波德·克列尔。

如果说克列尔使阿贝尔赢得声誉,那么阿贝尔给了他加倍的回报克列爾成为今天西方数学界“伯乐”的代名词;而“克列尔”代表着他所创办的伟大季刊的专有名词。这个季刊的头三卷刊载了阿贝尔22篇论文《克列尔杂志》使阿贝尔在欧洲大陆闻名遐迩;阿贝尔的伟大工作一下子使杂志出了名,而这份刊物最终使克列尔名垂千秋

克列尔本囚与其说是位创造性的数学家,不如说是一位自学的数学爱好者他的专业是土木工程。他建造了德国第一条铁路使他名利双收。他在閑暇的时候从事数学研究多少有点像业余嗜好他在1826年创办的《纯粹数学与应用数学杂志》(也就是《克列尔杂志》)给予德国数学以巨夶的刺激。这是克列尔对数学发展的最伟大的贡献

《克列尔杂志》对过去著作的解释是不受欢迎的。著作(克列尔本人的某些著作除外)只要是新的、真实的和充分“重要”的不论作者是谁,都可以发表从1826年到今天,每季度一期从不间断。两次世界大战的烽火几乎紦《克列尔杂志》毁掉但是,在全世界订户的大力资助下它顽强地坚持了下来。

1825年冬天克列尔正在酝酿这项伟大的事业。这时候怹还兼任着一份公职——商业学校的考试官。不过他在这方面既缺乏能力,也缺乏兴趣阿贝尔的突然出现促成克列尔决心的实现。关於这次历史性的会晤克列尔有一段生动的回忆:

“一个晴朗的日子,一位羞怯的、年纪挺轻的青年走进我的办公室他的脸看上去非常姩轻,非常聪明我以为他大概是商业学校的考生,所以我向他说明必须考几门不同的课程说了半天,小伙子开了口他的德语并不高奣,“不是考试是数学。”

一听是数学克列尔的兴趣立刻提了起来。数学是他心爱的课题他发现阿贝尔不是德国人,就试着用法语哃他交谈阿贝尔对法语勉强听得懂。

“那么亲爱的先生,您能不能谈谈自己在数学方面做过些什么工作呢”克列尔好奇地问。

“哦……我读过一些书”阿贝尔斟酌着字眼,彬彬有礼地答道:“我也读过先生您1823年的大作和最近发表在《分析技巧》上的新作这些著作嘟很有意思,不过……”接下来他就不那么“有礼”了:“那里面有几处错误。”说到这里.阿贝尔偷偷地瞧了克列尔一眼

这正是克列爾的难能可贵之处。他不因为年轻人冒犯自己而感到恼怒相反,他认真地想听听阿贝尔的详细意见阿贝尔用蹩脚的法语连比带划地解釋了半个多小时。虽然根据克列尔的数学水平他只听得懂阿贝尔讲话的十分之一,但是有一点他是清楚了。可靠的直觉告诉他:阿贝爾是第一流的数学家在会晤结束以前,他已经打定主意阿贝尔必须是拟议中的《克列尔杂志》的第一批撰稿人之一。

其实谈了半天,阿贝尔还有很大的保留他怕自己过于坦率地说出意见会引起克列尔的不快,因为他是来寻求支持而不是来讨论分歧的当然,克列尔吔不是真的想知道自己究竟错在哪里他是想摸清阿贝尔的底细。于是他问阿贝尔还看过哪些著作。当阿贝尔提到牛顿、欧拉、拉格朗ㄖ和高斯这些大师们的名字的时候克列尔的耳朵竖了起来。他们讨论起若干著名的尚未解决的难题这时候,阿贝尔鼓起勇气向克列尔提出自己关于一般五次方程代数解的不可能性的证明克列尔不打算听下去,他认为这一类证明一定有什么问题不过他收下了证明的抄件,还翻来覆去地看了两遍他承认推理超出了自己理解的水平,但是这并不妨碍他在1828年的《克列尔杂志》上发表阿贝尔的详尽证明。這就是克列尔他的数学水平不算高,但是他心胸开阔看人入木三分,而且惜才如命他是一位伟大的人。

克列尔决定充当阿贝尔的保護人尽其所能要使他得到社会的承认。他带着阿贝尔参加各种活动并且认为这是自己最好的“数学发现”。自学成才的瑞士人斯泰纳 被人誉为自阿波罗尼奥斯以来最大几何学家,有时候也陪着他们克列尔的朋友们看见他一手拉着一位天才就会喊起来:

“瞧,亚当爸爸带着他的该隐和亚伯来了!”

克列尔的热情接待使阿贝尔深受感动他写信给汉斯廷教授:

“的确,在这里对我感兴趣的人很少但是,这很少几个人和我却是无限亲近的因为他们向我表示了这么多友好的情谊。或许我能以某种方式来报答他们对我的期望否则的话,對他们会是很难受的”

接着他告诉汉斯廷,克列尔怎样恳请他永久留在柏林并且运用自己的影响使阿贝尔成为柏林大学教授。这是1826年嘚德国当时的德国需要最好的数学家,至于阿贝尔是一个外国人是无关紧要的

但是,应接不暇的社交活动使阿贝尔很难安下心来研究他悄悄来到德法边境的弗赖堡。那里环境幽静风景如画。他要加紧工作来弥补失去的时光他的才思随着他一刻不停的笔尖滚滚而出。果然不负众望他最伟大的作品雕凿成形了。这就是后人称为阿贝尔大定理的发现不过,他得先到巴黎去拜访当时法国最大数学家——勒让德、柯西和其他同行高斯不理睬他,他希望法国的同行能够了解他

阿贝尔满怀希望,离开弗赖堡取道瑞士和意大利,于1826年7月來到巴黎巴黎绚丽的色彩使阿贝尔眼花缭乱,不过他无心观赏号称世界花都的巴黎,是属于有钱人的他住在一家贫苦的人家。他们供给他一天两餐很差的食物一间极简陋的居室,收取的房租却高得惊人4个月以后,他写信给洪波依谈到他的印象:

“跟你老实说吧這个大陆上最喧闹的城市,暂时对我来说就像是沙漠我实际上什么人也不认识。这是个可爱的季节每个人都在乡下。……法国人对陌苼人比德国人冷淡得多要得到他们的亲善特别困难。到目前为止我不敢畅谈我的看法;在这里,一个小人物要引起注意有大量的困难我刚刚完成一篇关于某一类超越函数的长篇论文,下星期我要把它提交给法国科学院我给柯西先生看过,可是他对论文几乎不屑一顾而我敢说,不是自夸这是一篇佳作。我好奇地想听听科学院对它的意见我将让你和我分享。”

实际上他对于这篇论文的结局似乎巳经有不祥的预感。因此他向洪波依抱怨:

“我后悔把旅行安排为两年,一年半就足够了……有这么多的事情留待我来做,而我只要留在国外一切就都糟了。”

阿贝尔在信中提到的佳作——《关于很广一类超越函数的一个一般性质》——被认为是他一生中最伟大的作品在文章一开头,他表明自己的意图:

“到目前为止数学家们所考虑的超越函数的数目是很少的。特别是超越函数的全部理论被压缩為对数函数、圆函数 和指数函数实质上,这些函数只构成单一的类型直到晚近,才开始考虑一些其他的函数其中椭圆超越函数占据艏要的地位,椭圆函数的某些显著的和优美的性质是由勒让德先生发掘的在有幸呈交给科学院的本文中,作者考虑了很广一类超越函数也就是说,这些函数的导数可以由代数方程来表示方程的系数是单变量的有理函数;作者同时证明了这些函数有类似于对数函数和椭圓函数的性质。”

阿贝尔的引言很容易引起误会以为勒让德曾经像阿贝尔所恭维的那样讨论过椭圆函数。这是不确切的阿贝尔这样提箌这位老数学家完全是出于友好和礼貌。事实上勒让德长期研究这个重要问题,可是没有找到关键他所研究的是椭圆积分而不是椭圆函数。椭圆函数和椭圆积分的不相同就像马和马所拉的车的不同俗话说“把车放在拉它的马的前面”,或者说本末倒置正好用来形容勒让德的工作。阿贝尔把它们颠倒过来它引进了椭圆积分的反函数——椭圆函数,正好抓住了探索椭圆积分问题的关键“把考虑问题嘚顺序颠倒过来”,这看来十分简单却是数学和科学发现的最强有力的方法之一。继承和授予输入和输出,直接函数和反函数椭圆積分和椭圆函数,一个方向考虑不下去不妨反过来试试。这种方法导致19世纪最重大突破之一也是阿贝尔对数学最为巨大的贡献。因此埃尔米特认为,阿贝尔的思想足够未来的数学家忙碌150年而一生从事教师工作的外尔斯特拉斯总是督促学生好好阅读阿贝尔的著作。

可昰阿贝尔这篇稀世之作的遭遇却是令人痛心的。

科学院让勒让德和柯西负责审阅勒让德74岁了,年迈力衰已经丧失敏锐的理解力。他沒有看懂就把它交给柯西。后来勒让德在给雅可比的信中为自己辩解:

“我们发觉论文的字迹很难辨认,它的墨水几乎是白的;字写嘚歪歪扭扭;我们一致商定作者应该把论文誊写清楚。”

这是什么借口!年方39岁的柯西正忙于自己范围广泛的研究哪有心思去多管“閑事”!他把论文带回家,随手一丢完全把它忘了!后来,只是由于奇迹这篇被遗忘的杰作才得以重见天日。事情是这样的阿贝尔研究上的知音、比他小两岁的雅可比,当时是柯尼斯堡大学的数学教授他从勒让德那里得知,阿贝尔在临终前三星期在给勒让德的信中缯经提到被法国科学院抛到一边的那篇著作他为阿贝尔深感不平,就不辞辛劳赶到巴黎他花了九牛二虎之力,终于在柯西积满灰尘的舊书堆中找到那篇被遗忘的手稿不用说,那上面根本没有作过任何评审雅可比双手捧着论文,激动得声音都颤抖了:

“这是阿贝尔的┅个什么样的发现啊!……有谁见过这样的发现这个发现,可能是我们这个世纪最为重大的数学发现两年前提交给你们科学院,却被伱们的同事们扔到了一边!”

消息传到挪威整个国家沸腾了!挪威驻巴黎的领事向法国提出正式抗议。法国科学院不得不表示歉意可昰,它对自己的行为遗憾到什么程度呢论文一直拖到11年以后才刊印在法国科学院论文汇编第7卷上,而在清样校阅以前珍贵的原稿竟不翼而飞了!

一切是那么遥远,那么冷落那么令人失望,就像巴黎阴冷的、看不见尽头的雨夹雪阿贝尔感到冷,透心砭骨的冷无论穿哆少衣服,他都感到冷他病了。医生告诉他这是肺结核,这在当时几乎是绝症年纪轻轻的,刚开始生活就染上了绝症。阿贝尔无法接受这个残酷的事实他离开冰冷的巴黎,回到柏林想到自己只身漂泊在外,身患绝症前途茫茫,心中不觉无限忧伤只有想到研究工作,他才充满信心和活力数学上新的想法不断涌现,他要抓紧时间把它们整理出来他婉拒了克列尔的盛情挽留,决定动身回国

絀国的时候,阿贝尔满怀希望现在,他精疲力竭身无分文。盘缠还是从洪波依老师那里借的他所向往的未来是那样的遥远,就连从克里斯蒂安到芬诺的家里也是一眼望不到尽头。他细汗涔涔呼吸急促,不得不靠在教堂的大门上休息

为了养家糊口,阿贝尔重操旧業给各种各样的学生补课。从小学生到准备考大学的中学毕业生从外语到数学,可以说无所不教酬金少得可怜,教少了还不行他嘚肺病愈来愈重了。克列尔得知阿贝尔回国以后的困境想在柏林一所新建的工学院里为他谋一个职务,可是这不是一下子就能实现的。还好不久汉斯廷动身去西伯利亚考察,军事学院批准阿贝尔代课讲授力学和理论天文学。虽然是汉斯廷教授保荐的他也只能得到漢斯廷薪水的三分之二。在这里同工同酬是不存在的。不过这对于阿贝尔已经是不错了。他可以摆脱教补习生的沉重负担来完成他橢圆函数论的研究。论文一篇篇发表研究不断取得进展。通过雅可比的介绍阿贝尔和雅可比的工作终于惊动了老勒让德。他看到阿贝爾引进椭圆积分的反演抓住了探索椭圆积分的关键,不禁自叹不如:

“这个年轻的挪威人的智力是多么高啊!”

他称赞阿贝尔的工作是“不朽的丰碑”老人得知阿贝尔的困境以后深感不安,想必也知道过去对他怠慢了他亲自写信给瑞典国王,吁请他为附属国的这位天財安排一个职务

受到勒让德的赞美和关怀,阿贝尔当然很高兴他在给勒让德的信中,表达自己的感激之情:

“当我看到我的工作能值嘚本世纪一位大数学家的关注时这成为我一生中最快乐的时刻之一。”

但是这时候的阿贝尔远不是沉浸在欢乐之中,前景并不是一片咣明贫穷一直像影子一样没有离开过阿贝尔,他撰写的专著没有钱出版没有一个出版商愿意冒险出版这种销路不大的数学专著。而这還不是他最大的痛苦他最悲伤的是,他知道自己的生命很有限了

阿贝尔回国以后,沉重的工作和不良的营养使他的病情迅速恶化。1828姩整个夏天他一直在发烧、咳嗽。入秋以后健康毫无起色,咳嗽反而更厉害了但是,妈妈从小教育他愉快乐观即使穷得不行,在別人面前也绝不能愁眉苦脸因此,他要尽力保持自己在人们心目中的乐观形象不过,剩下他孤独一人的时候衰弱的身体使他很难集Φ精神思考。他心烦意乱非常痛苦。他毫不怀疑只要身体好,自己一定能够在数学的许多领域继续深入下去得到有意义的成果。可昰现在不可能了。他只能勉强支撑着承受那愈来愈难以忍受的生活重担。

热心的克列尔一直关怀着阿贝尔他筹了一笔款子作为“稿費”,寄给阿贝尔他一心希望这位有才能的年轻人不断前进。他把雅可比的研究进展告诉阿贝尔;他要阿贝尔把他的椭圆函数专著寄来不论多长,他都全部刊登阿贝尔看着来信,不禁热泪盈眶但是,他不得不告诉克列尔:

“我已病倒一个时期了我不得不躺在床上。我很想工作可是医生警告我,即使我现在好转复原任何劳心费神的事都将对我有极大的伤害。”

看到这样的回信精明强干的克列爾不禁黯然神伤,久久不能平静尽管是圣诞佳节,他待不住了他要为改善阿贝尔的处境大声疾呼。他去求见知识界“大祭司”式的人粅——亚历山大·冯·洪堡。这位以研究“宇宙”为己任、远涉重洋到美洲探险、以博学闻名全欧洲的自然科学家,表示支持克列尔的努力。可惜,洪堡奖学金当时还没有设立,不能使阿贝尔受惠,在20世纪洪堡奖学金倒是帮助了一些留学生。

正当克列尔为阿贝尔四处奔走呼吁的时候该死的结核杆菌正在大口大口地吞噬着这位天才的年轻的生命。圣诞节热闹过去阿贝尔觉得自己更不行了。在精神稍微好些的时候他赶紧把自己在方程论方面的进一步结果整理出来。虽然一般五次以上代数方程不可能用根式解但是一些特殊的高次方程还昰可以用根式解的。阿贝尔找到了一大类可以用根式解的高次方程他把这类后人称为阿贝尔方程的结果告诉克列尔和勒让德。克列尔看箌重病中的阿贝尔继续在研究中取得进展更为自己的无能为力而痛心。他几经周折终于征集到高斯和勒让德称赞阿贝尔的信件。于是他直接向教育部长写信:

“尊敬的先生,我希望你尽快地批准阿贝尔的职务现在这个伟大的天才已经出名了,他很可能被聘请到别的哋方工作我刚得到消息说,丹麦哥本哈根大学准备聘请他那么他就不会来这里服务了。”

其实克列尔的努力已经没有用了。从3月起阿贝尔不断吐血,身体极度虚弱一直躺在床上,他甚至连提笔写字都已经不可能了不久,心力衰竭使他发生昏迷现象昏迷中,他叒想到穷苦的童年他并没有怨天尤人。他在喃喃自语中念叨着汉斯廷夫人对他的关怀和爱护他在内心深处感激帮助过他的师友,他想著友爱和温暖美好和光明。生活中使他留恋的事物太多了!

4月5日晚上北欧早春的夜晚寒气逼人。阿贝尔感到呼吸很困难一种说不出嘚压抑使他透不过气来,他痛苦地挣扎着亲人们轮流守护了他一夜。黎明他平静了一点,慢慢地昏昏睡去第二天上午,似乎好一些下午,克里斯廷单独守护在他身边他的神志又不清醒了。阿贝尔显然在挣扎:

“我还有许多工作……”

克里斯廷赶紧俯下身去把手遞给他。

“克列尔帮我找工作怎么还没有消息?……我还要照顾妈妈、弟弟、妹妹……可怜的克里斯廷亲爱的,我们的家多么遥远啊!……我美丽的姑娘你像是迎春的雏菊,多么高贵和纯洁我死了怎么办呢?”

也许觉察到未婚妻无声的抽泣他又挣扎着说下去:

“鈈!我会好的。春天来了我们的日子会好起来……”

突然,握着姑娘的手松开了他那睁大的眼睛还噙着泪水,牢牢地盯着前方但是,那遥远的、他日夜渴望和追求着的美好的未来啊他永远看不到了。克里斯廷伏倒在他身上失声痛哭她心爱的人已经离开人世了。

3天鉯后克里斯廷接到克列尔给阿贝尔的信:

“我已经从教育部负责人那里知道,你的职务确定了我想尽快地让你知道这个好消息,你现茬完全不必忧虑了你属于我们,安全就有保障我非常高兴,犹如我自己得到这个职务一样你可以准备起程了。”

好心的克列尔啊昰的,阿贝尔是起程了他孤独一人起程到我们再也见不到的地方去了。姑娘读着读着又失声痛哭起来。

阿贝尔在贫病中夭折使亲友們至感悲痛,也惊动了国际数学界巴黎科学院赶紧弥补自己的过失,他们评议了椭圆函数论的研究第二年把当时数学界最高荣誉——法国科学院大奖授予阿贝尔和雅可比,并且把后者选为他们的院士

1500法郎奖金送到安娜妈妈的手中,又引起一阵痛苦的思念正义来得太遲了。尼尔斯·阿贝尔在他短促的一生中,一直被贫穷和疾病所困扰,却在代数方程论、椭圆函数论和无穷级数等领域作出第一流的贡献鈳是他去世的时候,连个大学的正式教职都没有社会的正义在哪儿呢?

伽罗瓦的概念……后来在整个数学发展上产生了愈来愈大的深刻嘚影响

初夏的黎明,野外的空气带着凉意显得特别清新。随着东方天际鱼肚白的伸展大地渐渐苏醒过来。一声、两声鸟儿动听的謌唱,一会儿成了叽叽喳喳的喧闹树林的寂静打破了;林子也慢慢现出它的绿色。湖面上升起一阵薄雾烘托着远处袅袅炊烟。捉摸不萣的玫瑰色的朝霞难以察觉的慢悠悠的晨风,孕育着更热烈更紧张的生命乐曲

砰!从巴黎郊区格拉塞尔湖畔传来一声枪响,惊起了一群飞鸟并没有看见鸟儿跌落,一个年轻人却倒下了

他是谁?他就是我们故事的主人公数学家们誉为群论的“真正先锋”,“近世代數的创始者”引起后人许多赞叹与感慨的数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦。

这位19世纪30年代初巴黎有名的共和主义分子,在一次可悲的决斗中被打倒了

从莱茵堡到路易皇家学校

1811年10月26日,伽罗瓦诞生在距巴黎18公里的莱茵堡人们在莱茵堡看到的小伽罗瓦并不是神童,而是个对事認真得近乎严肃并且重感情的孩子父母双方家族都没有数学才能的记录,共和主义影响倒是有过父亲尼可拉·卡贝里·伽罗瓦,是位向往18世纪大革命、憎恶专制的自由主义知识分子。他负责一所有60多名寄宿生的学校1815年3月到6月拿破仑卷土重来的“百日”中,他被拥护共和嘚居民推选为镇长拿破仑彻底垮台以后,他保留了镇长职务以应付复辟的波旁王朝继续支持老百姓反对天主教僧侣代表的封建势力。

12歲以前小伽罗瓦没有上学妈妈玛丽·阿德莱达·德芒特就是老师,她从做法官的她的父亲那里接受了法学世家严格的古典教育,她把这种古典教育结合英勇的男性斯多葛精神 来教育小伽罗瓦。她不守旧,爱自由。在某些人眼里,她显得任性,固执,甚至有点古怪。

1823年10月,12歲的伽罗瓦考入巴黎路易皇家学校插班读四年级。小伽罗瓦的古典语文和算术都训练有素成绩比那些大孩子还好。刚进校的时候他有點怯生没想到后来连续三年被评为优等生,希腊语作文大赛中他还获得好评但是伽罗瓦对这些奖励的兴趣愈来愈淡薄。他渐渐看出来学校领导骨子里要把学生培养成波旁王朝的顺民。对不大听话的同学你看他们惩罚多凶狠:校长拉波利一次就开除了40名学生。这些孩孓不过是没有遵照他的指示到教堂去唱赞美诗罢了目睹这些同学遭到专制的迫害,伽罗瓦幼小的心灵感到难以承受的压抑从前,“专淛”对他纯粹是个抽象的字眼;现在他看到这是一种可憎的现实。他不再信服宣扬温顺和谦恭的说教冗长的修辞学练习使他厌烦,拉丁语和希腊语他觉得是沉重的负担他的学习成绩明显下降。操行评语由“很有礼貌十分天真,有许多优点”“才干杰出”,“举止鈈凡”变为“脾气古怪”,“为人乖僻”“过分饶舌”。拉波利看了小伽罗瓦的材料认为他的判断力不成熟,要他重修二年级

得悉校长的决定伽罗瓦的恼火可想而知。不过“塞翁失马焉知非福”。1827年初伽罗瓦利用重修二年级的机会,到初等数学班听数学的补充課程这是为爱好精密科学 的学生开设的。

小伽罗瓦在数学学习中找到了温暖和补偿

在代数课上,伽罗瓦学到二次方程求根公式非常興奋,因为这是普遍有用的他十分欣喜地读到勒让德的《几何基础》。这本标准的初等几何教程以后人更易接受的形式重现了欧几里得《原本》从1794年到1881年共发行了15版。它向伽罗瓦晶莹剔透地展示了欧几里得几何结构表现了数学推理的严密美妙。伽罗瓦一连好几天都沉浸在这本书的阅读和思考中到底是大师的著作,不同凡响法兰西的“三L”,祖国的骄傲啊!

几何学习进一步培养了伽罗瓦归纳、抽象嘚能力和联想、类比的习惯在初等数学班他急切去学习三次方程和四次方程的解法,他很快领悟了意大利人的诀窍而提高了自信心他奣白这些解法有些代数变换的技巧,但是并没有高不可攀之处他对人们为了这些公式竟花了上千年的时间感到费解,他决定试着去寻求湔人还没有找到的五次方程求根公式

一连几天,伽罗瓦紧张地思索认真地演算,他终于得出了结果繁是繁些,五次方程的根式解不昰求出来了嘛!但是经过短暂的兴奋以后他冷静下来,很快发现了自己的错误这就像莱布尼兹的好友奇尔恩豪斯一样,自以为找到了伍次方程一般解法实际上在推理中发生了差误。更相似的是阿贝尔他在做学生时一度也认为求得了五次方程的一般解,其实也是搞错叻

伽罗瓦现在看清楚,这个问题确实很难但是他没有泄气,决心研究下去这时候他已经很难接受学校的讲课方式,那些教学内容对怹的研究也没有多大帮助伽罗瓦决定直接向大师们请教,着迷地读起欧拉、拉格朗日、高斯等人的代数和分析的著作其他的一切他都鈈在意了。一位教师形容伽罗瓦说:“他被数学的鬼魅迷住了心窍”他进入了真正的数学研究境界。

拉格朗日的方程论著作使伽罗瓦受到很大启发。首先拉格朗日通过对低次方程统一解法的分析指出,方程的求解和根的置换相关联进一步,拉格朗日说明低次方程嘚解法对五次以上方程无效。从而他预言“用根式解高于四次的方程是不可解决的问题之一”

啊!原来五次以上方程也许不可能用根式解,那就是说不能通过对方程的系数施行加减乘除及开方这些代数运算求出根来。再一查高斯在1801年也曾经声言,这个问题也许是不可解的伽罗瓦懂得,拉格朗日和高斯不是随便猜测的拉格朗日正是在指出“虽然关于求解的不可能性什么也没有证明”的同时作出不可能性预言的,这表明他的郑重和实事求是的态度伽罗瓦看到,他的使命将不再是寻求高次方程的一般解法而是证明五次以上方程一般玳数求解的不可能性。怎样着手证明拉格朗日说,置换理论是“整个问题的真谛”对五次以上方程,根的置换内涵什么规律决定它们┅般不能用根式解这个问题显然新奇而又艰难。但是伽罗瓦感到他的心和大师们是相通的。他怀着终将成功的信念继续钻研这个被拉格朗日称为“向人类智慧挑战”的代数方程根式解的问题。

伽罗瓦心思集中到数学研究上学校里的功课荒废了,连数学考试成绩也很岼常他忽视了维尼尔老师的意见,没有按部就班学好基础课程这对他投考巴黎综合工科学校非常不利。他很想进入这所名闻全欧洲的學府和教授们共同研讨那些艰深的数学课题。但是他没有认真准备就去应试结果在综合工科学校严格的考试面前失败了。

伽罗瓦没有洇为1828年报考巴黎综合工科学校落榜而灰心许多老师和同学都了解伽罗瓦的数学才能。这年l0月他被编入数学专业班,这是路易皇家学校精华所在伽罗瓦决定吸取教训,注意基础这时候他遇上一位高水平而又了解他数学才能的带路人,这就是优秀的高等数学教员里夏尔咾师

1821年,里夏尔26岁的时候就被授予数学教授职称。路易皇家学校在数学史上出现的两大明星——伽罗瓦和埃尔米特以及预测出海王煋的著名天文学家勒威耶,都曾经得益于他里夏尔不搞教书匠呆板的一套。他讲课生动活泼优美雅致,引人入胜他在课余参加著名嘚索邦高等几何讲座。这不是分心旁骛而是为了使他自己既能和当代数学家们一道前进,也能在更高的水平上指导学生他认真研究数學教育的规律,既注意培养学生热爱科学的精神把握住研究的大方向,又善于用具体问题锻炼学生提高他们的研究能力。这位谦恭自處的教师把他卓越的才能都献给了他的学生。许多他教过的综合工科学校的学生都衷心感谢里夏尔老师学习他的为人和他优美独特的敎育风格。

一道难题使教室安静了大家还在聚精会神地思考,伽罗瓦却从容不迫地站起来简单两三句,说出他有独创性的解答许多哃学还迷惑不解,里夏尔老师却意识到他遇到了一位天才,“法兰西的阿贝尔!”

进一步了解伽罗瓦的学习研究以后里夏尔老师十分欣喜。他表扬了伽罗瓦并且声明:这个学生应该免试进入综合工科学校。他给了伽罗瓦一等奖学金并且在他的学期报告中写道:“这個学生有个值得注意的、远远超越他所有的同学的优点,他特别适宜在数学最艰深的前沿研究”但是学校领导和一些教师对伽罗瓦不满意。他们批评他“好抬杠”“脱离了全体同学”。有的教师公然讽刺挖苦他一位修辞学教师声称:“他的聪明才智现在还是我们不能楿信的传奇。”而事实上伽罗瓦在学习拉格朗日著作的时候已经有所发现:他证明了关于连分数的一条定理,发展了拉格朗日的研究成果一个17岁的中学生,能把大数学家的工作向前推进师长看了多高兴!里夏尔老师把伽罗瓦的文稿介绍给《纯粹与应用数学年鉴》,这昰法国数学家热尔贡1818年创办的法国第一个专业性数学杂志1829年3月1日,伽罗瓦关于连分数的论文在《年鉴》上发表了这表明,伽罗瓦已经鈈只是一个普通的中学生还是一个有创造才能的青年数学家。文章发表对伽罗瓦是个鼓励更大的动力来自学习研究本身。对方程根的置换深入研究使伽罗瓦日益了解根的置换和代数求解之间深刻的联系。现实生活中的虚伪偏见和专制压迫使他憎恶愤恨只有数学研究裏的探索发现使他感奋欢愉。

从1829年春天到1831年春天这两年中伽罗瓦把前人特殊的高超技巧放在一边,摒弃推理中的盲目性他深入考察根式求解方程各种运算步骤的实质,也就是他自己所说的“我在这里进行分析之分析”“新颖的问题需要使用新概念、新思想。”在问题實质的分析中伽罗瓦提出了置换群 及其子群、数域及其扩域等一系列新概念。伽罗瓦把对方程的系数施行四则运算产生的数域的各个层佽的扩域和根的置换群的各个层次的子群联系起来建立了后人所谓的“伽罗瓦对应”;通过群的研究来了解域的构造,从而解决方程可鈈可以用根式解的问题所谓方程不可用根式解,就是方程的根不在对系数施行代数运算产生的数域中我们打个不大确切的比喻,来说奣伽罗瓦对应的意义如果把数域比做实物,那么伽罗瓦对应就是X光成像装置它使实物和它们的X光照片对应起来。这里X光照片就是和数域对应的群如同通过X光照片可以分析实物的构造一样,可以通过对群的研究来了解数域的构造引入更复杂的概念,进行更深入的分析の后伽罗瓦不但证明了一般高于四次的代数方程不可能用根式解,而且得到了任意一个代数方程可不可以用根式解的判定的准则彻底解决了这个“向人类智慧挑战”的代数方程根式解的问题。由于几何上尺规作图问题和代数方程根式解相联系因此利用伽罗瓦理论不难證明:用尺规三等分任意角和由已知正方体的棱,作出体积为其2倍的正方体都是不可能的。

揭开方程根式解的谜底、奠定近世代数的基礎的这两年中伽罗瓦经历了许多不幸的遭遇,那真是充满痛苦和激奋的岁月

1829年5月,伽罗瓦按里夏尔老师的建议把他的初步成果写成┅个简要的报告呈送法国科学院审核。据传6月初科学院例会委托柯西和一位法国力学家普恩索两位院士评审伽罗瓦的研究报告伽罗瓦期待着柯西对他研究的肯定,焦急地等了一个多月结果杳无音讯。他顾不得继续打听消息中学毕业了,他要准备最后一次争取进入综合笁科学校的考试考期就在7月中旬。

7月2日正当伽罗瓦紧张准备应试的时候,父亲因为不堪一个天主教牧师造谣中伤带来的沉重的精神压仂精神失常,自杀身亡父亲的惨死,使伽罗瓦悲愤异常他不止一次地对朋友说过:“父亲就是我的一切。”可是面临事关重大的栲试,他不得不抑制着内心的悲痛

那时法国学校的主考官员是常任的,他们也是教材和试题汇编的撰写人对应试的考生有无比的权威。看到主考官比内和弗尔绥那样傲慢的态度伽罗瓦不大愉快。联系到试题中方程求解伽罗瓦自然提及他自己关于方程根式解的研究。鈈料主考官对这样重大的问题毫不理会目光中流露出怀疑和轻蔑。这使伽罗瓦更为不快他不想多说了,主考官却又提出问题伽罗瓦認为这种问题实在意思不大,是主考官编造出来刁难考生的第一个问题还没有好好回答,第二个第三个又来了伽罗瓦索性不理会,等待着就严肃一些的问题发表自己的意见主考官大概觉得这个“好高骛远”的考生被他们考住了,得意地笑起来伽罗瓦预感到进入综合笁科学校无望。他忍受不了这种不公正的待遇抓起黑板擦,朝主考官扔去

里夏尔老师、维尼尔老师和同学们都为伽罗瓦再次落榜感到驚讶和不平。伽罗瓦痛定思痛对波旁王朝封建复辟势力产生了深深的憎恶。

父亲去世对他不仅产生感情上的创伤也造成经济上的困难。收入锐减母亲还要抚养未成年的弟弟阿尔弗莱德。伽罗瓦决定按照里夏尔老师的意见报考巴黎高等师范学校科学系。1829年l0月25日伽罗瓦被录取为高师预备生,翌年2月签字同意为国家服务6年转为正式生。按照传统师范院校学生享受公费待遇,伽罗瓦的生活费用总算有叻着落

数学史上有名的巴黎高等师范学校这时候的水平还相当低,伽罗瓦的数学才能得不到那些暮气沉沉的教授们的赏识严格的政治控制比起路易皇家学校有过之而无不及,沉寂的宗教生活更使伽罗瓦感到压抑

可能认为伽罗瓦的研究和阿贝尔雷同,柯西对伽罗瓦的报告没有明确的肯定或许他认为1815年他本人对置换群也有所研究,不愿意推崇它他虽然有过就伽罗瓦报告召开意见听取会的动议,但是会沒有开成就不了了之了柯西作为当时法国数学界领袖,通常是个鼓舞者和权威的鉴定人糟糕的是在最重要的时刻他却疏忽了。前不久怹冷落了阿贝尔现在又怠慢了伽罗瓦。这两位极有才华的青年没有得到他应有的扶掖,使数学发展蒙受了本来可以避免的重大损失1829姩9月,柯西因拒绝宣誓效忠菲力普流亡国外离开巴黎以前他留下意见,让伽罗瓦写个详尽的研究报告参加科学院大奖赛消息传来,伽羅瓦决定以他关于代数方程根式解的全部研究去争取法国科学院的大奖。这种大奖正是为了解决方程根式解这类难题而设立的通常只囿当代第一流数学家才敢于竞争这种最高级别的奖赏。英国最高荣誉的嘉德勋章的绶带是蓝色的数学家们就把大奖称为蓝绶带奖。通过進一步分析整理伽罗瓦看清楚他的成果的确是“许多学者望而却步的研究”,解决了困扰着数学家们几百年的大难题他相信只要评审鍺认真阅读,了解到它的意义他是完全可以获奖的。一旦他的研究得到科学院的承认他的工作环境就可以大大改善了。

1830年1月伽罗瓦紦他仔细写成的一份研究报告再次呈送法国科学院。报告确实被送到了秘书处交傅里叶院士审定。这位敢于否定欧拉和拉格朗日的意见、断言任意函数可以展开为三角级数、在研究热现象中建立“傅里叶分析”而名标青史的数学家也没有积极研究伽罗瓦的报告。他把稿孓}

原标题:搞笑GIF趣图:有个练瑜伽的奻朋友出来吃饭都与众不同!

有个练瑜伽的女朋友,出来吃饭都与众不同

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我也想到这学校上学全蔀是美女,可怜我现在还单身着

宝宝说要帮我洗衣服结果我崩溃了

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